2017
Том 69
№ 6

All Issues

Elaboration de quelques procédés de calcul pour la construction approximative des solutions des problèmes tcheby cheviens à paramètres entrant non linéairement

Gavrilyuk V. T., Rémès E. J.

Full text (.pdf)


Abstract

R é s u m e A présent nous avons déjà à notre disposition un système élaboré de méthodes calculatoires théoriquement argumentées qui permettent de construire, avec un degré d'exactitude illimité en principe, les solutions des problèmes tchebycheviens généraux concernant l'approximation des fonctions continues réelles (d'un nombre arbitraire de variables indépendantes) par des agrégats de fonctions continues données, à paramètres (en nombre fini) entrant linéairement [1, 2]. Il est naturel d'essayer s'appuyer en quelque sorte sur ces mêmes méthodes en abordant les problèmes ultérieurs — de nature bien plus compliquée et, avec cela, d'actualité pratique urgente — qui concernent la construction numérique des approximations tchebycheviennes non linéaires, c'est-à-dire, à paramètres entrant non linéairement Dans la partie I actualle de ces rech:rch2s la réduction mentionnée aux méthodes plus tôt élaborées (pour les problèmes à paramètres entrant liné-airment) se fait sur le base de certains procédés itératifs de linéarisation approximative pareils, en quelque mesure, à celui-là qu'on applique d'après Gauss [7] pour adapter le méthode des moindres carrés au cas des équations incompatibles non linéaires.On réalise ici la réduction dont il s'agit en substituant au lieu du compact E, dans l'énoncé (1) du problème tchebychevien, un sous-ensemble discret e_N ={x_i}^N_i et en remplaçant ensuite les N équations incompatibles (5) dans l'enonce (5) — (4), ainsi obtenu, du problème par les équations linéarisées (6). En éxigeant que le module-maximum L(z) dés écarts (résidus) relatifs aux N équations (5) soit abaissé à chaque pas du procédé itératif, en même temps que la quantité analogue L(z) relative au système (6) des équations linéarisées, — on se voit forcé, généralement parlanté, d'introduire ici un faсteurlimit at if alpha (0< alpha < 1) en déterminant le vecteur corrigé sous une forme du type (6) désignant une solution, exacte ou approximative, du problème tchebychevien «linéarisé» correspondant). —L'efficacité de l'algorithme tient essentiellement à la possibilité de s'en tirer avec des valeurs a non par trop petites, et cette possibilité, à son tour, tient à la choix plus ou moins bonne de l'approximation initiale z*. La réalisation du procédé en pratique est éclaircie par trois exemples. Dans les paragraphes ultérieurs on indiquera, pour certaines classes importantes des problèmes tchebycheviens d'approximation non linéaire, quelques procédés effectifs modifiés, caractérisés par une application p 1 u s restreinte du principe de linéarisation approximative, et moins exigeants à l'égard d'une réussite particulière dans la choix de l'approximation initiale. Le principes fondamentaux des procédés approximatifs étudiés dans ces recherches ont été indiqués par l'auteur aîné dans deux brèves notes [3,4], publiées dans les Comptes Rendus de l'Académie des sciences de la RSS d'Ukraine. Le présent mémoire contient, à côté d'une exposition plus développée des principes de départ et des énoncés généraux des notes mentionnées, les résultats essentiels d'une investigation expérimentale systématique réalisée dans le laboratoire des calculs de l'Institut de mathématique de l'Académie des sciences d'Ukraine sous la direction responsable du second auteur.

Citation Example: Gavrilyuk V. T., Rémès E. J. Elaboration de quelques procédés de calcul pour la construction approximative des solutions des problèmes tcheby cheviens à paramètres entrant non linéairement // Ukr. Mat. Zh. - 1960. - 12, № 3. - pp. 324 - 338.

Full text