2018
Том 70
№ 7

Всі номери

Торбін Г. М.

Публікацій: 4
Стаття (українською)

Сингулярність та тонкі фрактальні властивості одного класу нескінченних згорток Бернуллі з суттєвими перекриттями. II

Лебідь М. В., Торбін Г. М.

↓ Абстракт

Укр. мат. журн. - 2015. - 67, № 12. - С. 1667-1678

Изучается лебеговская структура и тонкие фрактальные свойства бесконечных сверток Бернулли, т. е. распределений случайных величин вида $\xi=\sum_{k=1}^{\infty}\xi_ka_k$, где $\sum_{k=1}^{\infty}a_k$ — сходящийся знакоположительный ряд, а $\xi_k$ — независимые (вообще говоря, разнораспределенные) бернуллиевские случайные величины. Основное внимание в исследовании уделено на наименее исследованному классу — сверткам Бернулли с существенными перекрытиями, порожденными рядом $\sum_{k=1}^{\infty}a_k$, таким, что для любого $k\in \mathbb{N}$ существует $s_k\in \mathbb{N}\cup\{0\}$ такое, что $a_k = a_{k+1} = ... = a_{k+s_k} ≥ r_{k+s_k}$, причем $s_k > 0$ выполняется для неограниченного количества индексов $k$. В этом случае почти все (как в смысле меры Лебега, так и в смысле фрактальной размерности) точки спектра имеют континуальное количество различных представлений в виде $\xi=\sum_{k=1}^{\infty}\varepsilon_ka_k$, где $\varepsilon_k\in\{0, 1\}$.

Доказано, что вероятностная мера $\mu_\xi$ имеет или чисто дискретное, или чисто сингулярно непрерывное распределение. Установлены достаточные условия доверительности на спектре семейства цилиндрических отрезков, порожденные распределением случайной величины $\xi$. В случае сингулярности найдена явная формула для вычисления размерности Хаусдорфа соответствующей вероятностной меры, т. е. размерности Хаусдорфа – Безиковича минимальных (в смысле размерности) носителей меры $\mu_\xi$.

Стаття (українською)

Тополого-метричні властивості множин дійсних чисел з умовами на їх розклади в ряди Остроградського

Барановський О. М., Працьовитий М. В., Торбін Г. М.

↓ Абстракт   |   Повний текст (.pdf)

Укр. мат. журн. - 2007. - 59, № 9. - С. 1155–1168

Исследуются тополого-метрические свойства множества $$C\left[\overline{O}^1, \{V_n\}\right] = \left\{x:\; x= ∑_n \frac{(−1)^{n−1}}{g_1(g_1 + g_2)…(g_1 + g_2 + … + g_n)},\quad g_k ∈ V_k ⊂ \mathbb{N}\right\}$$ с определенными условиями на последовательность множеств $\{V_n\}$. В частности, установлены условия, при которых мера Лебега этого множества является: а) нулевой, б) положительной. Выполнено сравнение с соответствующими результатами для цепных дробей. Обсуждаются возможные применения полученных результатов в теории вероятностей.

Стаття (англійською)

Сингулярні ймовірнісні розподіли та фрактальні властивості множин дійсних чисел, що задані асимптотичною частотою їх $s$-адичних цифр

Працьовитий М. В., Торбін Г. М.

↓ Абстракт   |   Повний текст (.pdf)

Укр. мат. журн. - 2005. - 57, № 9. - С. 1163–1170

Детально вивчаються властивості множини $T_s$ „особливо ненормальних чисел" одиничного інтервалу (тобто множини чисел $x$, для яких немає асимптотичної частоти деяких цифр в $s$-адичному зображенні, а деякі цифри мають асимптотичні частоти). Доведено, що множина $T_s$ є нехтуваною в топологічному сенсі (першої категорії Бера) та загальною в сенсі фрактальної геометрії ($T_s$ є суперфрактальною множиною, розмірність Хаусдорфа-Безиковича якої дорівнює одиниці). Наведено топологічну і фрактальну класифікацію множин дійсних чисел через аналіз асимптотичної частоти їх $s$-адичних зображень.

Стаття (українською)

Мультифрактальний аналіз сингулярно неперервних імовірнісних мір

Торбін Г. М.

↓ Абстракт   |   Повний текст (.pdf)

Укр. мат. журн. - 2005. - 57, № 5. - С. 706–720

Проаналізовано взаємозв'язки різних підходів до означення хаусдорфової розмірності сингулярних імовірнісних мір на основі фрактального аналізу суттєвих носіїв цих мір. Введено в розгляд характеристичні мультифрактальні міри першого та вищих порядків, на основі яких здійснено мультифрактальний аналіз сингулярних імовірнісних мір та доведено теореми про структурне зображення таких мір.