2017
Том 69
№ 5

Всі номери

Решение нелинейных и линейных обыкновенных дифференциальных уравнений и их систем при помощи степенных рядов

Фильчаков П. Ф.

Повний текст (.pdf)


Абстракт

Решается задача Коши для систем дифференциальных уравнений с аналитическими правыми частями. Одно уравнение рассматривается как частный случай такой системы. Решение ищется в виде степенных рядов $y = \sum a_{jn}(x - x_0)^n; \; j \equiv 1, 2,... r$, для определения коэффициентов которых строятся рекуррентные формулы, имеющие очень простую структуру для широкого класса уравнений. Построить такие формулы удалось благодаря введенным обозначениям для коэффициентов произвольной (целой) степени заданного ряда $y^k_i$ и его производных $(y'_i)^k, (y''_i)^k, ...$ а также благодаря применению формулы Коши умножения рядов, которая позволяет все введенные коэффициенты $a_{jn}^{(k)}; \dot{a}_{jn+1}^{(k)}; \ddot{a}_{jn+2}^{(k)},...$ выразить через коэффициенты $a_{jn}$ искомых рядов. Методика вычислений, легко выполнимых как на обычном арифмометре или клавишных вычислительных машинах, так и на ЭВМ, изложена при решении пяти примеров. Рассматриваемый метод позволяет выявлять и выделять изолированные особые точки, в результате чего при помощи аналитического продолжения первоначального элемента решение можно распространить на всю область его существования и обеспечить любую наперед заданную точность результатов.

Англомовна версія (Springer): Ukrainian Mathematical Journal 21 (1969), no. 2, pp 182-197.

Зразок цитування: Фильчаков П. Ф. Решение нелинейных и линейных обыкновенных дифференциальных уравнений и их систем при помощи степенных рядов // Укр. мат. журн. - 1969. - 21, № 2. - С. 230–237.

Повний текст