2019
Том 71
№ 7

Всі номери

Дзюбенко Г. А.

Публікацій: 7
Стаття (українською)

Майже коопукле наближення неперервних періодичних функцій

Дзюбенко Г. А.

↓ Абстракт

Укр. мат. журн. - 2019. - 71, № 3. - С. 353-367

У випадку, коли неперервна на дiйснiй осi $2\pi$ -перiодична функцiя $f$ змiнює свою опуклiсть у $2s,\; s \in N$, точках перегину $y_i : \pi \leq y_{2s} < y_{2s-1} < . . . < y_1 < \pi$ , а для iнших $i \in Z$ $y_i$ визначенi перiодично, для кожного натурального $n \geq N_{y_i}}$ знайдено тригонометричний полiном $P_n$ порядку $cn$ такий, що $P_n$ змiнює свою опуклiсть так само, як $f$, скрiзь, за винятком, можливо, маленьких околiв $y_i : (y_i \p_i /n, y_i + \pi /n)$ i $\| f P_n\| \leq c(s) \omega 4(f, \pi /n)$, де $N_{y_i}}$ — стала, що залежить лише вiд $\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}_{i = 1,...,2s}\{ y_i y_{i+1}\} , c$ i $c(s)$ — сталi, що залежать лише вiд $s, \omega 4(f, \cdot )$ — четвертий модуль гладкостi функцiї $f$ i $\| \cdot \|$ — рiвномiрна норма.

Стаття (українською)

Поточкова оцінка майже копозитивного наближення неперервних функцій алгебраїчними многочленами

Дзюбенко Г. А.

↓ Абстракт   |   Повний текст (.pdf)

Укр. мат. журн. - 2017. - 69, № 5. - С. 641-649

В случае, когда непрерывная на отрезке функция $f$ меняет свой знак в $s$ точках $y_i : 1 < y_s < y_{s-1} < ... < y_1 < 1$, для каждого $n \in N$, большего некоторой постоянной $N(k, y_i)$, зависящей только от $k \in N$ и $\min_{i=1,...,s-1}\{ y_i - y_{i+1}\}$, найден алгебраический многочлен $P_n$ степени не больше $n$ такой, что $P_n$ имеет всюду тот же знак, что и функция $f$, за исключением, возможно, малых окрестностей точек $y_i$: $$(y_i \rho_n(y_i), y_i + \rho_n(y_i)),\quad \rho_n(x) := 1/n2 + \sqrt{1 - x^2}/n,$$ $P_n(y_i) = 0$ и $$| f(x) P_n(x)| \leq c(k, s)\omega_k(f, \rho_n(x)),\quad x \in [ 1, 1],$$ где $c(k, s)$ — постоянная, зависящая только от $k$ и $s, \omega k(f, \cdot )$ — модуль гладкости $k$-го порядка функции $f$.

Стаття (українською)

Комонотонне наближення двічі диференційовних періодичних функцій

Дзюбенко Г. А.

↓ Абстракт   |   Повний текст (.pdf)

Укр. мат. журн. - 2009. - 61, № 4. - С. 435-451

В случае, когда дважды непрерывно дифференцируемая на действительной оси $ℝ$ $2π$-периоди-ческая функция $f$ изменяет монотонность в различных фиксированных точках $y_i ∈ [− π, π), i = 1,…, 2s, s ∈ ℕ $ (т. е. на $ℝ$ есть множество $Y := {y_i } i∈ℤ$ точек yі = $y_i = y_{i+2s} + 2π$ таких, что на $[y_i , y_{i−1}]$ $f$ не убывает, если $i$ нечетное, и не возрастает, если $i$ четное), для каждых натуральных $k$ и $n, n ≥ N(Y, k) = const$, построен тригонометрический полином $T_n$ порядка $≤n$, который изменяет свою монотонность в тех же точках $y_i ∈ Y$ , что и $f$, и такой, что $$∥f−T_n∥ ≤ \frac{c(k,s)}{n^2} ω_k(f″,1/n)$$ $$(∥f−T_n∥ ≤ \frac{c(r+k,s)}{n^r} ω_k(f^{(r)},1/ n),f ∈ C^{(r)},\; r ≥ 2),$$ где $N(Y, k)$ зависит только от $Y$ и $k, c(k, s)$ — постоянная, зависящая только от $k$ и $s, ω k (f, ⋅)$ — модуль гладкости порядка $k$ функции $f$ и $‖⋅‖$ — max-норма.

Стаття (українською)

Поточкові оцінки коопуклого наближення диференційовних функцій

Дзюбенко Г. А., Залізко В. Д.

↓ Абстракт   |   Повний текст (.pdf)

Укр. мат. журн. - 2005. - 57, № 1. - С. 47–59

Отримано поточкові оцінки коопуклого наближення функцій із класу $W^r,\; r > 3$.

Стаття (українською)

Коопукле наближення функцій, які мають більше однієї точки перегину

Дзюбенко Г. А., Залізко В. Д.

↓ Абстракт   |   Повний текст (.pdf)

Укр. мат. журн. - 2004. - 56, № 3. - С. 352-365

Нехай $f \in C[−1, 1]$, змінює свою опуклість в $s > 1$ різних точках $y_i = 1, \;i = \overline {1,s}$, з $(-1,1)$. Для $n ∈ N, n ≥ 2$, побудовано алгебраїчний многочлен $P_n$ степеня $≤ n$, який змінює опуклість в тих самих точках $y_i$, щой $f$, і такий, що $$|f(x) - P_n (x)|\;\; \leqslant \;\;C(Y)\omega _3 \left( {f;\frac{1}{{n^2 }} + \frac{{\sqrt {1 - x^2 } }}{n}} \right),\;\;\;\;\;x\;\; \in \;\;[ - 1,\;1],$$ де $ω_3(f; t)$ —третій модуль неперервності функції $f, C(Y)$ — стала, що залежить тільки від $\mathop {\min }\limits_{i = 0,...,s} \left| {y_i - y_{i + 1} } \right|,\;\;y_0 = 1,\;\;y_{s + 1} = - 1$

Стаття (англійською)

Коопукле поточкове наближення

Гілевич Я. Я., Дзюбенко Г. А., Шевчук І. О.

↓ Абстракт   |   Повний текст (.pdf)

Укр. мат. журн. - 2002. - 54, № 9. - С. 1200-1212

Нехай функція $f ∈ C[−1, 1]$ змінює свою опуклість у скінченному наборі $Y := \{y_1, ... y_s\}$ точок $y_i ∈ (−1, 1)$. Для кожного $n > N(Y)$ будується алгебраїчний многочлен $P_n$ степеня $≤ n$, який є коопуклим з $f$, тобто змінює свою опуклість в тих самих точках $y_i$, що й $f$, а $$\left| {f\left( x \right) - P_n \left( x \right)} \right| \leqslant c{\omega }_{2} \left( {f,\frac{{\sqrt {1 - x^2 } }}{n}} \right), x \in \left[ { - 1,1} \right],$$ де $c$ — абсолютна стала, $ω_2(f, t)$—другий модуль неперервності $f$, і якщо $s = 1$, то $N(Y) = 1$. Наведено також контрприклади, що показують, зокрема, неможливість поширення цієї оцінки для більшої гладкості.

Стаття (російською)

Коположительное поточечное приближение

Дзюбенко Г. А.

↓ Абстракт   |   Повний текст (.pdf)

Укр. мат. журн. - 1996. - 48, № 3. - С. 326-334

Доведено, що коли функція $f ∈ C^{(1)}\; (I), I: = [−1, 1]$, змінює знак $s$ разів на $f\; (s ∈ ℕ)$, тоді для кожного $n > C$, де стала $С$ залежить тільки від множини точок зміни знаку функції і $k ∈ ℕ$, існує алгебраїчний многочлен $P_n =P_n (x) $ степеня $ ≤n $, який локально успадковує знак $(x)$ і $$\left| {f\left( x \right) - P_n \left( x \right)} \right| \leqslant c\left( {s,k} \right)\left( {\frac{1}{{n^2 }} + \frac{{\sqrt {1 - x^2 } }}{n}} \right)\omega _k \left( {f'; \frac{1}{{n^2 }} + \frac{{\sqrt {1 - x^2 } }}{n}} \right), x \in I$$ де $ω k (f′;t)$ — $k$-й модуль неперервності функції $f$. Також показано, що коли $f ∈ C (I)$ і $f(x) ≥ 0,x ∈I$, тоді для кожного $n ≥ k − 1$ існує многочлен $P_n =P_n(x)$ степеня $≤n$ такий, що $P_n (x) ≥ 0,x ∈ I$, і $|f(x) −P n (x)| ≤c(k)ω k (f;n −2 +n −1 √1 −x 2),x ∈ I.$