2018
Том 70
№ 9

Всі номери

Прикарпатський Я. К.

Публікацій: 9
Коротке повідомлення (англійською)

Диференцiально-геометрична структура та iнтегровнiсть лакса–сато для одного класу бездисперсiйних рiвнянь небесного типу

Гентош О. Є., Прикарпатський Я. К., Притула М. М.

↓ Абстракт

Укр. мат. журн. - 2018. - 70, № 2. - С. 293-297

Це коротке повiдомлення присвячено вивченню диференцiально-геометричної структури та iнтегровностi Лакса – Сато для редукованих небесних рiвнянь типу Шабата, Хiроти та Купершмiдта.

Стаття (українською)

Класична задача М. А. Буля, її розв’язки Пфайфера–Сато i класичний принцип Лагранжа–Даламбера для iнтегровних нелiнiйних рiвнянь небесного типу

Прикарпатський Я. К., Самойленко А. М.

↓ Абстракт

Укр. мат. журн. - 2017. - 69, № 12. - С. 1652-1689

Запропонований огляд присвячено попереднiм та новим дослiдженням класичної проблеми М. А. Буля опису узгоджених лiнiйних векторних полiв та її загальним розв’язкам М. Г. Пфайфера, а також новим спецiальним розв’язкам типу Лакса – Сато. Зокрема, проаналiзовано вiдповiднi алгебраїчнi структури Лi та властивостi iнтегровностi для дуже цiкавого класу нелiнiйних динамiчних систем, що називаються бездисперсiйними рiвняннями небесного типу, якi були введенi Є. Плебанським i пiзнiше проаналiзованi в серiї статей. На основi Лi-алгебраїчної схеми Адлера – Костанта – Сурiо (AKS) та асоцiйованої з нею $R$-структури вивчено орбiти вiдповiдних коприєднаних дiй, тiсно пов’язаних з клaсичними структурами Лi – Пуассона на них. Показано, що умова сумiсностi для них збiгається з вiдповiдними рiвняннями небесного типу, що аналiзуються. Також показано, що всi цi рiвняння породжуються таким чином i їх можна представити як умову сумiсностi Лакса для спецiально побудованих петельних векторних полiв на торi. Описано нескiнченну iєрархiю законiв збереження, пов’язаних з небесними рiвняннями, та вказано її аналiтичну структуру, що пов’язана з iнварiантами Казiмiра. Крiм того, наведено типовi приклади таких рiвнянь, для яких детально проаналiзовано їх iнтегровнiсть у рамках запропонованого пiдходу. Показано зв’язок розвинутого пiдходу з дуже цiкавою класичною механiчною iнтерпретацiєю Лагранжа – Даламбера.

Стаття (англійською)

Інварiантнi мiри для дискретних динамiчних систем та ергодичнi властивостi узагальнених перетворень булевoго типу

Блекмор Д. Л., Голеня Й., Прикарпатський А. К., Прикарпатський Я. К.

↓ Абстракт   |   Повний текст (.pdf)

Укр. мат. журн. - 2013. - 65, № 1. - С. 44-57

Вивчаються ергодичнi мiри для узагальнених перетворень булевoго типу iз використанням пiдходу твiрних функцiй iнварiантних квазiмiр, що базується на спецiальних розв’язках для оператора Фробенiуса – Перрона. Запропоновано новi двовимiрнi перетворення булевoго типу та дослiджено їхнi iнварiантнi мiри та ергодичнi властивостi.

Стаття (українською)

Гамільтонова геометрична зв'язність, асоційована з адіабатично збуреними гамільтоновими системами, та існування адіабатичних інваріантів

Прикарпатський Я. К.

↓ Абстракт   |   Повний текст (.pdf)

Укр. мат. журн. - 2008. - 60, № 3. - С. 382–387

Изучаются дифференциально-геометрические свойства гамильтоновых связностей на симплектических многовидах для адиабатически возмущенной гамильтоновой системы. В частности, сконструирована ассоциированная гамильтоновая связность на главном расслоении и приведено ее описание в терминах ковариантных производных и формы кривизны соответствующей связности.

Стаття (українською)

Адіабатична проблема стійкості Мельникова - Самойленка

Прикарпатський Я. К.

↓ Абстракт   |   Повний текст (.pdf)

Укр. мат. журн. - 2006. - 58, № 6. - С. 787–803

Розвивається симплектичний метод дослідження iнварiантних підмноговидів неавтономних гаміль-тонових систем та ергодичних мір на них. На основі нової конструкції „віртуальних" канонічних перетворень вивчено так звану проблему Мельникова-Самойленка для випадку адіабатично збурених цілком інтегровних гамільтонових систем осциляторного типу.

Стаття (українською)

Симплектичний метод побудови ергодичних мір на інваріантних підмноговидах неавтономних гамільтонових систем: лагранжеві многовиди, їх структура та гомології Мазера

Прикарпатський Я. К.

↓ Абстракт   |   Повний текст (.pdf)

Укр. мат. журн. - 2006. - 58, № 5. - С. 675–691

Розвивається новий підхід до вивчення властивостей ергодичних Mip для неавтономних періодичних гамільтонових потоків на симплектичних многовидах, які використовуються в багатьох задачах механіки та математичної фізики. ґрунтуючись на результатах Дж. Мазера про гомології інваріантних ймовірнісних мір, що мінімізують деякі лагранжеві функціонали, а також на симплектичній теорії, розвиненій А. Флоером та іншими для дослідження симплектичних дій і трансверсальних перетинів лагранжевих многовидів, запропоновано аналог β-функції типу Мазера для вивчення ергодичних мір, асоційованих з неавтономними гамільтоновими системами на слабко точних симплектичних многовидах. Деякі результати про стійкі та нестійкі многовиди до гіперболічних інваріантних множин, що застосовуються в теорії адіабатичних інваріантів повільно збурених інтегровних гамільтонових систем, встановлено в рамках еліптичних методів Громова - Саламона - Зендера в симплектичній геометрії.

Стаття (українською)

Структура бінарних перетворень типу Дарбу та їх застосування в теорії солітонів

Прикарпатський Я. К., Самойленко А. М., Самойленко В. Г.

↓ Абстракт   |   Повний текст (.pdf)

Укр. мат. журн. - 2003. - 55, № 12. - С. 1704-1719

На основі узагальненої тотожності Лагранжа для пар формально спряжених багатовимірних диференціальних операторів на асоційованої з нею спеціальної дифереіщіально-геометричпої структури запропоновано загальну схему побудови відповідних операторів перетворення, що описуються нетривіальними топологічними характеристиками. Побудовано в явному вигляді відповідні інтегро-диференціальні символи операторів перетворень, які використано для конструювання іптегровпих за Лаксом нелінійних двовимірних еволюційних рівнянь та їх перетворень типу Дарбу - Беклунда.

Стаття (українською)

Дослідження інваріантних деформацій інтегральних миоговидів адіабатично збурених цілком інтегровних гамільтонових систем. II

Прикарпатський Я. К., Самойленко А. М.

↓ Абстракт   |   Повний текст (.pdf)

Укр. мат. журн. - 1999. - 51, № 11. - С. 1513–1528

Базуючись на дифереиціально-геометричній теорії Картана інтегральних підмноговидів (інваріантних торів) повністю інтегровиих за Ліувіллем - Арнольдом гамільтоцових систем на кодотичному фазовому просторі, розглянуто алгебраїчно-аналітичний метод дослідження відповідного відображення вкладення інваріантного тора в фазовий простір. Це дає можливість описати аналітично структуру квазіперіодичних розв'язків досліджуваної гамільтонової системи. Розглянуто також задачу існування адіабатичних інваріантів, що асоційовані з повільно збуреною гамільтоповою системою.

Стаття (українською)

Дослідження інваріантних деформацій інтегральних многовидів адіабатично збурених цілком інтегровних гамільтоновнх систем. I

Прикарпатський Я. К., Самойленко А. М.

↓ Абстракт   |   Повний текст (.pdf)

Укр. мат. журн. - 1999. - 51, № 10. - С. 1379–1390

Базуючись на дифереінціально-геометричній теорії Картана інтегральних підмноговидів (інваріантних торій) повністю інтегровних за Ліувіллем-Арнольдом гамільтонових систем на кодотичпому фазовому просторі, розглянуто алгебраїчпо-апалітичний метод дослідження відповідного відображення вкладення інваріантного гора в фазовий простір. Це дає можливість описати аналітично структуру квазіперіодичних розв'язків досліджуваної гамільтонової системи.