2017
Том 69
№ 9

Всі номери

Дзюбенко Г. А.

Публікацій: 5
Стаття (українською)

Поточкова оцінка майже копозитивного наближення неперервних функцій алгебраїчними многочленами

Дзюбенко Г. А.

↓ Абстракт

Укр. мат. журн. - 2017. - 69, № 5. - С. 641-649

В случае, когда непрерывная на отрезке функция $f$ меняет свой знак в $s$ точках $y_i : 1 < y_s < y_{s-1} < ... < y_1 < 1$, для каждого $n \in N$, большего некоторой постоянной $N(k, y_i)$, зависящей только от $k \in N$ и $\min_{i=1,...,s-1}\{ y_i - y_{i+1}\}$, найден алгебраический многочлен $P_n$ степени не больше $n$ такой, что $P_n$ имеет всюду тот же знак, что и функция $f$, за исключением, возможно, малых окрестностей точек $y_i$: $$(y_i \rho_n(y_i), y_i + \rho_n(y_i)),\quad \rho_n(x) := 1/n2 + \sqrt{1 - x^2}/n,$$ $P_n(y_i) = 0$ и $$| f(x) P_n(x)| \leq c(k, s)\omega_k(f, \rho_n(x)),\quad x \in [ 1, 1],$$ где $c(k, s)$ — постоянная, зависящая только от $k$ и $s, \omega k(f, \cdot )$ — модуль гладкости $k$-го порядка функции $f$.

Стаття (українською)

Комонотонне наближення двічі диференційовних періодичних функцій

Дзюбенко Г. А.

↓ Абстракт   |   Повний текст (.pdf)

Укр. мат. журн. - 2009. - 61, № 4. - С. 435-451

В случае, когда дважды непрерывно дифференцируемая на действительной оси $ℝ$ $2π$-периоди-ческая функция $f$ изменяет монотонность в различных фиксированных точках $y_i ∈ [− π, π), i = 1,…, 2s, s ∈ ℕ $ (т. е. на $ℝ$ есть множество $Y := {y_i } i∈ℤ$ точек yі = $y_i = y_{i+2s} + 2π$ таких, что на $[y_i , y_{i−1}]$ $f$ не убывает, если $i$ нечетное, и не возрастает, если $i$ четное), для каждых натуральных $k$ и $n, n ≥ N(Y, k) = const$, построен тригонометрический полином $T_n$ порядка $≤n$, который изменяет свою монотонность в тех же точках $y_i ∈ Y$ , что и $f$, и такой, что $$∥f−T_n∥ ≤ \frac{c(k,s)}{n^2} ω_k(f″,1/n)$$ $$(∥f−T_n∥ ≤ \frac{c(r+k,s)}{n^r} ω_k(f^{(r)},1/ n),f ∈ C^{(r)},\; r ≥ 2),$$ где $N(Y, k)$ зависит только от $Y$ и $k, c(k, s)$ — постоянная, зависящая только от $k$ и $s, ω k (f, ⋅)$ — модуль гладкости порядка $k$ функции $f$ и $‖⋅‖$ — max-норма.

Стаття (українською)

Поточкові оцінки коопуклого наближення диференційовних функцій

Дзюбенко Г. А., Залізко В. Д.

↓ Абстракт   |   Повний текст (.pdf)

Укр. мат. журн. - 2005. - 57, № 1. - С. 47–59

Отримано поточкові оцінки коопуклого наближення функцій із класу $W^r,\; r > 3$.

Стаття (українською)

Коопукле наближення функцій, які мають більше однієї точки перегину

Дзюбенко Г. А., Залізко В. Д.

↓ Абстракт   |   Повний текст (.pdf)

Укр. мат. журн. - 2004. - 56, № 3. - С. 352-365

Нехай $f \in C[−1, 1]$, змінює свою опуклість в $s > 1$ різних точках $y_i = 1, \;i = \overline {1,s}$, з $(-1,1)$. Для $n ∈ N, n ≥ 2$, побудовано алгебраїчний многочлен $P_n$ степеня $≤ n$, який змінює опуклість в тих самих точках $y_i$, щой $f$, і такий, що $$|f(x) - P_n (x)|\;\; \leqslant \;\;C(Y)\omega _3 \left( {f;\frac{1}{{n^2 }} + \frac{{\sqrt {1 - x^2 } }}{n}} \right),\;\;\;\;\;x\;\; \in \;\;[ - 1,\;1],$$ де $ω_3(f; t)$ —третій модуль неперервності функції $f, C(Y)$ — стала, що залежить тільки від $\mathop {\min }\limits_{i = 0,...,s} \left| {y_i - y_{i + 1} } \right|,\;\;y_0 = 1,\;\;y_{s + 1} = - 1$

Стаття (англійською)

Коопукле поточкове наближення

Гілевич Я. Я., Дзюбенко Г. А., Шевчук І. О.

↓ Абстракт   |   Повний текст (.pdf)

Укр. мат. журн. - 2002. - 54, № 9. - С. 1200-1212

Нехай функція $f ∈ C[−1, 1]$ змінює свою опуклість у скінченному наборі $Y := \{y_1, ... y_s\}$ точок $y_i ∈ (−1, 1)$. Для кожного $n > N(Y)$ будується алгебраїчний многочлен $P_n$ степеня $≤ n$, який є коопуклим з $f$, тобто змінює свою опуклість в тих самих точках $y_i$, що й $f$, а $$\left| {f\left( x \right) - P_n \left( x \right)} \right| \leqslant c{\omega }_{2} \left( {f,\frac{{\sqrt {1 - x^2 } }}{n}} \right), x \in \left[ { - 1,1} \right],$$ де $c$ — абсолютна стала, $ω_2(f, t)$—другий модуль неперервності $f$, і якщо $s = 1$, то $N(Y) = 1$. Наведено також контрприклади, що показують, зокрема, неможливість поширення цієї оцінки для більшої гладкості.