2019
Том 71
№ 10

Всі номери

Лопатін А. К.

Публікацій: 10
Стаття (українською)

Нормалізація та усереднення на компактних групах Лі у нелінійній механіці

Лопатін А. К.

↓ Абстракт   |   Повний текст (.pdf)

Укр. мат. журн. - 1997. - 49, № 1. - С. 47–67

Розглянуто метод нормальних форм, метод усереднення за Боголюбовим та метод асимптотичної декомпозиції, запропонований Ю. О. Митропольським та автором цієї статті. Якщо зробити певні припущення щодо теоретико-групових властивостей системи нульового наближення, то метод асимптотичної декомпозиції приводить до результатів, що здобуваються за методом нормальних форм або за методом усереднення за Боголюбовим. Розвинуто новий метод асимптотичної декомпозиції за частиною змінних та його частинний випадок — алгоритм усереднення на компактних групах Лі. Це дало змогу вперше отримати асимптотичне представлення розв'язків системи нелінійних диференціальних рівнянь на компактних некомутативних групах.

Стаття (англійською)

Усереднення за Боголюбовим та процедури нормалізації у нелінійній механіці. IV

Лопатін А. К., Митропольський Ю. О.

↓ Абстракт   |   Повний текст (.pdf)

Укр. мат. журн. - 1995. - 47, № 8. - С. 1044–1068

Теорія, розвинена в роботах [1 - 3], застосовується до деяких класів проблем. Розглянуто лінійні в нульовому наближенні системи. Досліджено питання збереження інтегральних многовидів під дією збурень. На відміну від нелінійних систем лінійні мають централізовані системи, які завжди можуть бути декомпозовані. При цьому знято обмеження, які пов'язані з недіагональністю системи в нульовому наближенні. На завершення метод локальної асимптотичної декомпозиції застосовано до деяких задач механіки.

Стаття (англійською)

Усереднення за Боголюбовим та процедури нормалізації у нелінійній механіці. III

Лопатін А. К., Митропольський Ю. О.

↓ Абстракт   |   Повний текст (.pdf)

Укр. мат. журн. - 1994. - 46, № 12. - С. 1627–1646

Наведена техніка нормалізації за методом асимптотичної декомпозиції у просторі зображення скінченновимірної групи Лі. Стисло викладені для розуміння методу теоретичні положення. Моделі, що грунтуються на рівнянні Вандерполя, вивчені за методом асимптотичної декомпо­зиції у просторі однорідних поліномів (простір зображення загальної лінійної групи на площи­ні) та у просторі зображення групи обертання на площині (звичайні ряди Фур’є). Проведене по­рівняння виявляє драматичне зменшення необхідної кількості алгебраїчних обчислень у остан­ньому випадку. Обговорюються також інші деталі техніки нормалізації за методом асимпто­тичної декомпозиції.

Стаття (англійською)

Bogolyubov averaging and normalization procedures in nonlinear mechanics. II

Лопатін А. К., Митропольський Ю. О.

↓ Абстракт   |   Повний текст (.pdf)

Укр. мат. журн. - 1994. - 46, № 11. - С. 1509–1526

За допомогою нового методу досліджуються системи, лінійні у нульовому наближенні, що мають збурення у формі поліномів. Цей клас систем має широке застосування. Однак більш значним є той факт, що новий метод показує, як можна узагальнити класичний метод нормальної форми Пуанкаре-Біркгофа і як можуть бути одержані нові результати завдяки застосуванню теоретико-групового апарату. Після стислого викладення загальної теорії ілюструється техніка нормалізації за методом асимптотичної декомпозиції на моделях, заснованих на рівняннях Лотке-Вольтерра.

Стаття (українською)

Bogolyubov averaging and normalization procedures in nonlinear mechanics. I

Лопатін А. К., Митропольський Ю. О.

↓ Абстракт   |   Повний текст (.pdf)

Укр. мат. журн. - 1994. - 46, № 9. - С. 1171–1188

A new method of asymptotic analysis of nonlinear dynamical systems is developed with extensive use of group-theoretical methods. The technique of normalization, which is named an "asymptotic decomposition" by the authors, is developed in the context of Bogolyubov averaging. In this paper, we also discuss how this technique helps to understand and develop the averaging method for systems in standard form and systems with several fast variables. The new method treats a centralized system as a direct analog of an averaged system according to Bogolyubov. The operation of averaging is interpreted as a Bogolyubov projector in the construction of the projection of an operator onto the algebra of the centralizer.

Стаття (українською)

Асимптотическая декомпозиция вполне интегрируемых пфаффовых систем с малым параметром

Лопатін А. К., Митропольський Ю. О.

↓ Абстракт   |   Повний текст (.pdf)

Укр. мат. журн. - 1988. - 40, № 3. - С. 349-356

Алгоритм асимптотической декомпозиции переносится на вполне интегрируемые пфаффовы системы. Доказаны теоремы, обосновывающие алгоритм и теоремы об экспоненциальном представлении решения централизованной системы и о разделении движений в централизованной системе на быстрые и медленные. Показано, что произвольная непротиворечивая система Пфаффа может быть приведена к вполне интегрируемой системе от меньшего числа переменных.

Стаття (українською)

Обоснование алгоритма асимптотической декомпозиции для конечного числа приближений

Лопатін А. К.

↓ Абстракт   |   Повний текст (.pdf)

Укр. мат. журн. - 1987. - 39, № 6. - С. 732-737

Устанавливается оценка. для модуля разности решений возмущенной системы с малым параметром и аппроксимирующей ее централизованной системы, получаемой по методу асимптотической декомпозиции. При доказательстве существенно используется теорема Пуанкаре о разложении.

Стаття (українською)

Асимптотическая декомпозиция дифференциальных систем с малым параметром

Лопатін А. К., Митропольський Ю. О.

↓ Абстракт   |   Повний текст (.pdf)

Укр. мат. журн. - 1987. - 39, № 2. - С. 194-204

Дано развернутое изложение метода асимптотической декомпозиции, предложенного авторами и являющегося развитием метода усреднения Н. Н. Боголюбова. Для этого метода существенно использование рядов Ли по малому параметру и аппарата классической теории непрерывных групп. Наряду с изложением алгоритма приводятся теоремы об интегрировании эталонной системы, получившей название централизованной. Доказан теоретико-групповой критерий разделения переменных в централизованной системе на быстрые и медленные.

Стаття (українською)

Асимптотическая декомпозиция дифференциальных систем с малым параметром в пространстве представлений конечномерной группы Ли

Лопатін А. К.

↓ Абстракт   |   Повний текст (.pdf)

Укр. мат. журн. - 1987. - 39, № 1. - С. 56–64

Алгоритм асимптотической декомпозиции применяется к дифференциальным системам, нулевое приближение которых порождает конечномерную группу Ли. Использование пространства представления этой группы позволяет свести все алгоритмы метода к простейшим задачам линейной алгебры. Сформулированы две теоремы об интегрировании централизованной системы.

Стаття (українською)

Асимптотическая декомпозиция систем нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений

Лопатін А. К., Митропольський Ю. О.

↓ Абстракт   |   Повний текст (.pdf)

Укр. мат. журн. - 1984. - 36, № 1. - С. 35 - 45

Приводится алгоритм развития метода усреднения Н. Н. Боголюбова на основе преобразований Ли. Построена алгебра централизатора $\beta^k_0$ возмущенной системы и установлены условия разделения переменных в преобразованной системе централизатора на быстрые и медленные, а также условия декомпозируемости этой системы на подсистемы меньшей размерности в любом приближении.