Луковський І. О.

Исследуются нелинейные краевые задачи гидродинамического типа, сформулированные для областей с наперед неизвестными границами. В основе исследований находятся вариационные формулировки этих задач на базе специально введенных в рассмотрение интегральных функционалов с переменной областью интегрирования. Показано, что искомые решения краевых задач эквивалентны в некотором смысле нахождению стационарных точек рассмат риваемых функционалов. Ими являются пары, состоящие из семейств областей и определенных в них функций. На примере задачи о пространственном движении резервуара с упругими стенками, частично заполненного идеальной несжимаемой жидкостью, предложен метод построения в аналитическом виде как искомых решений, так и границ областей (деформируемых стенок и формы возмущенной свободной поверхности жидкости).

Ця стаття присвячується Почесному директору Інституту математики HAH України, академіку HAH України i Російської AH Юрію Олексійовичу Митропольському з нагоди його дев'яносторічного ювілею. Саме видатному вченому Ю. О. Митропольському належать піонерські роботи по створенню і розробці методів дослідження нелінійних коливань систем з повільно змінними амплітудою і фазою, які зараз загальновідомі як метод Крилова - Боголюбова - Митропольського і теорія Митропольського для дослідження нелінійних коливальних систем. З нагоди дев'яносторіччя Юрія Олексійовича Митропольського варто знову повернутися до головних етапів життя цієї видатної людини і згадати його славний життєвий шлях і ті великі випробування і складнощі, що ставали перед ним.

Встановлено варіаційну ознаку стійкості для задачі про вібро-капілярну рівноважну форму, яка виникає в теорії взаємодії обмежених об'ємів рідини з вібро-полями.

Розглядаються принцип ліне арі за ції та отримані на його основі лінійні крайові задачі нелінійної теорії руху обмеженого об'єму рідини з вільною поверхнею, що знаходиться під впливом нестаціонарних вібраційних навантажень. Сформульовано та досліджено задачу про віброкапілярну форму рівноваги, спектральні проблеми теорії лінійних хвиль, проблеми стійкості (форм рівноваги, включаючи й задачу про біфуркації форм рівноваги.

Сформульовані варіаційні задачі, еквівалентні нелінійним еволюційним крайовим задачам з ві­льною границею, які виникають у теорії взаємодії обмежених об’ємів рідини, газу та поверхні розділу з акустичними полями. Доведена можливість застосування в цих варіаційних задачах принципу розділення рухів та одержані варіаційні формулювання задачі про капілярно-звукову форму рівноваги.

Обобщен Принцип Бейтмена — Люке для задачи об акустическом взаимодействии со свободной поверхностью ограниченного объема жидкости. Доказаны экстремальные признаки устойчивости, капиллярно-звуковых равновесных форм.

Доказана самосопряженность интегро-дифференциального оператора, возникающего в теории устойчивости капиллярно-звуковых равновесных форм.

The author presents the solution of the problem of small wave motions of a liquid in vessels having the shape of bodies of rotation. The problem is reduced to the variational, an approximate method based on the idea of Tref'z method being used for its solution.
The solution of this problem permits obtaining equations for the perturbed motion of a solid body with a spherical cavity partially filled with liquid.