2018
Том 70
№ 9

Всі номери

Бабенко В. Ф.

Публікацій: 61
Стаття (російською)

Неравенства типа Джексона – Стечкина для аппроксимации элементов гильбертова пространства

Бабенко В. Ф., Конарева С. В.

↓ Абстракт

Укр. мат. журн. - 2018. - 70, № 9. - С. 1155-1165

Введено новi характеристики елементiв гiльбертового простору — узагальненi модулi неперервностi $\omega_{ \varphi} (x, L_p, V ([0, \delta]))$ та отримано новi точнi нерiвнoстi типу Джексона – Стєчкiна з цими модулями неперервностi для апроксимацiї елементiв гiльбертового простору. Цi результати мiстять багато вiдомих нерiвнoстей для апроксимацiї перiодичних функцiй тригонометричними полiномами, апроксимацiї неперiодичних функцiй цiлими функцiями експоненцiаль- ного типу, аналогiчнi результати для майже перiодичних функцiй та iншi. Деякi результати є новими вже в цих класичних випадках.

Стаття (російською)

Оценка равномерной нормы одномерного потенциала Рисса частной производной функции с ограниченным лапласианом

Бабенко В. Ф., Парфинович Н. В.

↓ Абстракт

Укр. мат. журн. - 2016. - 68, № 7. - С. 867-878

Отримано новi точнi оцiнки типу Ландау рiвномiрних норм одновимiрних потенцiалiв Рiсса частинних похiдних функцiї багатьох змiнних через норму самої функцiї i норму результату застосування до неї оператора Лапласа.

Стаття (російською)

Об оптимальном восстановлении свертки $n$ функций по линейной информации

Бабенко В. Ф., Гунько М. С.

↓ Абстракт

Укр. мат. журн. - 2016. - 68, № 5. - С. 579-585

Знайдено оптимальну лiнiйну iнформацiю та оптимальний метод її використання для вiдновлення згортки $n$ функцiй на деяких опуклих центрально-симетричних множинах $2\pi$ -перiодичних функцiй.

Стаття (російською)

Приближение некоторых классов многозначных периодических функций обобщенными тригонометрическими полиномами

Бабенко В. В., Бабенко В. Ф., Полищук М. В.

↓ Абстракт

Укр. мат. журн. - 2016. - 68, № 4. - С. 449-459

Одержано узагальнення деяких вiдомих результатiв щодо найкращих, найкращих лiнiйних i найкращих одностороннiх наближень тригонометричними полiномами класiв числових $2 \pi$ -перiодичних функцiй, зображених у виглядi згортки, на випадок класiв багатозначних функцiй.

Стаття (англійською)

Про оптимальне відновлення інтегралів від багатозначних функцій

Бабенко В. В., Бабенко В. Ф., Поліщук М. В.

↓ Абстракт   |   Повний текст (.pdf)

Укр. мат. журн. - 2015. - 67, № 9. - С. 1163-1171

Розглядається задача оптимізації наближеного інтегрування на класах багатозначних функцій, що мають задану мажоранту модуля неперервності. При цьому використовуються значення функцій в n фіксованих або довільних точках області визначення.

Ювілейна дата (українською)

Моторний Віталій Павлович (до 75-річчя від дня народження)

Бабенко В. Ф., Вакарчук С. Б., Великін В. Л., Давидов О. В., Кофанов В. О., Парфінович Н. В., Пасько А. М., Романюк А. С., Рубан В. І., Самойленко А. М., Тіман М. П., Тригуб Р. М., Шевчук І. О., Шумейко О. О.

Повний текст (.pdf)

Укр. мат. журн. - 2015. - 67, № 7. - С. 995-999

Стаття (російською)

Оптимальное восстановление n -линейных функционалов по линейной информации

Бабенко В. Ф., Гунько М. С., Руденко А. А.

↓ Абстракт   |   Повний текст (.pdf)

Укр. мат. журн. - 2014. - 66, № 7. - С. 884–890

Знайдета оптимальну лінійну інформацію та оптимальний метод її використання для відновлення n-лінійних функціоналів на множинах спеціального вигляду з гільбертового простору.

Ювілейна дата (українською)

Майор Пилипович Тіман (до 90-річчя від дня народження)

Бабенко В. Ф., Вакарчук С. Б., Моторний В. П., Пелешенко Б. Г., Романюк А. С., Самойленко А. М., Сердюк А. С., Тригуб Р. М.

Повний текст (.pdf)

Укр. мат. журн. - 2013. - 65, № 8. - С. 1141-1144

Коротке повідомлення (російською)

Равнораспределенная рельефная аппроксимация некоторых классов гармонических функций

Бабенко В. Ф., Левченко Д. А.

↓ Абстракт   |   Повний текст (.pdf)

Укр. мат. журн. - 2012. - 64, № 10. - С. 1426-1431

Знайдено точнi значення рiвнорозподiленої рельєфної апроксимацiї деяких класiв гармонiчних функцiй двох змiнних.

Стаття (російською)

Приближение некоторых классов функций многих переменных гармоническими сплайнами

Бабенко В. Ф., Лескевич Т. Ю.

↓ Абстракт   |   Повний текст (.pdf)

Укр. мат. журн. - 2012. - 64, № 8. - С. 1011-1024

Знайдено точнi значення верхнiх меж похибок наближення гармонiчними сплайнами заданих на $n$-вимiрному паралелепiпедi $\Omega$ функцiй $u$ таких, що $||\Delta u||_{L_{\infty}(\Omega)} \leq 1$, у просторах $||\Delta u||_{L_{p}(\Omega)} \leq 1, \quad 1 \leq p \leq \infty$, та функцiй u таких, що $L_{p}(\Omega), \quad 1 \leq p \leq \infty$, у просторi $L_{1}(\Omega)$.

Стаття (російською)

О зависимости между нормой функции и нормами ее производных порядка $k$ , $r - 2$ и $r , 0 < k < r - 2$

Бабенко В. Ф., Коваленко О. В.

↓ Абстракт   |   Повний текст (.pdf)

Укр. мат. журн. - 2012. - 64, № 5. - С. 597-603

Знайденi необхiднi i достатнi умови на систему додатних чисел $M_{k_1}, M_{k_2}, M_{k_3}, M_{k_4}, \; 0 = k_1 < k2 < k3 = r − 2, k4 = r$, якi гарантують iснування функцiї $x \in L^r_{\infty, \infty}(R)$, такої, що $||x^{(k_i)}||_{\infty} = M_{k_i},\quad i = 1, 2, 3, 4$.

Стаття (російською)

Оценки норм дробных производных через интегральные модули непрерывности и их приложения

Бабенко В. Ф., Чурилова М. С.

↓ Абстракт   |   Повний текст (.pdf)

Укр. мат. журн. - 2011. - 63, № 9. - С. 1155-1168

Для функцiй, заданих на всiй дiйснiй осi або пiвосi, одержано нерiвностi типу Колмогорова, якi оцi- нюють $L_p$-норми $(1 \leq p < \infty)$ дробових похiдних через $L_p$-норми функцiй (або $L_p$-норми їхнiх зрiзаних похiдних) та їхнi $L_p$-модулi неперервностi, та при $p = 1$ встановлено їхню точнiсть. Наведено застосування одержаних нерiвностей.

Стаття (російською)

Неравенства типа Бернштейна для сплайнов, заданных на действительной оси

Бабенко В. Ф., Зонтов В. А.

↓ Абстракт   |   Повний текст (.pdf)

Укр. мат. журн. - 2011. - 63, № 5. - С. 603-611

Отримано точнi нерiвностi типу Бернштейна для сплайнiв $s \in S_{m, h} \bigcap L_2 (\mathbb{R})$, а також точнi нерiвностi, якi для сплайнiв $s \in S_{m, h}, \quad h > 0$, оцiнюють $L_p$-норми перетворень Фур’є $k$-ї похiдної через $L_p$-норми перетворень Фур’є самих сплайнiв.

Стаття (російською)

Оптимизация приближенного интегрирования многозначных функций, монотонных по включению

Бабенко В. В., Бабенко В. Ф.

↓ Абстракт   |   Повний текст (.pdf)

Укр. мат. журн. - 2011. - 63, № 2. - С. 147-155

Знайдено найкращу квадратурну формулу на класі заданих на відрізку [0, 1] опуклозначних функцій, монотонних відносно включення.

Стаття (англійською)

Точні нерівності типу колмогорова для норм дробових похідних функцій багатьох змінних

Бабенко В. Ф., Пічугов С. О., Парфінович Н. В.

↓ Абстракт   |   Повний текст (.pdf)

Укр. мат. журн. - 2010. - 62, № 3. - С. 301–314

Нехай $C(\mathbb{R}^m)$ — простори неперервних обмежених функцій $x: \mathbb{R}^m → \mathbb{R}$ з нормами $∥x∥_C = ∥x∥_{C(\mathbb{R}^m)} := \sup \{ |x(t)|:\; t∈ \mathbb{R}^m\}$, $e_j,\; j = 1,…,m$ — звичайна база в $\mathbb{R}^m$. Для заданих модулів неперервності $ω_j,\; j = 1,…, m$, позначимо $$H^{j,ω_j} := \left\{x ∈ C(\mathbb{R}^m): ∥x∥_{ω_j} = ∥x∥_{H^{j,ω_j}} = \sup_{t_j≠0} \frac{∥Δtjejx(⋅)∥_C}{ω_j(|t_j|)} < ∞\right\}.$$ У роботі отримано нові точні нерівності типу Колмогорова для норм мішаних частинних похідних $∥D^{α}_{ε}x∥_C$ функцій $x ∈ ∩^{m}_{j=1}H^{j,ω_j}$. Наведені деякі застосування цих нерівностей.

Стаття (російською)

О порядке относительных приближений классов дифференцируемых периодических функций сплайнами

Бабенко В. Ф., Парфинович Н. В.

↓ Абстракт   |   Повний текст (.pdf)

Укр. мат. журн. - 2010. - 62, № 2. - С. 147–157

Отримано порядкові рівності при $n → ∞$ для найкращих $L_q$-наближень класів $W_p^r ,\; 1 ≤ q ≤ p ≤ 2$, диференційовних періодичних функцій сплайнами з цих класів.

Стаття (російською)

Несимметричные приближения классов периодических функций сплайнами дефекта 2 и неравенства типа Джексона

Бабенко В. Ф., Парфинович Н. В.

↓ Абстракт   |   Повний текст (.pdf)

Укр. мат. журн. - 2009. - 61, № 11. - С. 1443-1454

Знайдено точні значення найкращих (α, β)-наближень i найкращих односторонніх наближень класів диференційовних періодичних функцій сплайнами дефекту 2. Отримано нові точні нерівності типу Джексона для найкращих і найкращих односторонніх наближень сплайнами дефекту 2.

Стаття (російською)

Уточнение неравенства типа Харди - Литтлвуда - Полиа для степеней самосопряженных операторов в гильбертовом пространстве

Бабенко В. Ф., Биличенко Р. О.

↓ Абстракт   |   Повний текст (.pdf)

Укр. мат. журн. - 2009. - 61, № 10. - С. 1299-1305

Відомі уточнення Тайкова нерівності Харді - Літтлвуда - Поліа для $L_2$-норм проміжних похідних функції, заданої на дійсній осі, узагальнено на випадок степенів самоспряжених операторів у гільбертовому просторі.

Коротке повідомлення (російською)

Неравенства типа Вернштейна для сплайнов дефекта 2

Бабенко В. Ф., Парфинович Н. В.

↓ Абстракт   |   Повний текст (.pdf)

Укр. мат. журн. - 2009. - 61, № 7. - С. 995-999

Отримано нoвi точш нeрiвнocтi типу Вернштейна для перюдичних пoлiнoмiaльниx сплайшв порядку r дефекту 2.

Стаття (російською)

Аппроксимация неограниченных операторов ограниченными в гильбертовом пространстве

Бабенко В. Ф., Биличенко Р. О.

↓ Абстракт   |   Повний текст (.pdf)

Укр. мат. журн. - 2009. - 61, № 2. - С. 147-153

Знайдено найкраще наближення довільного степеня $A^k$ необмеженого самоспряженого оператора $A$ у гільбертовому просторі $H$ на класі $\{x ∈ D(A^r ) : ∥A^r x∥ ≤ 1\},\; k < r$.

Коротке повідомлення (російською)

О наилучших L2 -приближениях функций с помощью всплесков

Бабенко В. Ф., Жиганова С. Г.

↓ Абстракт   |   Повний текст (.pdf)

Укр. мат. журн. - 2008. - 60, № 8. - С. 1119 – 1127

Одержано точні нерівності типу Джексона для наближень в L2 (R) функцій fL2 (R) за допомогою частинних сум сплескових рядів у випадку сплесків Мейєра та Шеннона–Котельникова.

Стаття (українською)

Вопросы единственности элемента наилучшего несимметричного L 1-приближения непрерывных функций со значениями в KB-пространствах

Бабенко В. Ф., Ткаченко М. Є.

↓ Абстракт   |   Повний текст (.pdf)

Укр. мат. журн. - 2008. - 60, № 7. - С. 867 – 878

We consider the problem of characterization for subspaces of the uniqueness of element of the best nonsymmetric

Коротке повідомлення (російською)

О неравенствах типа Колмогорова для дробных производных функций двух переменных

Бабенко В. Ф., Пичугов С. А.

↓ Абстракт   |   Повний текст (.pdf)

Укр. мат. журн. - 2008. - 60, № 6. - С. 837–842

Доведено нову точну нерівність типу Колмогорова, яка оцінює норму мішаної похідної дробового порядку (в сенсі Маршо) функції двох змінних через норму самої функції і норми її частинних похідних першого порядку.

Стаття (російською)

Оценки вейвлет-коэффициентов на некоторых классах функций

Бабенко В. Ф., Спектор С. А.

↓ Абстракт   |   Повний текст (.pdf)

Укр. мат. журн. - 2007. - 59, № 12. - С. 1594–1600

Нехай $ψ_m^D$ — ортогональні вейвлети Добеші, які мають $m$ нульових моментів i $$W^k_{2, p} = \left\{f \in L_2(\mathbb{R}): ||(i \omega)^k \widehat{f}(\omega)||_p \leq 1\right\}, \;k \in \mathbb{N},$$. Доведено, що $$\lim_{m\rightarrow\infty}\sup\left\{\frac{|\psi^D_m, f|}{||(\psi^D_m)^{\wedge}||_q}: f \in W^k_{2, p} \right\} = \frac{\frac{(2\pi)^{1/q-1/2}}{\pi^k}\left(\frac{1 - 2^{1-pk}}{pk -1}\right)^{1/p}}{(2\pi)^{1/q-1/2}}.$$

Стаття (російською)

O неравенствах типа Колмогорова для функций, определенных на полуоси

Бабенко В. Ф., Скороходов Д. С.

↓ Абстракт   |   Повний текст (.pdf)

Укр. мат. журн. - 2007. - 59, № 10. - С. 1299–1312

Встановлено необхідні i достатні умови існування функції класу S - із заданими інтегральними нормами трьох послідовних похідних (взагалі кажучи, дробового порядку).

Стаття (російською)

Сравнение точных констант в неравенствах типа Колмогорова для периодических и непериодических функций многих переменных

Бабенко В. Ф., Чурилова М. С.

↓ Абстракт   |   Повний текст (.pdf)

Укр. мат. журн. - 2006. - 58, № 5. - С. 597–606

Досліджується взаємозв'язок між константами $K(ℝ^n)$ та $K(T^n)$, де $$K(G^n ): = \mathop {\sup }\limits_{\mathop {\prod _{i = 1}^n \left\| {D_i^{l_i } f} \right\|_{L_p (G^n )} \ne 0}\limits^{f \in L_{p,p}^l (G^n )} } \frac{{\left\| {D^\alpha f} \right\|_{L_p (G^n )} }}{{\left\| f \right\|_{L_p (G^n )}^{\mu _0 } \prod _{i = 1}^n \left\| {D_i^{l_i } f} \right\|_{L_p (G^n )}^{\mu _i } }}$$ —точна константа в нерівності типу Колмогорова; $ℝ$ — дійсна пряма, $T = [0,2π],\; L^l_{p, p} (G^n)$— множина функцій $ƒ ∈ L_p (G^n)$ таких, що частинна похідна $D_i^{l_i} f(x),\; i = \overline {1,n}, 1 ≤ p ≤ ∞, l ∈ ℕ^n, α ∈ ℕ_0^n = (ℕ ∪ 〈0〉)^n, D^{α} f$— мішана похідна функції $ƒ, 0 < µi < 1, i = \overline {0,n}$, $∑_{i=0}^n µ_i = 1$. Якщо $G^n = ℝ$, то $µ_0 = 1 − ∑_{i=0}^n (α_i /l_i),\; µ_i = α_i/l_i,\; i = \overline {1,n}$; якщо $G^n = T^n$, то $µ_0 = 1 − ∑_{i=0}^n (α_i /l_i) − ∑_{i=0}^n (λ/l_i),\; µ_i = α_i/ l_i + λ/l_i , i= \overline {1,n},\; λ ≥ 0$. Доведено, що при $λ = 0$ справджується рівність $K(ℝ^n) = K(T^n)$.

Стаття (російською)

Точные неравенства для производных функций малой гладкости, заданных на оси и полуоси

Бабенко В. Ф., Кофанов В. А., Пичугов С. А.

↓ Абстракт   |   Повний текст (.pdf)

Укр. мат. журн. - 2006. - 58, № 3. - С. 291–302

Отримано нові точні нерівності вигляду $$∥x(k)∥_q ⩽ K∥x∥^{α}_p ∥x(r)∥^{1−α}_s$$ для таких функцій: заданих на осі $R$ або на півосі $R_{+}$ у випадку $$r = 2,\; k = 0,\; p ∈ (0,∞),\; q ∈ (0,∞],\; q > p,\; s=1,$$ заданих на осі $R$ у випадку $$r = 2,\; k = 1,\; q ∈ [2,∞),\; p = ∞,\; s= 1,$$ а також для знакосталих на $R$ або на $R_{+}$ у випадках $$r = 2,\; k = 0,\; p ∈ (0,∞),\; q ∈ (0,∞],\; q > p,\; s = ∞$$ та $$r = 2,\; k = 1,\; p ∈ (0,∞),\; q = s = ∞.$$.

Стаття (російською)

О неравенствах типа Джексона для функций, заданных на сфере

Бабенко В. Ф., Доронин В. Г., Лигун А. А., Шумейко А. А.

↓ Абстракт   |   Повний текст (.pdf)

Укр. мат. журн. - 2005. - 57, № 3. - С. 291–304

Отримано точні оцінки наближення в метриках $C$ i $L_2$ функцій, заданих на сфері, лінійними методами підсумовування рядів Фур'є за сферичними гармоніками у випадку, коли диференційовні і різницеві властивості функцій визначаються у просторі $L_2$.

Стаття (російською)

Приближение синусоподобпых функций константами в пространствах $L_p,\; p < 1$

Бабенко В. Ф., Кофанов В. А., Пичугов С. А.

↓ Абстракт   |   Повний текст (.pdf)

Укр. мат. журн. - 2004. - 56, № 6. - С. 745–762

Досліджено найкращі наближення синусоподобних функцій константами в $L_p,$-просторах при $р < 1$. Зокрема, знайдено найкраще наближення ідеальних сплайнів Ейлера константами у просторах $L_p,$ при деяких $р \in (0, 1)$.

Стаття (російською)

Неравенства типа Колмогорова для смешанных производных функций многих переменных

Бабенко В. Ф., Корнейчук Н. П., Пичугов С. А.

↓ Абстракт   |   Повний текст (.pdf)

Укр. мат. журн. - 2004. - 56, № 5. - С. 579-594

Нехай $γ = (γ_1 ,..., γ_d )$ — вектор з додатними координатами, $D^γ$— відповідна мішана похідна (порядку $γ_j$- з а $j$-ю змінною). Доведено, що при $d > 1$ і довільних $0 < k < r$ $$\sup_{x \in L^{r\gamma}_{\infty}(T^d)D^{r\gamma}x\neq0} \frac{||D^{k\gamma}x||_{L_{\infty}(T^d)}}{||x||^{1-k/r}||D^{r\gamma}||^{k/r}_{L_{\infty}(T^d)}} = \infty$$ Разом з тим для всіх $x \in L^{r\gamma}_{\infty}(T^d)$ $$||D^{k\gamma}x||_{L_{\infty}(T^d)} \leq K||x||^{1 - k/r}_{L_{\infty}(T^d)}||D^{r\gamma}x||_{L_{\infty}(T^d)}^{k/r} \left(1 + \ln^{+}\frac{||D^{r\gamma}x||_{L_{\infty}(T^d)}}{||x||_{L_{\infty} (T^d)}}\right)^{\beta}$$ Більш того, якщо \(\bar \beta \) —найменше можливе значення показника Р в цій нерівності, то $$\left( {d - 1} \right)\left( {1 - \frac{k}{r}} \right) \leqslant \bar \beta \left( {d,\gamma ,k,r} \right) \leqslant d - 1.$$ .

Стаття (російською)

Сравнение точных констант в неравенствах для производных функций, заданных на вещественной оси и окружности

Бабенко В. Ф., Кофанов В. А., Пичугов С. А.

↓ Абстракт   |   Повний текст (.pdf)

Укр. мат. журн. - 2003. - 55, № 5. - С. 579-589

Досліджується взаємозв'язок між константами $K(R)$ і $K(T)$, де $$K\left( G \right) = K_{k,r} \left( {G;q,p,s;\alpha } \right): = \mathop {\mathop {\sup }\limits_{x \in L_{p,s}^r \left( G \right)} }\limits_{x^{(r)} \ne 0} \frac{{\left\| {x^{\left( k \right)} } \right\|_{L_q \left( G \right)} }}{{\left\| x \right\|_{L_q \left( G \right)}^\alpha \left\| {x^{\left( r \right)} } \right\|_{L_s \left( G \right)}^{1 - \alpha } }}$$ —точна константа в нерівності Колмогорова; $R$ — дійсна пряма, $Т$ — одиничне коло; $L_{p,s}^r (G)$ — множина функцій $x ∈ L_p(G)$ таких, що $x(r) ∈ L_s(G),\; q, p, s ∈ [1, ∞],\; k, r ∈ N,\; k < r$, $$\frac{r - k + 1/q - 1/s}{r + 1/q - 1/s} = 1 - k/r$$ якщо $K(R) = K(T)$, $$\frac{r - k + 1/q - 1/s}{r + 1/q - 1/s} < 1 - k/r$$ якщо $K(R) = K(T)$. Остання нерівність може бути як рівністю, так і строгою нерівністю. Як наслідок одержано нові точні нерівності типу Колмогорова на дійсній прямій.

Коротке повідомлення (російською)

О неравенствах типа Колмогорова с интегрируемой старшей производной

Бабенко В. Ф., Кофанов В. А., Пичугов С. А.

↓ Абстракт   |   Повний текст (.pdf)

Укр. мат. журн. - 2002. - 54, № 12. - С. 1694-1697

Одержано нову точну нерівність типу Колмогорова $$\left\| {x^{\left( k \right)} } \right\|_2 \leqslant K\left\| x \right\|_2^{\frac{{r - k - {1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 2}} \right. \kern-\nulldelimiterspace} 2}}}{{r - {1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 2}} \right. \kern-\nulldelimiterspace} 2}}}} \left\| {x^{\left( r \right)} } \right\|_1^{\frac{k}{{r{{ - 1} \mathord{\left/ {\vphantom {{ - 1} 2}} \right. \kern-\nulldelimiterspace} 2}}}$$ для $2π$-періодичних функцій $x \in L_1^r$ i довільних $k, r ∈ N,\; k < r$. Наведено застосування цієї нерівності в задачах наближення одного класу функцій іншим та оцінки типу $K$-функціонала.

Стаття (російською)

Неравенства типа Колмогорова для периодических функции с ограниченной вариацией первой производной

Бабенко В. Ф., Кофанов В. А., Пичугов С. А.

↓ Абстракт   |   Повний текст (.pdf)

Укр. мат. журн. - 2002. - 54, № 5. - С. 603-609

Одержано нову непокращувану нерівність типу Колмогорова $$\left\| {x'} \right\|_q \leqslant K\left( {q,p} \right)\left\| x \right\|_p^a \left( {\mathop V\limits_{0}^{{2\pi }} \left( {x'} \right)} \right)^{1 - {alpha }} ,$$ для дифереиційовних $2π$-періодичyих функцій $х$, що мають обмежену варіацію похідної $x′$, де $q ∈ (0, ∞), p ∈ [1, ∞]$, $α = min{1/2, p/q(p + 1)}$.

Стаття (російською)

Точные неравенства типа Колмогорова с ограниченной старшей производной в случае малых гладкостей

Бабенко В. Ф., Кофанов В. А., Пичугов С. А.

↓ Абстракт   |   Повний текст (.pdf)

Укр. мат. журн. - 2001. - 53, № 10. - С. 1299-1308

Одержано нові непокращувані нерівності типу Колмогорова для диференційовних періодичних функцій. Зокрема, доведено, що при $r = 2,\; k = 1$ або $r = 3,\; k = 1,\; 2$ та при довільних $q,p \in [1, \infty]$ для функцій $x \in L_{\infty}^r$, справедлива непокращувана нерівність $$\left\| {x^{\left( k \right)} } \right\|_q \leqslant \frac{{\left\| {{\phi }_{r - k} } \right\|_q }}{{\left\| {{\phi }_r } \right\|_p^\alpha }}\left\| x \right\|_p^\alpha \left\| {x^{\left( k \right)} } \right\|_\infty ^{1 - \alpha }$$ де $\alpha = \min \left\{ 1 - \frac kr, \frac{r - k + 1\backslash q}{r + 1 \backslash p} \right\}$ ($ϕ_r$— ідеальний сплайн Ейлера порядку $r$).

Стаття (російською)

К 80-летию со дня рождения академика HAH Украины Н. П. Корнейчука

Бабенко В. Ф., Лигун А. А., Митропольский Ю. А., Моторный В. П., Никольский С. М., Самойленко А. М.

Повний текст (.pdf)

Укр. мат. журн. - 2000. - 52, № 1. - С. 3-4

Стаття (російською)

О работах Н. П. Корнейчука, выполненных в 1990 - 1999 годах

Бабенко В. Ф., Лигун А. А., Моторный В. П.

↓ Абстракт   |   Повний текст (.pdf)

Укр. мат. журн. - 2000. - 52, № 1. - С. 5-8

Наведено короткий огляд робіт М. П. Корнейчука, опублікованих в 1990-1999 роках.

Стаття (російською)

Исследования днепропетровских математиков по неравенствам для производных периодических функций и их приложениям

Бабенко В. Ф.

↓ Абстракт   |   Повний текст (.pdf)

Укр. мат. журн. - 2000. - 52, № 1. - С. 9-29

Наведено огляд досліджень дніпропетровських математиків, що стосуються точних нерівностей типу Колмогорова для норм проміжних похідних періодичних функцій та їх застосувань в теорії наближень.

Стаття (російською)

О единственности элемента наилучшего $L_1$ -приближения для функций со значениями в банаховом пространстве

Бабенко В. Ф., Горбенко М. Е.

↓ Абстракт   |   Повний текст (.pdf)

Укр. мат. журн. - 2000. - 52, № 1. - С. 30-34

Вивчаються питання єдиності елемента найкращого $L_1$ -наближення неперервних функцій зі значеннями у банаховому просторі. Доведено дві теореми, які характеризують підпростори єдиності за допомогою деяких множин тестових функцій.

Стаття (російською)

О неравенствах для верхних граней функционалов на классах $W^r H^{ω}$ и некоторых их приложениях

Бабенко В. Ф., Корнейчук Н. П., Кофанов В. А., Пичугов С. А.

↓ Абстракт   |   Повний текст (.pdf)

Укр. мат. журн. - 2000. - 52, № 1. - С. 66-84

Показано, що відомі результати про оцінки верхніх граней функціоналів на класах $W^r H^{ω}$ періодичних функцій можна розглядати як спеціальний випадок нерівностей типу Колмогорова для опорних функцій опуклих, множин. Це дозволило одержати ряд нових тверджень, пов'язаних з апроксимацією класів $W^r H^{ω}$ та встановити їх еквівалентність, а також одержати нові точні нерівності типу Бернштейна-Нікольського, які оцінюють значення опорної функції класу $H^{ω}$ на похідних тригонометричних доліномів або поліношальних сплайнів через $L^{ϱ}$ -норми самих поліномів або сплайнів.

Стаття (російською)

Об оптимизации приближенного интегрирования монотонных функций двух переменных

Бабенко В. Ф., Бородачев С. В.

↓ Абстракт   |   Повний текст (.pdf)

Укр. мат. журн. - 1999. - 51, № 7. - С. 881–889

Розв'язано задачу оптимізації наближеного інтегрування визначених на прямокутнику функцій двох змінних, монотонних по кожній змінній, за допомогою квадратурних формул з вузлами в точках прямокутної мережі.

Коротке повідомлення (російською)

О наилучших $L_1$-приближениях функциональных классов сплайнами при наличии ограничений на их производные

Бабенко В. Ф., Парфинович Н. В.

↓ Абстракт   |   Повний текст (.pdf)

Укр. мат. журн. - 1999. - 51, № 4. - С. 435-444

Знайдено точну асимптотику (при $n → ∞$) найкращих $L_1$ наближень класів $W_1^r$ періодичних функцій сплайнами $s ∈ S_{2n, r∼-1}$ ($S_{2n, r∼-1}$ —множина $2π$-періодичних поліноміальиих сплайнів порядку $r−1$, дефекту 1,з вузлами в точках $kπ/n,\; k ∈ ℤ$) такими, що $V_0^{2π} s^{( r-1)} ≤ 1+ɛ_n$ де $\{ɛ_n\}_{n=1}^{ ∞}$ — спадна послідовність додатних чисел така, що $ɛ_n n^2 → ∞$ і $ɛ_n → 0$, якщо $n → ∞$.

Стаття (російською)

О связи между некоторыми неравенствами типа Колмогорова для периодических и непериодических функций

Бабенко В. Ф., Селиванова С. А.

↓ Абстракт   |   Повний текст (.pdf)

Укр. мат. журн. - 1999. - 51, № 2. - С. 147–157

Одержані неперіодичні аналоги відомих нерівностей, які оцінюють $L_p$ -норми проміжних похідних періодичної функції за допомогою $L_{∞}$ -норм цієї функції та її старшої похідної.

Коротке повідомлення (російською)

О точных константах в неравенствах для норм производных на конечном отрезке

Бабенко В. Ф., Удраого Ж. Б.

↓ Абстракт   |   Повний текст (.pdf)

Укр. мат. журн. - 1999. - 51, № 1. - С. 117–119

Доведено, що в адитивній нерівності для норм проміжних похідних функцій, які визначені на скінченному відрізку і дорівнюють нулю у заданій системі точок, найменше можливе значення константи при нормі функції співпадає з точною константою у відповідній нерівності типу Маркова - Нікольського для алгебраїчних поліномів, які теж дорівнюють нулю у цій системі точок.

Стаття (російською)

Наилучшие $L_1$-приближения классов функций, задаваемых дифференциальными операторами, обобщенными сплайнами из этих классов

Бабенко В. Ф., Лейс Азар

↓ Абстракт   |   Повний текст (.pdf)

Укр. мат. журн. - 1998. - 50, № 11. - С. 1443-1451

Знайдені точні значення найкращих $L_1$-наближень класів періодичних функцій, що задаються обмеженнями на $L_1$-норму результату застосування до них диференціальних операторів з постійними коефіцієнтами та дійсним спектром, узагальненими сплайнами з цих класів.

Стаття (російською)

Сравнение аппроксимационных свойств обобщенных полипомои и сплайнов

Бабенко В. Ф., Кофанов В. А., Пичугов С. А.

↓ Абстракт   |   Повний текст (.pdf)

Укр. мат. журн. - 1998. - 50, № 8. - С. 1011–1020

Встановлено, що класи $W_p^r$ функцій багатьох змінних, які задаються обмеженнями на $L_p$-норми мішаних похідних порядку $r = (r_1, r_2, ..., r_m)$, гірше наближаються в $L_q$-метриці узагальненими тригонометричними поліномами, ніж періодичними узагальненими сплайнами, якщо $p ∈ [2, ∞), q = 1$ або $p = ∞, q ∈ [ 1, 2]$. Найкращі наближення соболєвських класів функцій однієї змінної григономе їричними поліномами і періодичними сплайнами у цих випадках однакові.

Коротке повідомлення (російською)

О неравенствах типа Колмогорова — Хермандера для функций, ограниченных па дискретной сетке

Бабенко В. Ф., Вакарчук М. Б.

↓ Абстракт   |   Повний текст (.pdf)

Укр. мат. журн. - 1997. - 49, № 7. - С. 988–992

Одержано посилення нерівності Хермандера для функцій ƒ: ℝ → ℝ, у якому замість ‖ƒ‖ використано точну верхню межу значень f на дискретній множині точок.

Коротке повідомлення (російською)

Об оптимальном восстановлении билинейных функци- оналов в линейных нормированных пространствах

Бабенко В. Ф., Руденко А. А.

↓ Абстракт   |   Повний текст (.pdf)

Укр. мат. журн. - 1997. - 49, № 6. - С. 828–831

Досліджується задача оптимального відновлення біліпійних функціоналів за оптимальною лінійною інформацією у загальній постановці. Наведено також деякі нові результати для конкретних функціональних просторів.

Стаття (російською)

Об аддитивныхх неравенствахх для промежуточных производных функций, заданных на конечном интервале

Бабенко В. Ф., Кофанов В. А., Пичугов С. А.

↓ Абстракт   |   Повний текст (.pdf)

Укр. мат. журн. - 1997. - 49, № 5. - С. 619–628

Наведено загальну схему одержання адитивних нерівностей типу Ландау-Адамара і як наслідок доведено ряд конкретних нових нерівностей для норм проміжних похідних функцій, заданих на скінченному інтервалі, з точною константою при'нормі функції.

Стаття (російською)

Об оптимизации приближенного интегрирования методами Монте-Карло

Бабенко В. Ф.

↓ Абстракт   |   Повний текст (.pdf)

Укр. мат. журн. - 1997. - 49, № 4. - С. 475–480

Розв'язана задача оптимізації методів Монте-Карло наближеного інтегрування за довільною абсолютно неперервною мірою. Запропопована зручна для досліджень такого типу модель методів Монте-Карло, в якій використовується поняття перехідної ймовірності.

Стаття (українською)

Наилучшие $L_1$ приближения классов $W_1^r$ сплайнами из $W_1^r$

Бабенко В. Ф.

↓ Абстракт   |   Повний текст (.pdf)

Укр. мат. журн. - 1994. - 46, № 10. - С. 1410–1413

Exact values of the best $L_1$-approximations of the classes $W_1^r$ of periodic functions by periodic polynomial splines of order $r$ and defect 1 with equidistant nodes that belong to the class $W_1^r$ are determined.

Стаття (українською)

О единственности элементов наилучшего и наилучшего одностороннего приближений в пространстве L1

Бабенко В. Ф., Глушко В. Н.

↓ Абстракт   |   Повний текст (.pdf)

Укр. мат. журн. - 1994. - 46, № 5. - С. 475–483

The problem of uniqueness of the best approximations in the space $L_1[a, b]$ is studied We consider the problem of the best approximation and the best $(\alpha, \beta)$-approximation of continuous functions and the problem of the best one-sided approximation of continuously differentiable functions.

Стаття (українською)

Об оптимальном восстановлении сверток и скалярных произведений функций из различных классов

Бабенко В. Ф., Руденко А. А.

↓ Абстракт   |   Повний текст (.pdf)

Укр. мат. журн. - 1991. - 43, № 10. - С. 1305–1310

Исследуется задача оптимального восстановления сверток и скалярных произведений функций из различных функциональных классов по оптимальной линейной информации об этих функциях.

Стаття (українською)

Поперечники и наилучшие квадратурные формулы для классов сверток

Бабенко В. Ф.

↓ Абстракт   |   Повний текст (.pdf)

Укр. мат. журн. - 1991. - 43, № 9. - С. 1135–1148

Для классов периодических функций, представимых в виде свертки ядра, не увеличивающего перемен знака, с функциями из заданного перестановочно инвариантного множества решена задача вычисления поперечников Колмогорова в пространстве

Стаття (українською)

Развитие исследований по точному решению экстремальных задач теории наилучшего приближения

Бабенко В. Ф.

↓ Абстракт   |   Повний текст (.pdf)

Укр. мат. журн. - 1990. - 42, № 1. - С. 4–17

Приведен обзор исследований по точному решению задач наилучшего приближения функциональных классов конкретными аппроксимирующими множествами, вычисления поперечников, а также некоторых близких задач. Основное внимание уделено фундаментальным результатам Н. П. Корнейчука, с именем которого тесно связано развитие этих направлений теории приближений. Прослежено влияние его идей и созданных им мощных методов на исследования других авторов.

Стаття (українською)

О приближенном вычислении скалярных произведений

Бабенко В. Ф.

↓ Абстракт   |   Повний текст (.pdf)

Укр. мат. журн. - 1988. - 40, № 1. - С. 15-21

Пусть $\mathfrak{M}_1; \mathfrak{M}_2 \subset L_2$ — некоторые классы функций и $\Omega(f_1, f_2)$ — заданный билинейный функционал в $L_2$. Изучается задача оптимального выбора линейной информации об $f_1 \in \mathfrak{M}_1,\; f_2 \in \mathfrak{M}_2$ и оптимального ее использования для восстановления $\Omega(f_1, f_2)$ на классах.

Стаття (українською)

Точные неравенства для норм сопряженных функций и их применения

Бабенко В. Ф.

↓ Абстракт   |   Повний текст (.pdf)

Укр. мат. журн. - 1987. - 39, № 2. - С. 139-144

Доказано, что при некоторых условиях из интегральных неравенств для перестановок непрерывных $2\pi$-периодических функций следуют точные неравенства для $L_1$ норм сопряженных функций. С помощью этих результатов получены точные неравенства типа Колмогорова для норм производных сопряженных функций и решен ряд задач приближения классов сопряженных функций в метрике $L_1$.

Стаття (українською)

О неравенствах для производных полиномов с вещественными нулями

Бабенко В. Ф., Пічугов С. О.

↓ Абстракт   |   Повний текст (.pdf)

Укр. мат. журн. - 1986. - 38, № 4. - С. 411–416

Для алгебраических полиномов $P_n$ степени $n \geq 2$, имеющих $n$ нулей в [-1, 1] доказано неравенство $$\max\limits_{-1 \leq x \leq 1}|P''_n(x)| \geq \min \left\{n,\;\frac{(n - 1)n}4\right\} \max\limits_{-1 \leq x \leq 1}|P_n(x)|$$ точное при $n = 2, 3, 4, 5$ и $n \geq 6$ четных. Аналогичное точное неравенство установлено для второй производной и второй разности тригонометрических полиномов, все нули которых расположены на вещественной оси.

Стаття (українською)

О поперечниках некоторых классов сверток

Бабенко В. Ф.

↓ Абстракт   |   Повний текст (.pdf)

Укр. мат. журн. - 1983. - 35, № 5. - С. 603—607

В работе, в частности, вычислены нечетные поперечники в смысле Колмогорова класса 2π-периодических функций, сопряженных функциям из класса Липшица.

Стаття (українською)

Несимметричные приближения в пространствах суммируемых функций

Бабенко В. Ф.

↓ Абстракт   |   Повний текст (.pdf)

Укр. мат. журн. - 1982. - 34, № 4. - С. 409—416

Изучается одно обобщение задачи наилучшего приближения в пространствах суммируемых функций. Это обобщение позволяет, в частности, рассматривать известные результаты по наилучшему и наилучшему одностороннему приближению как крайние случаи решения одной общей задачи.

Стаття (українською)

Об одном свойстве компактных операторов в пространстве суммируемых функций

Бабенко В. Ф., Пічугов С. О.

Повний текст (.pdf)

Укр. мат. журн. - 1981. - 33, № 4. - С. 491–492

Стаття (українською)

О приближении в среднем линейных комбинаций сдвигов некоторых функций

Бабенко В. Ф., Пічугов С. О.

Повний текст (.pdf)

Укр. мат. журн. - 1981. - 33, № 2. - С. 234–240