Бакан А. Г.

Доведено, що встановлена Луї де Бранжем у 1959 році теорема про поліноміальну неповноту у просторі $C^0_w$ не є правильною для простору $L_p (ℝ, dμ)$, якщо носій міри д є достатньо щільним.

До встановленої С. H. Мергеляном у 1956 р. теореми про поліноміальну щільність у просторі $C_w^0$ одержано доповнення у випадку, коли алгебраїчні поліноми є щільними у просторі $C_w^0$.
У цьому випадку наведено повний опис усіх функцій, які можуть бути наближені алгебраїчними многочленами у напівнормі.

У встановленому Луї де Бранжем у 1959 р. критерії поліноміальної щільності у просторі $C_w^0$ вимогу існування цілої функції замінено еквівалентною вимогою існування послідовності многочленів. Уведено поняття строгої компактності поліноміальних множин та встановлено достатні умови існування цієї властивості.

Встановлений Г. Гамбургером у 1921 р. критерій щільності многочленів у просторі $L_p \left( {{\mathbb{R}},d {\mu }} \right)$ розповсюджено на простори $L_p \left( {{\mathbb{R}},d {\mu }} \right)$, $1 ≤ p < ∞$.

Для довільної функції $w:\mathbb{R} \to \left[ {0,1} \right]$ знайдено загальний вигляд лінійного неперервного функціонала на просторі Встановлений Г. Гамбургером у 1921 р. критерій щільності многочленів у просторі $L_2 \left( {\mathbb{R},d\mu } \right)$ поширено на простори $C_w^0$.

Дана повна характеристика послідовностей $\{λ_k}_{k = 0}^{ ∞}$ таких, що при деякому фіксованому $C \in (0,+∞)$, для довільного дійсного многочлена $f(t) = \sum\nolimits_{k = 0}^n {a_k t^k }$ та довільного $A \in (0, +∞)$ число коренів многочлена $(Tf)(t) = \sum\nolimits_{k = 0}^n {a_k \lambda _k t^k }$ на $[0,C]$ не перевищує кількості коренів $(t)$ на $[0, A]$.

Дан анализ вопроса об условиях справедливости формулы Моро—Рокафеллара для сублинейных функционалов. Показано, что эта задача является частным случаем более общей задачи двойственного описания факта замкнутости объединения семейства слабо компактных множеств в сопряженном пространстве. В развернутой форме изложены последние результаты в этом направлении, которые полностью решают указанную задачу для счетных семейств и дают критерий равенства Моро—Рокафеллара в метризуемых локально выпуклых пространствах.