Мельник Ю. І.

Встановлено необхідні і достатні умови для абсолютної збіжності ряду $$\mathop \sum \limits_{v = 1}^\infty \sum\limits_{k = 0}^{m_v - I} {a_{v,k} z^k \exp (\lambda _v z)}$$ у відкритій області. Наведено також умови для зображення рядом вказаного вигляду довільної функції, аналітичної в замкненій (аналітичної у відкритій і неперервної у замкненій) області.

Exact in order estimates are obtained in the uniform and integral metrics for the deviation of partial sums of a double series of exponents that represents a function regular in the product of convex polygons; this function is either continuous on the product of closed polygons or belongs to the Smirnov class.

Доведено існування функцій класів Смирнова $E$ на опуклому многокутнику, ряди експонент яких розбігаються у метриці простору $E$. Аналогічні факти встановлені у випадку збіжності майже скрізь на межі многокутника, рівномірної збіжності на замкненому многокутнику та поточкової збіжності в некутових межових точках.

Встановлено, що у сферичній системі координат фундаментальний розв’язок рівняння Гельм­гольца у клині задовольняє на нескінченності умови випромінювання Зоммерфельда рівномірно за кутовими координатами.

Доказаны обратные теоремы приближения регулярных в выпуклых многоугольниках функций экспоненциальными полиномами специального вида в интегральной метрике. Полученные результаты аналогичны известным в случае приближения периодических функций тригонометрическими полиномами.

Доказаны прямые теоремы приближения регулярных в выпуклых многоугольниках функций экспоненциальными полиномами специального вида в интегральной метрике. Полученные результаты аналогичны известным в случае приближения периодических функций тригонометрическими полиномами.

Для регулярных в выпуклых многоугольниках $M$ и непрерывных в замкнутых многоугольниках $\overline{M}$ функций доказаны прямая и обратная теоремы приближения экспоненциальными полиномами в равномерной метрике.

Для широких классов функций, регулярных в выпуклом многоугольнике $\overline{M}$, и гладких в замкнутом многоугольнике $\overline{M}$, показано, что представляющие их в $\overline{M}$ ряды экспонент сходятся столь же быстро, как и обычные ряды Фурье функций, имеющих ту же гладкость на отрезке $[0, 2\pi].$ В частности, если $f^{(r)}(z)$ ($r$ — целое неотрицательное) удовлетворяет условию Липшица порядка $\alpha,\;0

Для рядов экспонент, представляющих регулярные в выпуклых многоугольниках М функции $f(z)$, установлена следующая теорема, которая является аналогом известной теоремы Бернштейна: пусть $f(z)$ регулярна в $M$, непрерывна в замкнутом многоугольнике $\overline{M}$ и имеет в $\overline{M}$ модуль непрерывности $\omega(h)$. Тогда если $\int\limits_{0}^1\omega(h)h^{-3/2}dh = C