Портенко М. І.

Рассматривается псевдодифференциальное уравнение параболического типа с оператором дробного дифференци- рования по пространственной переменной, являющимся генератором симметричного $\alpha$ -устойчивого случайного процесса в многомерном евклидовом пространстве. Область, на границе которой задаются краевые условия, ограничивается замкнутой достаточно гладкой поверхностью. Краевое условие, называемое в работе третьим, приравнивает к нулю некоторую линейную комбинацию предельных значений (изнутри и снаружи области) в каждой точке поверхности результата действия на неизвестную функцию определенного псевдодифференциального оператора по пространственной переменной — аналога нормальной производной в классике — и предельных значений этой же функции в той же точке.

Построены потенциалы простого слоя для класса псевдодифференциальных уравнений, связанных с симметричными устойчивыми случайными процессами. Выделен оператор, который является аналогом градиента в классической теории, и доказана теорема, аналогичная классической теореме о скачке (ко-)нормальной производной потенциала простого слоя. С помощью этой теоремы построены решения некоторых начально-краевых задач для псевдодифференциальных уравнений упомянутого класса.

Побудовано вінерів процес на площині з напівпрозорою мембраною, що розташована на фіксованому колі і діє в нормальному напрямку. Метод побудови враховує властивості симетрії як кола, так і вінерового процесу. Тому справа зводиться до збурення бесселевого процесу коефіцієнтом переносу, що має характер δ-функції, зосередженої в точці. Це й приводить до пари рівнянь відновлення, з допомогою яких знаходиться ймовірність переходу радіальної частини шуканого процесу.

Розглядається багатовимірний віиерів процес з напівпрозорою мембраною, що розташована на заданій гіперплощині. Траєкторії цього процесу є розв'язками стохастичиого диференціального рівняння, яке є деяким узагальненням відомого рівняння Скорохода для дифузійного процесу в обмеженій області з граничними умовами на межі. З допомогою адитивного функціонала від процесу, що має характер локального часу, зроблено випадкову заміну часу в цьому процесі і, як результат, отримано ймовірнісне зображення розв'язків однієї задачі математичної фізики.

The weak convergence of certain sequences of generalized diffusion processes is characterized by the number of intersections of a process with a fixed plane regarded as a functional of the process.

Доказан ряд предельных теорем для функционалов от невозвратных случайных блужданий, переходящих в пределе в возвратные; исследуются условия невырожденности предельных распределений.