2018
Том 70
№ 9

Всі номери

Гілевич Я. Я.

Публікацій: 6
Стаття (англійською)

Чарiвна ефективнiсть наближення гладких функцiй зваженими середнiми двох $N$ -точкових Паде апроксимацiй

Єдинак Р., Гілевич Я. Я.

↓ Абстракт

Укр. мат. журн. - 2018. - 70, № 9. - С. 1192-1210

Статтю присвячено наближенню гладких функцiй двома $N$-точковими наближеннями Паде з вагами. Наведено числовi приклади, нерiвностi мiж функцiєю Стiльтьєса та її $N$-точковим наближенням Паде. Квартиры посуточно - онлайн-бронирование

Коротке повідомлення (англійською)

Наближення гладких функцій зваженими середніми N-точкових апроксимант паде

Єдинак Р., Гілевич Я. Я.

↓ Абстракт   |   Повний текст (.pdf)

Укр. мат. журн. - 2013. - 65, № 10. - С. 1410–1419

Розглянемо функцію, яку ми хочемо апроксимувати на iнтервалi $[x_1,x_N]$, якщо відомі $p_1 > 1, p_2,... , p_N$ коефіцієнтів розкладу $f$ у точках $x_1, x_2,... , x_N$. Спочатку ми знаходимо дві сусідні $N$-точкові апроксиманти Паде (НАП) функції $f$, а саме $f_1 = [m/n]$ та $f_2 = [m — 1/n]$ для $f$. Другу НАП знаходимо за обмеженою кількістю інформації шляхом видалення останнього коефіцієнта розкладу $f$ у точці $x_1$. Припустимо, що $f$ — достатньо гладка функція (наприклад, опуклого типу) та (це суттєво) $f_1$ i $f_2$ обмежують $f$ у кожному інтервалі $]x_i, x_{i+1}\[$ з протилежних сторін (умову існування таких двосторонніх апроксимант ми називаємо TSE властивістю $f$). А priori необов'язково відомо, що це припущення виконується для заданої функції $f$. Водночас, як показано на прикладах, що наведені нижче, воно виконується для багатьох функцій, цікавих з практичної точки зору. В такому випадку подальші кроки стають відносно простими. Виберемо відому функцію s з TSE властивістю та значеннями $s(x_i)$ настільки близькими до значень $f(x_i)$, наскільки це можливо. Далі ми знаходимо апроксиманти $s_1 = [m/n]$ та $s_2 = [m — 1/n]$ зазначеннями в точках $x_i$ і визначаємо для будь-якого $x$ вагову функцію a з рівняння $s = \alpha s_1 + (1 — \alpha)s_2$. Застосовуючи цю вагу при знаходженні зваженого середнього $\alpha f_1 + (1 — \alpha)f_2$, отримуємо значно покращене наближення $f$.

Стаття (англійською)

Загальний алгоритм обчислення $c$-таблиць та визначення точок мінімуму

Гілевич Я. Я., Піндор М.

↓ Абстракт   |   Повний текст (.pdf)

Укр. мат. журн. - 2010. - 62, № 6. - С. 762–772

Наведено огляд усіх цікавих результатів щодо $c$-таблиць, одержаних авторами протягом двох останніх десятиліть, які маловідомі з причини публікації у виданнях обмеженого поширення. Розглянуто різні обчислювальні аспекти програм, що продукують с-таблиці з наявністю блоків, а також їх еволюцію, обумовлену еволюцією комп'ютерного середовища, а саме: наслідки використання 32-бітової арифметики (кз 8 розрядів), 64-бітової арифметики (подвійна точність, ≈ 16 розрядів) та високоточного пакету Фортрана Бейлі (32 або 64 розряди), порівняння зростаючих та спадних алгоритмів, зв'язок між складністю обчислень і точністю, проблеми надпотоків та недостатніх потоків, порівняння різних формул, шо дозволяють уникнути блоків у $c$-таблицях, практичний простий критерій для визначення числових нулів у $c$-таблицях, що дозволяють ідентифікувати блоки, автоматичне визначення точок мінімуму.

Стаття (англійською)

Про зв'язок між мірами, що визначають початкову та обернену функції Стільтьєса

Гілевич Я. Я., Піндор М.

↓ Абстракт   |   Повний текст (.pdf)

Укр. мат. журн. - 2010. - 62, № 3. - С. 327–331

Встановлено формулу для міри оберненої функції Стільтьєса, що виражена через міру початкової функції Стільтьєса.

Коротке повідомлення (російською)

Негативний результат у поточковому 3-опуклому наближенні многочленами

Бондаренко А. В., Гилевич Я. Я.

↓ Абстракт   |   Повний текст (.pdf)

Укр. мат. журн. - 2009. - 61, № 4. - С. 563-567

Пусть $Δ^3$ является множеством трижды непрерывно дифференцируемых функций на $[−1, 1]$ таких, что $f'''(x) ≥ 0,\; x ∈ [−1, 1]$. Доказано, что для произвольных $n ∈ ℕ$ и $r ≥ 5$ существует функция $f ∈ C^r [−1, 1] ⋂ Δ^3 [−1, 1]$ тaкaя, что $∥f (r)∥_{C[−1, 1]} ≤ 1$, и для произвольного алгебраического полинома $P ∈ Δ^3 [−1, 1]$ существует $x$ такое, что $$|f(x)−P(x)| ≥ C \sqrt{n}ρ^r_n(x),$$ где $C > 0$ — постоянная, зависящая только от $r, ρ_n(x) := \frac1{n^2} + \frac1n \sqrt{1−x^2}$.

Стаття (англійською)

Коопукле поточкове наближення

Гілевич Я. Я., Дзюбенко Г. А., Шевчук І. О.

↓ Абстракт   |   Повний текст (.pdf)

Укр. мат. журн. - 2002. - 54, № 9. - С. 1200-1212

Нехай функція $f ∈ C[−1, 1]$ змінює свою опуклість у скінченному наборі $Y := \{y_1, ... y_s\}$ точок $y_i ∈ (−1, 1)$. Для кожного $n > N(Y)$ будується алгебраїчний многочлен $P_n$ степеня $≤ n$, який є коопуклим з $f$, тобто змінює свою опуклість в тих самих точках $y_i$, що й $f$, а $$\left| {f\left( x \right) - P_n \left( x \right)} \right| \leqslant c{\omega }_{2} \left( {f,\frac{{\sqrt {1 - x^2 } }}{n}} \right), x \in \left[ { - 1,1} \right],$$ де $c$ — абсолютна стала, $ω_2(f, t)$—другий модуль неперервності $f$, і якщо $s = 1$, то $N(Y) = 1$. Наведено також контрприклади, що показують, зокрема, неможливість поширення цієї оцінки для більшої гладкості.