2017
Том 69
№ 9

Всі номери

Петравчук А. П.

Публікацій: 7
Стаття (українською)

Алгебри Лі, асоційовані з модулями над кільцями многочленів

Петравчук А. П., Сисак К. Я.

↓ Абстракт

Укр. мат. журн. - 2017. - 69, № 9. - С. 1232-1241

Пусть $\mathbb{K}$ — алгебраически замкнутое поле нулевой характеристики и $V$ — модуль над кольцом многочленов $\mathbb{K}[x, y]$. Действие $x$ и $y$ определяет линейные операторы $P$ и $Q$ на $V$, как на векторном пространстве над $\mathbb{K}$. Определим алгебру Ли $L_V = \mathbb{K}\langle P,Q\rangle \rightthreetimes V$ как полупрямое произведение двух абелевых алгебр Ли с естественным действием $\mathbb{K}\langle P, Q\rangle$ на $V$. Доказано, что если $\mathbb{K}[x, y]$-модули $V$ и $W$ изоморфны либо слабо изоморфны, то соответствующие ассоциированные алгебры Ли $L_V$ и $L_W$ изоморфны. Обратное утверждение в общем случае неверно: построены два $\mathbb{K}[x, y]$-модуля $V$ и $W$ размерности 4, которые не являются слабо изоморфными, но их ассоциированные алгебры Ли изоморфны. Приведена характеристика таких пар $\mathbb{K}[x, y]$-модулей произвольной размерности над полем $\mathbb{K}$. Доказано, что неразложимые модули $V$ и $W$ такие, что $\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}\mathbb{K} V = \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}KW \geq 7$, слабо изоморфны тогда и только тогда, когда их ассоциированные алгебры Ли $L_V$ и $L_W$ изоморфны.

Коротке повідомлення (англійською)

Скiнченновимiрнi пiдалгебри полiномiальних алгебр лi рангу один

Аржанцев І.В., Македонський Є. А., Петравчук А. П.

↓ Абстракт   |   Повний текст (.pdf)

Укр. мат. журн. - 2011. - 63, № 5. - С. 708-712

Нехай $W_n(\mathbb{K})$ — алгебра Лi диференцiювань полiномiальної алгебри $\mathbb{K}[X] := \mathbb{K}[x_1,... ,x_n]$ над алгебраїчно замкненим полем $K$ характеристики нуль. Пiдалгебра $L \subseteq W_n(\mathbb{K})$ називається полiномiальною, якщо вона є пiдмодулем $\mathbb{K}[X]$-модуля $W_n(\mathbb{K})$. Доведено, що централiзатор кожного ненульового елемента з $L$ є абелевим у випадку, коли $L$ має ранг 1. Це дає можливiсть класифiкувати скiнченновимiрнi пiдалгебри полiномiальних алгебр Лi рангу 1.

Стаття (англійською)

Замкнені поліноми та насичені підалгебри полiномiальних алгебр

Аржанцев І.В., Петравчук А. П.

↓ Абстракт   |   Повний текст (.pdf)

Укр. мат. журн. - 2007. - 59, № 12. - С. 1587–1593

Досліджено поведінку замкнених поліномів, тобто таких поліномів $f ∈ k[x_1,…,x_n]∖k$, що пiдалгебра k[f] є інтегрально замкненою в k[x1,..., xn], у випадку розширень основного поля. З використанням деяких властивостей замкнених поліномів доведено, що кожен поліном $f ∈ k[x_1,…,x_n]∖k$ після зсувів на константи може бути розкладений у добуток незвідних поліномів одного й того ж степеня. Розглянуто деякі типи насичених підалгебр $A ⊂ k[x_1,…,x_n]$, тобто таких алгебр, що для будь-якого $f ∈ A∖k$ породжуючий поліном для $f$ міститься в $A$.

Коротке повідомлення (російською)

О сильно инертных подалгебрах бесконечномерной алгебры Ли

Петравчук А. П.

↓ Абстракт   |   Повний текст (.pdf)

Укр. мат. журн. - 2002. - 54, № 7. - С. 1025-1028

Вивчаються нескінченновимірні алгебри Лі $L$ над довільним полем, які містять підалгебру $A$ з властивістю $\dim (A + [A, L])/A < ∞$. Доведено, що у випадку локальної скінченносгі алгебри $L$ підалгебра $A$ міститься в деякому ідеалі $I$ алгебри Лі $L$ такому, що $\dim I/A < ∞$. Показано, що умова локальної скінченносгі алгебри $L$ в цьому твердженні є суттєвою.

Стаття (українською)

О разрешимости алгебры Ли, разложимой в сумму абелевой и нильпотентной подалгебр

Петравчук А. П.

↓ Абстракт   |   Повний текст (.pdf)

Укр. мат. журн. - 1991. - 43, № 7-8. - С. 986–991

Доказана разрешимость алгебр Ли, разложимых в сумму абелевой и нильпотентной подалгебр, над полем характеристики

Стаття (українською)

Алгебры Ли, разложимые в сумму абелевой и нильпотентной подалгебр

Петравчук А. П.

↓ Абстракт   |   Повний текст (.pdf)

Укр. мат. журн. - 1988. - 40, № 3. - С. 385–388

Изучаются алгебры Ли, разложимые в сумму абелевой и нильпотентной подалгебр. Над произвольным полем характеристики $p = 2$ построен пример неразрешимой конечномерной алгебры Ли, разложимой в сумму абелевой и нильпотентной подалгебр. Доказано, что произвольная ненулевая алгебра Ли, разложимая в сумму абелевой и нильпотентной подалгебр, отлична от своего коммутанта. Указаны также некоторые достаточные условия разрешимости конечномерной алгебры Ли над алгебраически замкнутым полем характеристики $p > 0$, разложимой в сумму двух нильпотентных подалгебр.

Стаття (українською)

Характеризация периодических локально разрешимых групп с разрешимыми и с конечноэкспонентными силовскими π-подгруппами

Петравчук А. П., Черніков Н. С.

↓ Абстракт   |   Повний текст (.pdf)

Укр. мат. журн. - 1987. - 39, № 6. - С. 761–767

Исследуются свойства периодических локально разрешимых групп в зависимости от свойств их силовских (т. е. максимальных) π-подгрупп (π — некоторое множество простых чисел). В частности, получены следующие результаты. В периодической локально резрешимой группе й все силовские π-подгруппы разрешимы тогда*и только тогда, когда она обладает конечным рядом характеристических подгрупп, каждый фактор которого является либо абелевой π-группой, либо π'-группой. В периодической локально резрешимой группе й все силовские π-подгруппы имеют конечные экспоненты тогда и только тогда, когда она обладает конечным рядом характеристических подгрупп, каждый фактор которого является либо