2018
Том 70
№ 4

Всі номери

Кофанов В. О.

Публікацій: 25
Стаття (російською)

Точные неравенства разных метрик типа Ремеза на классах функций с заданной функцией сравнения

Гайдабура А. Е., Кофанов В. А.

↓ Абстракт

Укр. мат. журн. - 2017. - 69, № 11. - С. 1472-1485

Для довiльних $p \in [1,\infty ],\; \omega > 0, \;\beta \in (0, 2\omega )$, i будь-якої вимiрної множини $B \subset I_d := [0, d], \mu B \leq \beta$, отримано точну нерiвнiсть рiзних метрик типу Ремеза $$E_0(x)\infty \leq \frac{\| \varphi \|_{\infty} }{E_0 (\varphi )L_p(I_{2\omega} \setminus B_1)}\| x\|_{ L_p(I_d\setminus B)}$$ на класах $S_{\varphi} (\omega )$ $d$-перiодичних функцiй $x (d \geq 2\omega )$, що мають задану синусоподiбну $2\omega$ -перiодичну функцiю порiвняння $\varphi$ , де $B_1 := [(\omega \beta )/2, (\omega + \beta )/2], E_0(f)L_p(G)$ — найкраще наближення функцiї $f$ константами в метрицi простору $L_p(G)$. Як наслiдок отримано точнi нерiвностi рiзних метрик типу Ремеза на соболєвських класах диференцiйовних перiодичних функцiй та на просторах тригонометричних полiномiв i полiномiальних сплайнiв.

Стаття (російською)

Точные неравенства разных метрик типа Ремеза для дифференцируемых периодических функций, полиномов и сплайнов

Кофанов В. А.

↓ Абстракт

Укр. мат. журн. - 2017. - 69, № 2. - С. 173-188

Доведено непокращувану нерiвнiсть рiзних метрик типу Ремеза $$\| x\| q \leq \| \varphi_r\| q \biggl\{\frac{\| x\|_{L_p([0,2\pi ]\setminus B)}}{\|\varphi r\|_{ L_p([0,2\pi ]\setminus B_1)}}\biggr\}^{\alpha } \| x(r)\|^{1 - \alpha}_{ \infty} ,\; q > p > 0, \;\alpha = (r + 1/q)/(r + 1/p),$$ для перioдичних функцiй $x \in L^r_{\infty}$, що задовольняють умову $$L(x)p \leq 2^{-\frac 1p}\| x\|_p,\quad (\ast )$$ де $$L(x)p := \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p} \Bigl\{ \| x\| L_p[a,b] : [a, b] \subset [0, 2\pi ], | x(t)| > 0, t \in (a, b)\Bigr\},$$ $B \subset [0, 2\pi ], \mu B \leq \beta /\lambda$ ($\lambda$ вибрано так, що $\| x\| p = \| \varphi \lambda ,r\| Lp[0,2\pi /\lambda ]), \varphi_r$ — iдеальний сплайн Ейлера порядку $r$, а $$B_1 := \biggl[\frac{-\pi - \beta /2}{2} , \frac{-\pi + \beta /2}{2} \biggr] \bigcup \biggl[ \frac{\pi - \beta /2}{2}, \frac{\pi + \beta /2}{2} \biggr].$$ Як наслiдок отримано точнi нерiвностi рiзних метрик типу Ремеза для тригонометричних полiномiв i полiномiальних сплайнiв, що задовольняють умову $(\ast )$.

Стаття (російською)

Точные неравенства типа Ремеза для дифференцируемых периодических функций, полиномов и сплайнов

Кофанов В. А.

↓ Абстракт

Укр. мат. журн. - 2016. - 68, № 2. - С. 227-240

Для довiльних $\omega > 0,\; \beta \in (0, 2\omega)$ i будь-якої вимiрної множини $B \in I_d := [0, d],\; \mu B = \beta$, отримано точну нерiвнiсть типу Ремеза $$||x||_{\infty} \leq \frac{3||\varphi||_{\infty} - \varphi \biggl(\frac{\omega - \beta}2 \biggr)}{||\varphi||_{\infty} + \varphi \biggl(\frac{\omega - \beta}2 \biggr)} ||x||_{L_{\infty}(I_d\setminus B)}$$ на класах $S_{\varphi} (\omega )$ функцiй $x$ мiнiмального перiоду $d (d \geq 2\omega)$, що мають задану синусоподiбну $2\omega$ -перiодичну функцiю порiвняння $\varphi$. Як наслiдок отримано точнi нерiвностi типу Ремеза на соболєвських класах диференцiйовних перiодичних функцiй та просторах тригонометричних полiномiв i полiномiальних сплайнiв.

Ювілейна дата (українською)

Моторний Віталій Павлович (до 75-річчя від дня народження)

Бабенко В. Ф., Вакарчук С. Б., Великін В. Л., Давидов О. В., Кофанов В. О., Парфінович Н. В., Пасько А. М., Романюк А. С., Рубан В. І., Самойленко А. М., Тіман М. П., Тригуб Р. М., Шевчук І. О., Шумейко О. О.

Повний текст (.pdf)

Укр. мат. журн. - 2015. - 67, № 7. - С. 995-999

Стаття (російською)

Неравенства разных метрик для дифференцируемых периодических функций

Кофанов В. А.

↓ Абстракт   |   Повний текст (.pdf)

Укр. мат. журн. - 2015. - 67, № 2. - С. 202–212

Доведено непокращувану нерiвнiсть рiзних метрик $$\begin{array}{cc}\hfill {\left\Vert x\right\Vert}_q\le {\left\Vert {\varphi}_r\right\Vert}_q{\left(\frac{{\left\Vert x\right\Vert}_p}{{\left\Vert {\varphi}_r\right\Vert}_p}\right)}^{\frac{r+1/q}{r+1/p}}{\left\Vert {x}^{(r)}\right\Vert}_{\infty}^{\frac{1/p-1/q}{r+1/p}},\hfill & \hfill q>p>0,\hfill \end{array}$$ для 2π-перюдичних функцій $x ∈ L_{∞}^r$, що задовольняють умову $$L{(x)}_p\le {2}^{1/p}{\left\Vert x\right\Vert}_p,$$ де $$L{(x)}_p:= \sup \left\{{\left\Vert x\right\Vert}_{L_p\left[a,b\right]}:a,b\in \left[0,2\pi \right],\kern0.5em \left|x(t)\right|>0,\kern0.5em t\in \left(a,b\right)\right\},$$ а $φ_r$ — ідеальний сплайн Ейлера порядку $r$. Як наслідок отримано точні нєрівності типу Нікольського для поліномів і полiномiальних сплайнiв, що задовольняють умову (А).

Стаття (українською)

Неравенства для непериодических сплайнов на действительной оси и их производных

Кофанов В. О.

↓ Абстракт   |   Повний текст (.pdf)

Укр. мат. журн. - 2014. - 66, № 2. - С. 216–225

Розв'язано наступні екстремальні задачі: 1) ${\left\Vert {s}^{(k)}\right\Vert}_{L_q\left[\alpha, \beta \right]}\to \sup$
2)${\left\Vert {s}^{(k)}\right\Vert}_{W_q}\to \sup$
на npocтopi всіх зсувів сплайнів порядку $r$ мінімального дефекту з вузлами в точках $lh, l ∈ Z,$ таких, що $L(s)_p ≤M$, у випадках: a)$k =0, q ≥ p >0$, б)$k =1, . . . , r −1, q ≥ 1$, де $[α, β]$ — довільний відрізок дійсної осі, $$L{(x)}_p:= \sup \left\{{\left\Vert x\right\Vert}_{L_p\left[a,b\right]}:a,b\in \mathbf{R},\kern0.5em \left|x(t)\right|>0,\kern0.5em t\in \left(a,b\right)\right\}$$ ${\left\Vert \cdot \right\Vert}_{W_q}$ — функціонал Вейля, тобто $${\left\Vert x\right\Vert}_{W_q}:=\underset{\varDelta \to \infty }{ \lim}\underset{a\in \mathbf{R}}{ \sup }{\left(\frac{1}{\varDelta }{\displaystyle \underset{a}{\overset{a+\varDelta }{\int }}{\left|x(t)\right|}^qdt}\right)}^{1/q}.$$ Зокрема, отримано деякі узагальнення нерівності Лигуна для сплайшв.

Стаття (російською)

Неравенства для производных функций на оси с несимметрично ограниченными старшими производными

Кофанов В. А.

↓ Абстракт   |   Повний текст (.pdf)

Укр. мат. журн. - 2012. - 64, № 5. - С. 636-648

Для неперiодичних функцiй $x \in L^r_{\infty}(\textbf{R})$, що заданi на всiй дiйснiй осi, доведено аналоги нерiвностi В. Ф. Бабенка. Отриманi нерiвностi оцiнюють норми похiдних $||x^{(k)}_{\pm}||_{L_q[a, b]}$ на довiльному промiжку $[a,b] \subset R$ такому, що $x^{(k)}(a) = x^{(k)}(b) = 0$, через локальнi $L_p$-норми функцiй $x$ i рiвномiрнi несиметричнi норми старших похiдних $x(r)$ цих функцiй.

Стаття (російською)

Точные верхние грани норм функций и их производных на классах функций с заданной функцией сравнения

Кофанов В. А.

↓ Абстракт   |   Повний текст (.pdf)

Укр. мат. журн. - 2011. - 63, № 7. - С. 969-984

Для довiльних $[\alpha, \beta] \subset \textbf{R}$ i $p > 0$ розв’язанo екстремальну задачу $$\int_{\alpha}^{\beta}|x^{(k)}(t)|^q dt \rightarrow \sup, \quad q \geq p, \quad k = 0, \quad \text{або} \quad q \geq 1, \quad k \geq 1,$$ на множинi функцiй $S^k_{\varphi}$ таких, що $\varphi ^{(i)}$ — функцiя порiвняння для $x^{(i)},\; i = 0, 1, . . . , k$, i (у випадку $k = 0$) $L(x)_p \leq L(\varphi)_p$, де $$L(x)_p := \sup \left\{\left(\int^b_a|x(t)|^p dt \right)^{1/p}\; :\; a, b \in \textbf{R},\; |x(t)| > 0,\; t \in (a, b) \right\}.$$ Як наслiдок, вказану задачу розв’язано на соболєвських класах та на обмежених пiдмножинах просторiв тригонометричних полiномiв i сплайнiв.

Стаття (російською)

O некоторых экстремальных задачах разных метрик для дифференцируемых функций на оси

Кофанов В. А.

↓ Абстракт   |   Повний текст (.pdf)

Укр. мат. журн. - 2009. - 61, № 6. - С. 765-776

Для довільного фіксованого відрізка $[α, β] ⊂ R$ та заданих $r ∈ N, A_r, A_0$, $p > 0$ розв'язано екстремальну задачу $$∫^{β}_{α} \left|x^{(k)}(t)\right|^qdt → \sup,\; q⩾p,\; k=0,\; q⩾1,\; 1 ⩽ k ⩽ r−1,$$ на множині всіх функцій $x ∈ L^r_{∞}$ таких, що $∥x (r)∥_{∞} ≤ A_r$, $L(x)_p ≤ A_0$, де $$L(x)p := \left\{\left( ∫^b_a |x(t)|^p dt\right)^{1/ p} : a,b ∈ R,\; |x(t)| > 0,\; t ∈ (a,b)\right\}$$ У випадку $p = ∞$, $k ≥ 1$ ця задача була розв'язана раніше В. Вояновим і Н. Найдьоновим.

Стаття (російською)

O точных неравенствах типа Колмогорова, учитывающих число перемен знака производных

Кофанов В. А., Миропольский В. Е.

↓ Абстракт   |   Повний текст (.pdf)

Укр. мат. журн. - 2008. - 60, № 12. - С. 1642–1649

Отримано нові точні нерівності типу Колмогорова, зокрема точну нерівність для $2 \pi$-періодичних функцій $x \in L^r_{\infty}(T):$ $$||x^{(k)}||_l \leq \left(\frac{\nu(x')}{2} \right)^{\left(1 - \frac1p \right)\alpha} \frac{||\varphi_{r-k}||_l}{||\varphi_r||^{\alpha}_p} ||x||^{\alpha}_p \left|\left|x^{(r)}\right|\right|^{1-\alpha}_{\infty},$$ де $k,\;r \in \mathbb{N},\quad k < r, \quad r \geq 3,\quad p \in [1, \infty],\quad \alpha = (r-k) / (r - 1 + 1/p), \quad \varphi_r$ — ідеальний сплайн Ейлера порядку $r,\quad \nu(x')$ — число змін знаку $x'$ на періоді.

Стаття (російською)

Неравенства для производных функций в пространствах Lp

Кофанов В. А.

↓ Абстракт   |   Повний текст (.pdf)

Укр. мат. журн. - 2008. - 60, № 10. - С. 1338 – 1349

Отримано нову точну нерівність для локальних норм функцій $x \in L^{r}_{\infty,\infty}(\textbf{R}):$ $$\frac1{b-a}\int\limits_a^b|x'(t)|^qdt \leq \frac1{\pi}\int\limits_0^{\pi}|\varphi_{r-1}(t)|^q dt \left(\frac{||x||_{L_{\infty}(\textbf{R})}}{||\varphi_r||_{\infty}}\right)^{\frac{r-1}rq}||x^{(r)}||^q_{\infty}r,\quad r \in \textbf{N},$$ де $\varphi_r$ — ідеальний сплайн Ейлера, на проміжках $[a, b]$ монотонності $x$ для випадку $q \geq 1$, а також для довільних $q > 0$ у випадках $r = 2$ та $r = 3.$ Як наслідок, відому нерівність А. А. Лигуна для періодичних функцій $x \in L^{r}_{\infty}$ $$||x^{(k)}||_q \leq \frac{||\varphi_{r-k}||_q}{||\varphi_r||_{\infty}^{1-k/r}} ||x||^{1-k/r}_{\infty}||x^{(r)}||^{k/r}_{\infty},\quad k,r \in \textbf{N},\quad k < r, \quad 1 \leq q < \infty,$$

Стаття (російською)

О точных неравенствах типа Бернштейна для сплайнов

Кофанов В. А.

↓ Абстракт   |   Повний текст (.pdf)

Укр. мат. журн. - 2006. - 58, № 10. - С. 1357–1367

Отримано нові точні нерівності топу Бернштейна і Колмогорова. Основним результатом роботи є точна нерівність для періодичних сплайнів $s$ порядку $r$ дефекту 1 з вузлами в точках $iπ/n, i ∈ Z, n ∈ N:$ $$\left\| {s^{(k)} } \right\|_q \leqslant n^{k + 1/p - 1/q} \frac{{\left\| {\varphi _{r - k} } \right\|_q }}{{\left\| {\varphi _r } \right\|_p }}\left\| s \right\|_p ,$$ де $k, r ∈ N, k < r, p = 1$ або $p = 2, q > p$, $ϕr$ — ідеальний сплайн Ейлера порядку $r$.

Стаття (російською)

Точные неравенства для производных функций малой гладкости, заданных на оси и полуоси

Бабенко В. Ф., Кофанов В. А., Пичугов С. А.

↓ Абстракт   |   Повний текст (.pdf)

Укр. мат. журн. - 2006. - 58, № 3. - С. 291–302

Отримано нові точні нерівності вигляду $$∥x(k)∥_q ⩽ K∥x∥^{α}_p ∥x(r)∥^{1−α}_s$$ для таких функцій: заданих на осі $R$ або на півосі $R_{+}$ у випадку $$r = 2,\; k = 0,\; p ∈ (0,∞),\; q ∈ (0,∞],\; q > p,\; s=1,$$ заданих на осі $R$ у випадку $$r = 2,\; k = 1,\; q ∈ [2,∞),\; p = ∞,\; s= 1,$$ а також для знакосталих на $R$ або на $R_{+}$ у випадках $$r = 2,\; k = 0,\; p ∈ (0,∞),\; q ∈ (0,∞],\; q > p,\; s = ∞$$ та $$r = 2,\; k = 1,\; p ∈ (0,∞),\; q = s = ∞.$$.

Стаття (російською)

О множестве экстремальных функций в некоторых неравенствах типа Колмогорова

Кофанов В. А.

↓ Абстракт   |   Повний текст (.pdf)

Укр. мат. журн. - 2004. - 56, № 8. - С. 1062–1075

Знайдено множини всіх екстремальних функцій в деяких нерівностях типу Колмогорова, а також в нерівностях типу Бора - Фавара.

Стаття (російською)

Приближение синусоподобпых функций константами в пространствах $L_p,\; p < 1$

Бабенко В. Ф., Кофанов В. А., Пичугов С. А.

↓ Абстракт   |   Повний текст (.pdf)

Укр. мат. журн. - 2004. - 56, № 6. - С. 745–762

Досліджено найкращі наближення синусоподобних функцій константами в $L_p,$-просторах при $р < 1$. Зокрема, знайдено найкраще наближення ідеальних сплайнів Ейлера константами у просторах $L_p,$ при деяких $р \in (0, 1)$.

Стаття (російською)

Сравнение точных констант в неравенствах для производных функций, заданных на вещественной оси и окружности

Бабенко В. Ф., Кофанов В. А., Пичугов С. А.

↓ Абстракт   |   Повний текст (.pdf)

Укр. мат. журн. - 2003. - 55, № 5. - С. 579-589

Досліджується взаємозв'язок між константами $K(R)$ і $K(T)$, де $$K\left( G \right) = K_{k,r} \left( {G;q,p,s;\alpha } \right): = \mathop {\mathop {\sup }\limits_{x \in L_{p,s}^r \left( G \right)} }\limits_{x^{(r)} \ne 0} \frac{{\left\| {x^{\left( k \right)} } \right\|_{L_q \left( G \right)} }}{{\left\| x \right\|_{L_q \left( G \right)}^\alpha \left\| {x^{\left( r \right)} } \right\|_{L_s \left( G \right)}^{1 - \alpha } }}$$ —точна константа в нерівності Колмогорова; $R$ — дійсна пряма, $Т$ — одиничне коло; $L_{p,s}^r (G)$ — множина функцій $x ∈ L_p(G)$ таких, що $x(r) ∈ L_s(G),\; q, p, s ∈ [1, ∞],\; k, r ∈ N,\; k < r$, $$\frac{r - k + 1/q - 1/s}{r + 1/q - 1/s} = 1 - k/r$$ якщо $K(R) = K(T)$, $$\frac{r - k + 1/q - 1/s}{r + 1/q - 1/s} < 1 - k/r$$ якщо $K(R) = K(T)$. Остання нерівність може бути як рівністю, так і строгою нерівністю. Як наслідок одержано нові точні нерівності типу Колмогорова на дійсній прямій.

Стаття (російською)

О некоторых неравенствах типа Колмогорова, учитывающих число перемен знака производных

Кофанов В. А.

↓ Абстракт   |   Повний текст (.pdf)

Укр. мат. журн. - 2003. - 55, № 4. - С. 456-469

Одержано нову точну нерівність типу Колмогорова $$|| x^(k) ||_q \leqslant (\frac{v(x^(k))}{2})^{1/q} \frac{|| \phi_{r-k} ||_q}{||| \phi_r |||_p^\alpha} ||| x |||_p^\alpha || x^(r) ||_\infty^{1- \alpha}, k, r \in N, k < r,$$ у якій враховано число змін знаку похідних $ν(x^{(k)})$ на періоді, для $2\pi$-періодичних функцій $x \in L_{\infty} ^r$ і для довільних $q ∈ [1, ∞]$, $p ∈ (0, ∞]$, де $α = (r − k + 1/q)/(r + 1/p)$, $ϕ_r$— ідеальний сплайн Ейлера порядку $r$, $$\begin{gathered} \left\| {\left| x \right|} \right\|_p : = {\text{sup}}_{a,b \in {\text{R}}} \{ E_0 (x)_{L_p [a,b]} :x'(t) \ne 0{\text{ }}\forall t \in (a,b)\} , \hfill \\ {\text{ }} \hfill \\ {\text{ }}E_0 (x)_{L_p [a,b]} : = {\text{ inf}}_{c \in {\text{R}}} \left\| {x - c} \right\|_{L_p [a,b]} , $$ $∥x∥_{L_p[a,b]}:= \sup \text{vrai}_{t∈[a,b]}|x(t)|. Ця нерівність перетворюється в рівність для функцій вигляду $x(t) = aϕ_r(nt + b), a, b ∈ R, n ∈ N$. Одержано також аналог даної нерівності у випадку $k = 0, q = ∞$ і доведено нові точні нерівності типу Бернштейна для тригонометричних поліномів та сплайнів.

Коротке повідомлення (російською)

О неравенствах типа Колмогорова с интегрируемой старшей производной

Бабенко В. Ф., Кофанов В. А., Пичугов С. А.

↓ Абстракт   |   Повний текст (.pdf)

Укр. мат. журн. - 2002. - 54, № 12. - С. 1694-1697

Одержано нову точну нерівність типу Колмогорова $$\left\| {x^{\left( k \right)} } \right\|_2 \leqslant K\left\| x \right\|_2^{\frac{{r - k - {1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 2}} \right. \kern-\nulldelimiterspace} 2}}}{{r - {1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 2}} \right. \kern-\nulldelimiterspace} 2}}}} \left\| {x^{\left( r \right)} } \right\|_1^{\frac{k}{{r{{ - 1} \mathord{\left/ {\vphantom {{ - 1} 2}} \right. \kern-\nulldelimiterspace} 2}}}$$ для $2π$-періодичних функцій $x \in L_1^r$ i довільних $k, r ∈ N,\; k < r$. Наведено застосування цієї нерівності в задачах наближення одного класу функцій іншим та оцінки типу $K$-функціонала.

Стаття (російською)

Усиленно теореми сравнения и неравенства Колмогорова и их приложения

Кофанов В. А.

↓ Абстракт   |   Повний текст (.pdf)

Укр. мат. журн. - 2002. - 54, № 10. - С. 1348-1356

Одержано посилений варіант теореми порівпяння Колмогорова. Це дозволило, зокрема, отримати підсилепу нерівність Колмогорова $$\left\| {x^{(k)} } \right\|_{L_\infty (R)} \leqslant \frac{{\left\| {\phi _{r - k} } \right\|_\infty }}{{\left\| {\phi _r } \right\|_\infty ^{1 - k/r} }}M(x)^{1 - k/r} \left\| {x^{(r)} } \right\|_{L_\infty (R)}^{k/r} ,$$ для функцій $x ∈ L_{∞}^x(r)$, де $$M(x): = \frac{1}{2}\mathop {\sup }\limits_{\alpha ,\beta } \left\{ {\left| {x(\beta ) - x(\alpha )} \right|:x'(t) \ne 0{\text{ }}\forall t \in (\alpha ,\beta )} \right\}{\text{,}}$$ $k,\; r ∈ N,\; k < r, ϕ_r$ — ідеальний сплайн Ейлера порядку $r$ за допомогою якої підсиленї нерівністі Бернштейпа для тригонометричних поліномів і нерівність Тихомирова для сплайнів. Наведено інші застосування цієї нерівності.

Стаття (російською)

Неравенства типа Колмогорова для периодических функции с ограниченной вариацией первой производной

Бабенко В. Ф., Кофанов В. А., Пичугов С. А.

↓ Абстракт   |   Повний текст (.pdf)

Укр. мат. журн. - 2002. - 54, № 5. - С. 603-609

Одержано нову непокращувану нерівність типу Колмогорова $$\left\| {x'} \right\|_q \leqslant K\left( {q,p} \right)\left\| x \right\|_p^a \left( {\mathop V\limits_{0}^{{2\pi }} \left( {x'} \right)} \right)^{1 - {alpha }} ,$$ для дифереиційовних $2π$-періодичyих функцій $х$, що мають обмежену варіацію похідної $x′$, де $q ∈ (0, ∞), p ∈ [1, ∞]$, $α = min{1/2, p/q(p + 1)}$.

Стаття (російською)

Точные неравенства типа Колмогорова с ограниченной старшей производной в случае малых гладкостей

Бабенко В. Ф., Кофанов В. А., Пичугов С. А.

↓ Абстракт   |   Повний текст (.pdf)

Укр. мат. журн. - 2001. - 53, № 10. - С. 1299-1308

Одержано нові непокращувані нерівності типу Колмогорова для диференційовних періодичних функцій. Зокрема, доведено, що при $r = 2,\; k = 1$ або $r = 3,\; k = 1,\; 2$ та при довільних $q,p \in [1, \infty]$ для функцій $x \in L_{\infty}^r$, справедлива непокращувана нерівність $$\left\| {x^{\left( k \right)} } \right\|_q \leqslant \frac{{\left\| {{\phi }_{r - k} } \right\|_q }}{{\left\| {{\phi }_r } \right\|_p^\alpha }}\left\| x \right\|_p^\alpha \left\| {x^{\left( k \right)} } \right\|_\infty ^{1 - \alpha }$$ де $\alpha = \min \left\{ 1 - \frac kr, \frac{r - k + 1\backslash q}{r + 1 \backslash p} \right\}$ ($ϕ_r$— ідеальний сплайн Ейлера порядку $r$).

Стаття (українською)

Неравенства разных метрик для дифференцируемых периодических функций, полиномов и сплайнов

Кофанов В. О.

↓ Абстракт   |   Повний текст (.pdf)

Укр. мат. журн. - 2001. - 53, № 5. - С. 597-609

Одержано нові нерівності різних метрик для диференційовпих періодичних функцій, зокрема, доведено, що при $p, q ∈ (0, ∞], q > p$ і $s ∈ [p, q]$, для функцій $x \in L_\infty ^{{\text{ }}r}$ справедлива непокращувана нерівність $$|| (x-c_{s+1} (x))_{\pm} ||_q \leqslant \frac{|| (\phi_r)_{\pm} ||_q}{|| \phi_r ||_p^{\frac{r+1/q}{r+1/p}}} || x-c_{s+1}(x) ||_p^{\frac{r+1/q}{r+1/P}} || x^(r) ||_\infty^{\frac{1/p-1/q}{r+1/p}},$$ де $ϕ_r$ — ідеальний сплайн Ейлера порядку $r$, $c_{s + 1}(x)$— константа найкращого наближення функції $x$ у просторі $L_{s + 1}$. За допомогою наведеної нерівності одержано нову нерівність типу Бериштейна для тригонометричних поліномів $τ$ порядку, що не перевищує $n$: $$|| (\tau^(k))_{\pm} ||_q \leqslant n^{k+1/p-1/q} \frac{|| (\cos(\cdot))_{\pm} ||_q}{|| \cos(\cdot) ||_p} || \tau ||_p,$$ де $k ∈ N, p ∈ (0, 1], a q ∈ [1, ∞]$. Розглянуто інші застосування цієї нерівності.

Стаття (російською)

О неравенствах для верхних граней функционалов на классах $W^r H^{ω}$ и некоторых их приложениях

Бабенко В. Ф., Корнейчук Н. П., Кофанов В. А., Пичугов С. А.

↓ Абстракт   |   Повний текст (.pdf)

Укр. мат. журн. - 2000. - 52, № 1. - С. 66-84

Показано, що відомі результати про оцінки верхніх граней функціоналів на класах $W^r H^{ω}$ періодичних функцій можна розглядати як спеціальний випадок нерівностей типу Колмогорова для опорних функцій опуклих, множин. Це дозволило одержати ряд нових тверджень, пов'язаних з апроксимацією класів $W^r H^{ω}$ та встановити їх еквівалентність, а також одержати нові точні нерівності типу Бернштейна-Нікольського, які оцінюють значення опорної функції класу $H^{ω}$ на похідних тригонометричних доліномів або поліношальних сплайнів через $L^{ϱ}$ -норми самих поліномів або сплайнів.

Стаття (російською)

Об аддитивныхх неравенствахх для промежуточных производных функций, заданных на конечном интервале

Бабенко В. Ф., Кофанов В. А., Пичугов С. А.

↓ Абстракт   |   Повний текст (.pdf)

Укр. мат. журн. - 1997. - 49, № 5. - С. 619–628

Наведено загальну схему одержання адитивних нерівностей типу Ландау-Адамара і як наслідок доведено ряд конкретних нових нерівностей для норм проміжних похідних функцій, заданих на скінченному інтервалі, з точною константою при'нормі функції.

Стаття (українською)

О массивности множеств экстремальных функций в некоторых задачах теории приближений

Кофанов В. О.

↓ Абстракт   |   Повний текст (.pdf)

Укр. мат. журн. - 1993. - 45, № 10. - С. 1356–1361

It is proved that the sets of extremal functions are massive in some problems of approximation theory.