Станжицький О. М.

Метод усреднения применен к исследованию задач оптимального управления функционально-дифференциальными уравнениями. Усреднение дает возможность заменить исходную задачу задачей оптимального управления системой обыкновенных дифференциальных уравнений. Доказано, что оптимальное управление усредненной задачи является почти оптимальным для точной. Рассмотрены задачи с конечным и бесконечным горизонтами.

Введена концепция вязкого решения уравнения Беллмана на временных шкалах. Получены условия существования и единственности такого решения.

Установлены условия колеблемости решений функционально-разностных и дискретных разностных линейных урав- нений второго порядка в случае, когда решения их дифференциальных аналогов являются колеблющимися на отрезке.

Для слабонелинейной стохастической системы построена система обыкновенных дифференциальных уравнений, поведение решений которой на бесконечности подобно поведению решений исходной стохастической системы.

Исследована динамика решений автономного волнового уравнения в R_n с непрерывной нелинейностью. Получены априорные оценки. Для m-полупотока обосновано существование инвариантного глобального аттрактора.

Приведены достаточные условия асимптотической эквивалентности нелинейной импульсной системы нелинейной системе без импульсов. Рассмотрен случай асимптотической эквивалентности слабонелинейной импульсной системы и линейной системы с импульсами.

Встановлено умови, при яких з існування обмеженого розв'язку різницевого рівняння випливає існування обмеженого розв'язку відповідного диференціального рівняння. Досліджено зв'язок між дисипативністю диференціальних та різницевих рівнянь у термінах функції Ляпунова.

Вивчаються умови експоненціальної дихотомії в середньому квадратичному систем лінійних стохастичних систем Ito. Доведено, що достатньою умовою експоненціальної дихотомії є існування квадратичної форми, похідна від якої в силу системи від'ємно означена. Також доведено обернену теорему.

Встановлено умови, при яких існування періодичного розв'язку диференціального рівняння зберігається при наявності цієї властивості у розв'язку відповідного різницевого рівняння. Доведено збіжність періодичних розв'язків системи різницевих рівнянь до періодичного розв'язку системи диференціальних рівнянь. Аналогічні питання розглянуто для обмежених розв'язків.

З допомогою функції Гріна - Самойленка одержано умови існування інваріантних множин стохастичних систем Іто. що є розширеннями динамічних систем на торі.

Для лінійних стохастичних систем отримано достатні умови експоненціальної дихотомії в середньому квадратичному в термінах функцій Ляпунова, які є квадратичними формами.

Одержано порядкові оцінки наближення класів періодичних функцій багатьох змінних у просторі $L_q$ за допомогою операторів ортогонального проектування, а також лінійних операторів, що підпорядковані деяким умовам,

За допомогою функцій Ляпупова одержано умови інваріантності та стохастичпої стійкості інваріантних множин систем типу Іто.

Розглядаються інваріантні множини виг ляду $V(t,x) = 0$, де $V(t,x)$ —функція Ляпунова відповідної детермінованої системи.

Доведено теорему про існування періодичних розв'язків системи диференціальних рівнянь з випадкового правого частиною і малим параметром вигляду dx/dt=εX(t, x, ξ(t)) в околі положення рівноваги усередненої детермінованої системи em class="a-plus-plus">dx/dt=εX ₀(t).

Досліджуються інваріантні тори стохастичних систем типу Іто на площині. Наведено умови стійкості за ймовірністю таких множин.

Для систем диференціальних рівнянь з випадковою правою частиною наведені умови існування періодичних розв’язків в околі положень рівноваги усередненої системи.