2019
Том 71
№ 11

Всі номери

Левіатан Д.

Публікацій: 3
Стаття (англійською)

Про одну оцiнку для подiлених рiзниць та її застосування

Копотун К. А., Левіатан Д., Шевчук І. О.

↓ Абстракт

Укр. мат. журн. - 2019. - 71, № 2. - С. 230-245

Наведено оцiнку узагальненої подiленої рiзницi $[x_0, ..., x_m; f]$, де деякi з точок $x_i$ можуть збiгатися (в цьому випадку $f$ вважається досить гладкою). Цю оцiнку потiм застосовано для суттєвого посилення вiдомих нерiвностей Уiтнi i Маршу та узагальнення їх для полiномiальної iнтерполяцiї Ермiта. Наприклад, одним iз численних наслiдкiв цiєї оцiнки є той факт, що для заданої функцiї $f \in C(r)(I)$ та набору точок $Z = \{ z_j\}^{\mu}_{j=0}$ таких, що $z_{j+1} - z_j \geq \lambda | I|$ для всiх $0 \leq j \leq \mu 1$, де $I := [z_0, z_{\mu} ], | I|$ — довжина $I, \lambda $ — деяке додатне число, полiном Ермiта $\scr L(\cdot ; f;Z)$ степеня $\leq r\mu + \mu + r$, який задовольняє $\scr L^{(j)}(z\nu ; f;Z) = f(j)(z\nu )$ для $0 \leq \nu \leq \mu$ i $0 \leq j \leq r$, наближає $f$ так, що для всiх $x \in I$ $$| f(x) \scr L (x; f;Z)| \leq C (\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{t} (x,Z))^{r+1} \int^{2| I|}_{dist (x,Z)}\frac{\omega_{m-r}(f^{(r)}, t, I)}{t^2}dt,$$ де $m := (r + 1)(\mu + 1), C = C(m, \lambda)$ i $\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{t} (x,Z) := \mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}0\leq j\leq \mu | x zj | $.

Стаття (англійською)

Про модулi гладкостi з вагами Якобi

Копотун К. А., Левіатан Д., Шевчук І. О.

↓ Абстракт

Укр. мат. журн. - 2018. - 70, № 3. - С. 379-403

Введено модулi гладкостi з вагами Якобi $(1 x)\alpha (1 + x)\beta$ для функцiй, що належать ваговим просторам Якобi $L_p[ 1, 1],\; 0 < p \leq \infty $. Цi модулi використовуються, щоб охарактеризувати гладкiсть функцiй та їх похiдних у вагових просторах $L_p$. При $1 \leq p \leq \infty $ цi модулi еквiвалентнi деяким ваговим K-функцiоналам (таким чином, еквiвалентнi деяким ваговим модулям гладкостi Дiцiана – Тотiка для цих $p$). Водночас при $0 < p < 1$ цi модулi еквiвалентнi деяким „функцiоналам реалiзацiй”.

Стаття (англійською)

Чи однакові порядки найкращого (ко)опуклого наближення та поліноміального наближення без обмежень? ІІ

Коротун К. А., Левіатан Д., Шевчук І. О.

↓ Абстракт   |   Повний текст (.pdf)

Укр. мат. журн. - 2010. - 62, № 3. - С. 369–386

У частині І цієї статті доведено, що для кожного $α > 0$ та неперервної функції $f$, яка або опукла $(s = 0)$ або змінює опуклість у скінченному наборі $Y_s = \{y_i\}^s_i = 1$ точок $y_i ∈ (-1, 1)$, $$\sup \left\{n^{\alpha}E^{(2)}_n(f,Y_s):\;n \geq N^{*}\right\} \leq c(\alpha,s) \sup \left\{n^{\alpha}E_n(f):\; n \geq 1 \right\},$$ де $E_n (f)$ та $E^{(2)}_n (f, Y_s)$ означають відповідно порядок найкращого наближення без обмежень та (ко)опуклого наближення, $c(α, s)$ є сталою, що залежить лише від $α$ і $s$: Більш того, було показано, що $N^{∗}$ можна вибрати рівним одиниці, якщо $s = 0$ або $s = 1, α ≠ 4$, і що воно повинно залежати від $Y_s$ і $α$, якщо $s = 1, α = 4$4 або $s ≥ 2$. У частині II показано, що виконується більш загальна нерівність $$\sup \left\{n^{\alpha}E^{(2)}_n(f,Y_s):\;n \geq N^{*}\right\} \leq c(\alpha, N, s) \sup \left\{n^{\alpha}E_n(f):\; n \geq N \right\},$$ де в залежності від трійки $(α,N,s)$ число $N^{∗}$ може залежати або ні від $α,N,Y_s$ та $f$.