Городній М. Ф.

Установлены необходимые и достаточные условия, при выполнении которых последовательность $x_0 = y_0,\; x_{n+1} = Ax_n  + y_{n+1},\; n ≥ 0$, ограничена для каждой ограниченной последовательности $\{y_n : n ⩾ 0\} ⊂ \left\{x ∈ ⋃^{∞}_{n=1} D(A_n)|\sup_{n ⩾ 0} ∥A^nx∥ < ∞\right\}$. Здесь $A$ — замкнутый оператор в комплексном банаховом пространстве с областью определения $D(A)$.

Доказано, что оператор $\cfrac{d}{dt} + A$, построенный с помощью секториального оператора $A$ со спектром в правой полуплоскости $ℂ$. является непрерывно обратимым в пространствах Соболева $W_p^1 (ℝ, D_{α}),\; α ≥ 0$. Здесь $D_{α}$ — область определения оператора $A^{α}$, норма в $D_{α}$ — норма графика оператора $A^{α}$.

Досліджується питання про обмеженість рекурентної послідовності $$x_n = \sum\limits_{k = 1}^\infty {A_k x_{n - k} + y_n } ,{ }n \geqslant 1,{ }x_n = {\alpha}_n ,{ }n \leqslant 0,$$ в банаховому просторі $B$, де $|y_n\}, |α_n\}$—обмежені в $B$ послідовності, $A_k, k ≥ 1$, — лінійні обмежені оператори. Доведено, що коли для деякого $ε > 0$ виконується умова $$\sum\limits_{k = 1}^\infty {k^{1 + {\varepsilon}} \left\| {A_k } \right\| < \infty }$$ то послідовність { * „ } обмежена для довільних обмежених послідовностей $|y_n\}, |α_n\}$ тоді і тільки тоді, коли для кожного $I - \sum {_{k = 1}^\infty {\text{ }}z^k A_k }$, оператор $z ∈ C, | z | ≤ 1$ має неперервний обернений оператор.

Доведено, що для секторіальиого оператора $A$ зі спектром $σ(A)$, який діє на комплексному банаховому просторі $B$. Умова $σ(A) ∩ iR = Ø$ є достатньою для того, щоб диференціальне рівняння з малим додатним параметром $x_{ε}$ $$\varepsilon x_\varepsilon^\prime\prime(t)+x_\varepsilon^\prime(t)=Ax_\varepsilon(t)+f(t), t \in R,$$ мало єдиний обмежений розв'язок лє для довільної обмеженої функції $f: R → B$, що задовольняє певну умову Гельдера. Також встановлено, що при $ε → 0+$ обмежені розв'язки таких рівнянь збігаються рівномірно на $R$ до єдиного обмеженого розв'язку диференціального рівняння $x′(t) = Ax(t) + f(t)$.

Отримано критерій існування тa єдиності розв'язків лінійного різницевого рівняння з необмеженим операторним коефіцієнтом, що належать простору $l_p(B)$ послідовностей елементів банаховою простору $B$.

Отримано необхідні та достатні умови існування і єдиності обмежених розв'язків деяких класів лінійних одно- та двопараметричних різницевих рівнянь з операторними коефіцієнтами у бана-ховому просторі.

Отримано критерії існування обмежених розв'язків деяких класів лінійних двопараметричних різницевих рівнянь з операторними коефіцієнтами у баиаховому просторі.

Досліджено питання про апроксимацію обмеженого розв'язку різницевого аналога диференціального рівняння $$x^{(m)}(t) + A_1x^{(m-1)}(t) + ... + A_{m-1}x'(t)) = Ax(t) +f(0), t \in R$$ розв'язками відповідних крайових задач. Тут $А$ — необмежений оператор в банаховому просторі $B, \{A_1,...,A_{m-1}\} ⊂L(B),\$ $f : ℝ → B$ — фіксована функція.

Доказаны теоремы о существовании и единственности ограниченных и периодических решений одного линейного разностного уравнения с операторными коэффициентами в банаховом пространстве. Для стохастического аналога исследуемого уравнения доказано существование и единственность стационарных в узком смысле и периодических решений специального вида.