2019
Том 71
№ 7

Всі номери

Денега І. В.

Публікацій: 2
Коротке повідомлення (російською)

Неравенства для внутренних радиусов неналегающих областей

Бахтин А. К., Денега И. В.

↓ Абстракт

Укр. мат. журн. - 2019. - 71, № 7. - С. 996-1002

УДК 517.54
Розглядається задача про максимум функціонала $$ r^\gamma(B_0,0)\prod\limits_{k=1}^n r(B_k,a_k), $$ де $B_{0},\ldots,B_{n},$ $n\geq 2,$ --- області в $\overline{\mathbb{C}},$ що взаємно не перетинаються, $a_0=0,$ $|a_{k}|=1,$ $k=\overline{1,n},$ і $\gamma\in(0, n]$ ($r(B,a)$ --- внутрішній радіус області $B\subset\overline{\mathbb{C}}$ відносно $a$). Потрібно показати, що максимум досягається при конфігурації областей $B_{k}$ і точок $a_{k},$ які мають $n$-кратну симетрію. В. М. Дубінін розв'язав її при $\gamma=1,$ Г. В. Кузьміна --- при $0<\gamma<1.$ Пізніше Л. В. Ковальов розв'язав цю задачу при $n\geq 5$ і додатковому припущенні, що кути між сусідніми відрізками $[0, a_{k}]$ не перевищують $2\pi / \sqrt{\gamma}.$ У статті цю задачу узагальнено на випадок довільного розташування систем точок на комплексній площині й отримано деякі оцінки функціонала для всіх $n$ і $\gamma\in(1,n].$

Коротке повідомлення (російською)

Неравенства для внутренних радиусов симметричных неналегающих областей

Бахтин А. К., Выговская Л.В., Денега И. В.

↓ Абстракт

Укр. мат. журн. - 2018. - 70, № 9. - С. 1282-1288

Розглянуто таку задачу: Нехай $a_0 = 0, | a_1| = ... = | a_n| = 1,\; a_k \in B_k {\subset C}$, де $B_0, ... ,B_n$ — взаємно неперетиннi областi i $B_1, ... ,B_n$ — симетричнi вiдносно одиничного кола. Знайти точну верхню межу для добутку $r^{\gamma} (B_0, 0) \prod^n_{k=1} r(B_k, a_k)$, де $r(B_k, a_k)$ — внутрiшнiй радiус областi $B_k$ вiдносно точки $a_k$. Для $\gamma = 1$ i $n \geq 2$ цю задачу розв’язав Л. В. Ковальов. У данiй роботi одержано розв’язок цiєї задачi для $\gamma \in (0, \gamma_n], \gamma_n = 0,38 n^2$ i $n \geq 2$ при додатковiй умовi на кути мiж сусiднiми лiнiями сегментiв $[0, a_k]$.