2018
Том 70
№ 9

All Issues

Rémès E. J.

Articles: 12
Article (Ukrainian)

On the 150-th anniversary of the birth P. L. Chebyshev

Gavrilyuk V. T., Rémès E. J., Skorokhod A. V.

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Ukr. Mat. Zh. - 1972. - 24, № 1. - pp. 

Article (Ukrainian)

Construction of chebyshev approximations using functions of interpolation classes

Gavrilyuk V. T., Rémès E. J.

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Ukr. Mat. Zh. - 1971. - 23, № 1. - pp. 25–33

Article (Ukrainian)

On the problem of uniformly approximate replacement of a curved arc by circular arcs

Levin S. S., Rémès E. J.

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Ukr. Mat. Zh. - 1970. - 22, № 2. - pp. 189–202

Article (Ukrainian)

A theorem of convex polyhedra in connection with the problem of finding the set of solutions to a system of linear inequalities

Rémès E. J., Shteinberg A. S.

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Ukr. Mat. Zh. - 1967. - 19, № 2. - pp. 74–89

Brief Communications (Russian)

«Trigonométrie» Chebyshev polynomials are also hyperbolic

Rémès E. J.

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Ukr. Mat. Zh. - 1964. - 16, № 3. - pp. 406-408

Article (Russian)

Sur la question de construction effective des approximations tchebycheviennes du type rationnel fractionaire et de quelques types appraentés

Rémès E. J.

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Ukr. Mat. Zh. - 1963. - 15, № 4. - pp. 400-411

Pour la méthode des interpolations tchebycheviennes successives ([8J; [9], § 5 dans le cas polynomial), qui s'étend pratiquement d'une manière assez satisfaisante au problème bien plus compliqué des représentations approximatives de la forme (2)—(3) aussi [1], [3], une variante est en passant signalée ici, libre de la procédure un peu pénible de résolution des systèmes d'équations linéaires. Cette méthode est confrontée avec une autre, de nature tout différente, que Ton peut nommer méthode des épreuves successives, récemment proposée fil], [12] pour les problèmes discrets des approximations tchebycheviennes de la forme (4'). On attire l'attention (§ 1°) au fait que l'idée de celle-ci reste aussi applicable aux représentations (8) — (5') analogues a (2) — (3) et l'on détermine explicitement (§ 2°) quelques procédures calculatoires, bonnes a la réalisation de cette méthode. Dans le dernier paragraphe 3° on compare les méthodes sur un exemple illustratif simple et l'on tire au clair certains aspects d'utilisation combinée possible des deux méthodes si différentes par leur nature.

Article (Russian)

Quelques remarques sur les polynomes d'approximation tchebycheviene confrontés avec les sommes terminées des développements des fonctions suivant les polynomes trigonométrique de Tchebycheff

Gavrilyuk V. T., Rémès E. J.

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Ukr. Mat. Zh. - 1963. - 15, № 1. - pp. 46-57

Entre divers systèmes classiques de polynomes orthogonaux, le système $\{T_v,(x)\}$ possède, comme on sait, des propriétés particulièrement remarquables au point de vue de la précision assez haute de l'approximation uniforme que fournissent, pour beaucoup de fonctions $f(x)$, les sommes terminées $S(x) = \sum^n_0 A_vT_v(x)$ des développements correspondants. Cependant l'opinion répandue, en partie trop catégorique, à cet égard repose apparemment sur une interprétation non complètement correcte d'une énonciation connue correspondante de V. A. Stekloff ([3], p. 544). Le but de cet article est d'apporter plus de clarté en ce qui concerne, premièrement, la compréhension des rélations réelles entre les deux modes de représentation approchée des fonctions par les polynomes $S_n (x)$ en question et par les polynomes $\Pi_n(x)$ demeilleure approximation tchebyche vienne ; et secondement — l'appréciation du rôle que peut jouer l'utilisation des polynomes $S_n (x)$ et, plus généralement, de la suite des coefficients $\{A_v\}$ — dans la pratique de la recherche calculatoire des réalisations plus précises des polynomes $\Pi_n(x)$, ayant en vue cette fois le cas plus spécial des fonctions $f(x)$ de structure assez régulière. Les exemples I—V qui terminent l'article donnent des réalisations ap prochées, à degré de précision haussé, des polynomes de meilleure approximation uniforme pour quelques fonctions élémentaires transcendantes. On pourra les considérer comme modifications perfectionnées d'expressions polynomiales usitées (cf. [12]) destinées pour l'introduction des fonctions correspondantes aux machines électroniques calculatoires.

Article (Russian)

Application de certains analogos naturels du second algorithme polynomial aux problèmes du minimax tchebychevien, ordinaire ou généralisé, à paramètres entrant linéairement

Rémès E. J.

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Ukr. Mat. Zh. - 1962. - 14, № 1. - pp. 40-56

Dans un article récent de Ed. Stiefel [16] ont été elucidées quelques relations importantes entre certains procédés, employés dans la résolution des problèmes de meilleure approximation uniforme pour un système d'équations linéaires incompatibles, et la sipmlexe-méthode de programmation linéaire.
Dans le présent article on considère des analogos de la variante semioptimale du second algorithme polynomial de l'auteur [2, 4, 8], appliqués aux problèmes le plus généraux du minimax tchebychevien et quasitchebyche-vien, libre ou conditionné (problèmes $(A), (B), (C), (D)$ dans §§ 2, 3), pour un système fini de fonctions linéaires réelles. Ils se montrent réductibles à la phase principale («$2-n$ de phase» [19]) de la simplexe-méthode qui permet l'élaboration de programmes standardisés des calculs à l'aide des machines électroniques à rapide action.
Pour le cas particulier du premier problème (7) — $(A)$ où l'on suppose remplie la condition de Haar—Vallée Poussin, une question semblable concernant la «méthode d'échange» de E. Stiefel [15], analogue à quelque variante moins précisée «admissible» du second algorithme polynomial (cf. la fin du § 1)] a été considérée dans [16].

Article (Russian)

Elaboration de quelques procédés de calcul pour la construction approximative des solutions des problèmes tchebycheviens à paramètres entrant non linéairement. III

Gavrilyuk V. T., Rémès E. J.

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Ukr. Mat. Zh. - 1961. - 13, № 2. - pp. 150-172

Dans cette partie finale du travail, ainsi que dans la partie II précédente (§ 4), on s'occupe de ces problèmes tchebycheviens d'approximation non linéaire de l'espèce de (27) qui permettent une adaptation de généralisations convenables de la méthode des interpolations tehebycheviennes successives de E.J. Rémès 13, 2, 4]. Les procédures calculatoires indiquées dans § 4, même appliquées une fois pour la réalisation approchée de chacune des opérations successives d'interpolation tchebychevienne, étaient un peu compliquées en tant qu'elles exigeaient, comme phases préliminaires, la formation explicite des systèmes linéarisés (33) de $n + 1$ équations incompatibles ainsi que la détermination des multiplicateurs $\{C_v\}_0^n$ de la relation linéaire entre les formes linéaires correspondantes. Dans la présente partie III du travail on développe une méthode élaborée plus souple, considérablement simplifiée par l'élimination de ces phases préliminaires, dans laquelle le principe de linéarisation approximative n'est utilisé que d'une manière implicite par l'algorithme (41)—(42) et la précision des résultats de chacune des opérations successives susdites peut être haussée à volonté par l'application itérative du procédé des moyennes à poids (42) qui est caractéristique pour la méthode.

Article (Russian)

Élaboration de quelques procédés de calcul pour la construction approximative des solutions des problèmes tchebycheviens à paramètres entrant non linéairement II

Gavrilyuk V. T., Rémès E. J.

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Ukr. Mat. Zh. - 1961. - 13, № 1. - pp. 53-62

Dans ce qui suit (§ 4 de la présente partie II, ainsi que §§ 5 ,6 de la partie III qui terminera le travail) nous envisageons, plus spécialement, ces problèmes tchebycheviens d'approximation non linéaire de l'espèce de (27) qui permettent l'adaptation de généralisations convenables de la méthode des interpolations tchebyclieuiennes, successives basée sur le 2-nd algorithme de E. J. Rémès [3, 2, 4]. En comparant les nouveaux procédés ici élaborés avec le mode d'agir formulé dans la partie I (§ 2) du travail (ce Journal, t. XII, N 3, 1960), on constatera ici une utilisation bien plus limitée du principe de linéarisation approximative [(6)—(33)], en tant que l'énoncé non linéaire précis du problème (27) reste maintenant, à chaque phase du processus calculatoire, d'une manière plus directe dans le champ visuel.

Article (Russian)

Elaboration de quelques procédés de calcul pour la construction approximative des solutions des problèmes tcheby cheviens à paramètres entrant non linéairement

Gavrilyuk V. T., Rémès E. J.

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Ukr. Mat. Zh. - 1960. - 12, № 3. - pp. 324 - 338

R é s u m e A présent nous avons déjà à notre disposition un système élaboré de méthodes calculatoires théoriquement argumentées qui permettent de construire, avec un degré d'exactitude illimité en principe, les solutions des problèmes tchebycheviens généraux concernant l'approximation des fonctions continues réelles (d'un nombre arbitraire de variables indépendantes) par des agrégats de fonctions continues données, à paramètres (en nombre fini) entrant linéairement [1, 2]. Il est naturel d'essayer s'appuyer en quelque sorte sur ces mêmes méthodes en abordant les problèmes ultérieurs — de nature bien plus compliquée et, avec cela, d'actualité pratique urgente — qui concernent la construction numérique des approximations tchebycheviennes non linéaires, c'est-à-dire, à paramètres entrant non linéairement Dans la partie I actualle de ces rech:rch2s la réduction mentionnée aux méthodes plus tôt élaborées (pour les problèmes à paramètres entrant liné-airment) se fait sur le base de certains procédés itératifs de linéarisation approximative pareils, en quelque mesure, à celui-là qu'on applique d'après Gauss [7] pour adapter le méthode des moindres carrés au cas des équations incompatibles non linéaires.On réalise ici la réduction dont il s'agit en substituant au lieu du compact E, dans l'énoncé (1) du problème tchebychevien, un sous-ensemble discret e_N ={x_i}^N_i et en remplaçant ensuite les N équations incompatibles (5) dans l'enonce (5) — (4), ainsi obtenu, du problème par les équations linéarisées (6). En éxigeant que le module-maximum L(z) dés écarts (résidus) relatifs aux N équations (5) soit abaissé à chaque pas du procédé itératif, en même temps que la quantité analogue L(z) relative au système (6) des équations linéarisées, — on se voit forcé, généralement parlanté, d'introduire ici un faсteurlimit at if alpha (0< alpha < 1) en déterminant le vecteur corrigé sous une forme du type (6) désignant une solution, exacte ou approximative, du problème tchebychevien «linéarisé» correspondant). —L'efficacité de l'algorithme tient essentiellement à la possibilité de s'en tirer avec des valeurs a non par trop petites, et cette possibilité, à son tour, tient à la choix plus ou moins bonne de l'approximation initiale z*. La réalisation du procédé en pratique est éclaircie par trois exemples. Dans les paragraphes ultérieurs on indiquera, pour certaines classes importantes des problèmes tchebycheviens d'approximation non linéaire, quelques procédés effectifs modifiés, caractérisés par une application p 1 u s restreinte du principe de linéarisation approximative, et moins exigeants à l'égard d'une réussite particulière dans la choix de l'approximation initiale. Le principes fondamentaux des procédés approximatifs étudiés dans ces recherches ont été indiqués par l'auteur aîné dans deux brèves notes [3,4], publiées dans les Comptes Rendus de l'Académie des sciences de la RSS d'Ukraine. Le présent mémoire contient, à côté d'une exposition plus développée des principes de départ et des énoncés généraux des notes mentionnées, les résultats essentiels d'une investigation expérimentale systématique réalisée dans le laboratoire des calculs de l'Institut de mathématique de l'Académie des sciences d'Ukraine sous la direction responsable du second auteur.

Article (Russian)

Sur la méthode des interpolations tchebycheviennes successives et sur diverses variantes de sa réalisation

Rémès E. J.

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Ukr. Mat. Zh. - 1960. - 12, № 2. - pp. 170 - 180

Résumé Les applications pratiques récentes de la méthode dont il s'agit, basée sur le second algorithme de l'auteur (1934) pour la construction effective des approximations. tchebycheviennes (polynomiales ou généralisées) des fonctions continues, ont mis à l'ordre du jour certaines questions d'actualité concernant la rationalisation possible des procédures correspondantes de réalisation numérique— conformément aux conditions techniques concrètes qui se présentent ainsi qu'aux types concrets des problèmes tchebycheviens à résoudre. Dans cet article un aperçu général des matières essentielles qui s'y rattachent se fait au fond d'une explication plus développée de quelques points de principe et en tenant compte de certaines recherches postérieures— de l'auteur lui-même, de quelques-uns de ses disciples ainsi que d'autres auteurs— parues jusqu'à ce jour. Dans deux notes à paraître prochainement 113, 14] nous traitons quelques questions concernant l'extension efficace de notre méthode aux problèmes tchebycheviens à paramètres entrant non linéairement.