Борсук М. В.

Отримані апріорні оцінки других узагальнених похідних (у ваговій соболєвській нормі) розв'язків задачі Діріхле для еліптичного рівняння $$\frac{d}{{dx_i }}a_i (x,u,u_x ) + a(x,u,u_x ) = 0,x \in G,$$ в околі конічної точки межі області $G$. Наведено приклад, який свідчить, що отримані оцінки є майже точними.

Вивчена розв'язність задачі Діріхле для лінійних та квазілінійних рівномірно еліптичних рівнянь другого порядку в обмеженій області, межа якої містить у собі канонічні точки. Одержані нові теореми про однозначну розв'язність лінійної задачі за мінімальних умов на гладкість коефіцієнтів, правих частіш та межі області. Встановлені класи розв'язності задачі для квазілінійних рівнянь за природних умов.

В ограниченной плоской области рассматривается задача Дирихле для равномерно эл­липтического уравнения $$a_{ij} (x,u,u_x )u_{x_i x_j } + a(x,u,u_x ) = 0$$ Предполагается, что на границе области имеется угловая точка (начало координат), а коэф­фициенты уравнения удовлетворяют минимальным условиям гладкости и согласованного (не выше квадратичного) роста по градиенту. Для гладкого решения доказано, что в ок­рестности угловой точки $$u(x) = O(|x|^{\pi /\omega } ),\nabla u(x) = O(|x|^{\pi /\omega - 1} ),$$ где $ω$ — угол, под которым пересекаются две дуги границы области в начале координат.