Мельник Ю. І.

Exact in order estimates are obtained in the uniform and integral metrics for the deviation of partial sums of a double series of exponents that represents a function regular in the product of convex polygons; this function is either continuous on the product of closed polygons or belongs to the Smirnov class.

We establish the existence of functions from the Smirnov class

Доказаны обратные теоремы приближения регулярных в выпуклых многоугольниках функций экспоненциальными полиномами специального вида в интегральной метрике. Полученные результаты аналогичны известным в случае приближения периодических функций тригонометрическими полиномами.

Доказаны прямые теоремы приближения регулярных в выпуклых многоугольниках функций экспоненциальными полиномами специального вида в интегральной метрике. Полученные результаты аналогичны известным в случае приближения периодических функций тригонометрическими полиномами.

Для регулярных в выпуклых многоугольниках $M$ и непрерывных в замкнутых многоугольниках $\overline{M}$ функций доказаны прямая и обратная теоремы приближения экспоненциальными полиномами в равномерной метрике.

Для широких классов функций, регулярных в выпуклом многоугольнике $\overline{M}$, и гладких в замкнутом многоугольнике $\overline{M}$, показано, что представляющие их в $\overline{M}$ ряды экспонент сходятся столь же быстро, как и обычные ряды Фурье функций, имеющих ту же гладкость на отрезке $[0, 2\pi].$ В частности, если $f^{(r)}(z)$ ($r$ — целое неотрицательное) удовлетворяет условию Липшица порядка $\alpha,\;0

Для рядов экспонент, представляющих регулярные в выпуклых многоугольниках М функции $f(z)$, установлена следующая теорема, которая является аналогом известной теоремы Бернштейна: пусть $f(z)$ регулярна в $M$, непрерывна в замкнутом многоугольнике $\overline{M}$ и имеет в $\overline{M}$ модуль непрерывности $\omega(h)$. Тогда если $\int\limits_{0}^1\omega(h)h^{-3/2}dh = C