2019
Том 71
№ 10

Всі номери

Торбін Г. М.

Публікацій: 5
Стаття (українською)

Сингулярність та тонкі фрактальні властивості одного класу нескінченних згорток Бернуллі з суттєвими перекриттями. II

Лебідь М. В., Торбін Г. М.

↓ Абстракт   |   Повний текст (.pdf)

Укр. мат. журн. - 2015. - 67, № 12. - С. 1667-1678

Изучается лебеговская структура и тонкие фрактальные свойства бесконечных сверток Бернулли, т. е. распределений случайных величин вида $\xi=\sum_{k=1}^{\infty}\xi_ka_k$, где $\sum_{k=1}^{\infty}a_k$ — сходящийся знакоположительный ряд, а $\xi_k$ — независимые (вообще говоря, разнораспределенные) бернуллиевские случайные величины. Основное внимание в исследовании уделено на наименее исследованному классу — сверткам Бернулли с существенными перекрытиями, порожденными рядом $\sum_{k=1}^{\infty}a_k$, таким, что для любого $k\in \mathbb{N}$ существует $s_k\in \mathbb{N}\cup\{0\}$ такое, что $a_k = a_{k+1} = ... = a_{k+s_k} ≥ r_{k+s_k}$, причем $s_k > 0$ выполняется для неограниченного количества индексов $k$. В этом случае почти все (как в смысле меры Лебега, так и в смысле фрактальной размерности) точки спектра имеют континуальное количество различных представлений в виде $\xi=\sum_{k=1}^{\infty}\varepsilon_ka_k$, где $\varepsilon_k\in\{0, 1\}$.

Доказано, что вероятностная мера $\mu_\xi$ имеет или чисто дискретное, или чисто сингулярно непрерывное распределение. Установлены достаточные условия доверительности на спектре семейства цилиндрических отрезков, порожденные распределением случайной величины $\xi$. В случае сингулярности найдена явная формула для вычисления размерности Хаусдорфа соответствующей вероятностной меры, т. е. размерности Хаусдорфа – Безиковича минимальных (в смысле размерности) носителей меры $\mu_\xi$.

Стаття (українською)

Тополого-метричні властивості множин дійсних чисел з умовами на їх розклади в ряди Остроградського

Барановський О. М., Працьовитий М. В., Торбін Г. М.

↓ Абстракт   |   Повний текст (.pdf)

Укр. мат. журн. - 2007. - 59, № 9. - С. 1155–1168

Исследуются тополого-метрические свойства множества $$C\left[\overline{O}^1, \{V_n\}\right] = \left\{x:\; x= ∑_n \frac{(−1)^{n−1}}{g_1(g_1 + g_2)…(g_1 + g_2 + … + g_n)},\quad g_k ∈ V_k ⊂ \mathbb{N}\right\}$$ с определенными условиями на последовательность множеств $\{V_n\}$. В частности, установлены условия, при которых мера Лебега этого множества является: а) нулевой, б) положительной. Выполнено сравнение с соответствующими результатами для цепных дробей. Обсуждаются возможные применения полученных результатов в теории вероятностей.

Стаття (англійською)

Сингулярні ймовірнісні розподіли та фрактальні властивості множин дійсних чисел, що задані асимптотичною частотою їх $s$-адичних цифр

Працьовитий М. В., Торбін Г. М.

↓ Абстракт   |   Повний текст (.pdf)

Укр. мат. журн. - 2005. - 57, № 9. - С. 1163–1170

Детально вивчаються властивості множини $T_s$ „особливо ненормальних чисел" одиничного інтервалу (тобто множини чисел $x$, для яких немає асимптотичної частоти деяких цифр в $s$-адичному зображенні, а деякі цифри мають асимптотичні частоти). Доведено, що множина $T_s$ є нехтуваною в топологічному сенсі (першої категорії Бера) та загальною в сенсі фрактальної геометрії ($T_s$ є суперфрактальною множиною, розмірність Хаусдорфа-Безиковича якої дорівнює одиниці). Наведено топологічну і фрактальну класифікацію множин дійсних чисел через аналіз асимптотичної частоти їх $s$-адичних зображень.

Стаття (українською)

Мультифрактальний аналіз сингулярно неперервних імовірнісних мір

Торбін Г. М.

↓ Абстракт   |   Повний текст (.pdf)

Укр. мат. журн. - 2005. - 57, № 5. - С. 706–720

Проаналізовано взаємозв'язки різних підходів до означення хаусдорфової розмірності сингулярних імовірнісних мір на основі фрактального аналізу суттєвих носіїв цих мір. Введено в розгляд характеристичні мультифрактальні міри першого та вищих порядків, на основі яких здійснено мультифрактальний аналіз сингулярних імовірнісних мір та доведено теореми про структурне зображення таких мір.

Стаття (українською)

Суперфрактальність множини чисел, які не мають частоти $n$-аднчних знаків, та фрактальні розподіли ймовірностей

Працьовитий М. В., Торбін Г. М.

↓ Абстракт   |   Повний текст (.pdf)

Укр. мат. журн. - 1995. - 47, № 7. - С. 971–975

Вивчено фрактальні властивості (знайдено розмірність Хаусдорфа - Безнковнча і міру Хаус­дорфа) спектра випадкової величини з незалежними $n$-адичннми ($n > 2, n є N$) знаками (циф­рами), нескінченна множина яких фіксована. Доведено, що множина чисел відрізка $[0; 1],$ які не мають частоти хоча б одного $n$-аднчного знаку, є суперфрак галом.