2017
Том 69
№ 9

Всі номери

Оценки функции Грина однородной первом краевой задачи для параболического уравнения второго порядка в нецилиндрической области

Ивасишен С. Д.

Повний текст (.pdf)


Абстракт

Рассматривается однородная первая краевая задача для параболического уравнения 2-го порядка с гельдеровыми (с показателем $\alpha$) коэффициентами в нецилиндрической области $Q$ состаточно гладкой боковой границей $\Gamma$. Для функции Грина этой задачи, имеющей вид $G(t, x; \tau, \xi) = Z(t, \tau, x, \xi) — V(t, x, \tau, \xi),$ где $Z(t, \tau, x, \xi)$ — фундаментальное решение уравнения, получены следующие точные оценки вплоть до границы области: $$ |D^k_x G (t, x; \tau, \xi)| \leq C(t - \tau)^{-\cfrac{n+|k|}2} \exp\left\{ -c\cfrac{|x - \xi|^2}{t - \tau}\right\},$$ $$|D^k_x v(t, x; \tau, \xi)| \leq C(t - \tau)^{-\cfrac{n+|k|}2} \exp\left\{ -c\cfrac{|x - \xi|^2 + \varrho^2(\tau, \xi)}{t - \tau}\right\},$$ $$|D^k_x G (t, x; \tau, \xi) - D^k_{x'} G (t', x'; \tau, \xi)| \leq Cd^{\alpha}(t, x; t', x') \times$$ $$\times \left[(t - \tau)^{\cfrac{n+|k|+\alpha}2} \exp\left\{-c\cfrac{|x - \xi|^2}{t - \tau}\right\} + (t' - \tau)^{\cfrac{n+|k|+\alpha}2} \times \right]$$ $$\times\left[\exp\left\{-c\cfrac{|x' - \xi|^2}{t' - \tau}\right\}\right], \quad (|k| \leq 2)$$ где $\varrho(\tau, \xi)$ — параболическое расстояние точки $(\tau, \xi)$ до границы $$\Gamma \times[\tau, t], d(t, x; t', x')$ — параболическое расстояние между $(t, x)$ и $(t', x')$. При доказательстве используются установленные А. Фридманом (РЖ Мат., 1959,9113) априорные оценки решений рассматриваемой краевой задачи вплоть до некоторого куска границы.

Англомовна версія (Springer): Ukrainian Mathematical Journal 21 (1969), no. 1, pp 11-20.

Зразок цитування: Ивасишен С. Д. Оценки функции Грина однородной первом краевой задачи для параболического уравнения второго порядка в нецилиндрической области // Укр. мат. журн. - 1969. - 21, № 1. - С. 15–27.

Повний текст