Бабенко В. Ф.

Отримано нову точну нерiвнiсть типу Ландау – Колмогорова, яка для перiодичної функцiї двох змiнних оцiнює конволюцiю найкращих рiвномiрних наближень частинних первiсних сумами функцiй однiєї змiнної через $L_{\infty}$ - норму самої функцiї i рiвномiрну норму мiшаної первiсної. Наведено також деякi застосування отриманої нерiвностi.

Введено новi характеристики елементiв гiльбертового простору — узагальненi модулi неперервностi $\omega_{ \varphi} (x, L_p, V ([0, \delta]))$ та отримано новi точнi нерiвнoстi типу Джексона – Стєчкiна з цими модулями неперервностi для апроксимацiї елементiв гiльбертового простору. Цi результати мiстять багато вiдомих нерiвнoстей для апроксимацiї перiодичних функцiй тригонометричними полiномами, апроксимацiї неперiодичних функцiй цiлими функцiями експоненцiаль- ного типу, аналогiчнi результати для майже перiодичних функцiй та iншi. Деякi результати є новими вже в цих класичних випадках.

Отримано новi точнi оцiнки типу Ландау рiвномiрних норм одновимiрних потенцiалiв Рiсса частинних похiдних функцiї багатьох змiнних через норму самої функцiї i норму результату застосування до неї оператора Лапласа.

Знайдено оптимальну лiнiйну iнформацiю та оптимальний метод її використання для вiдновлення згортки $n$ функцiй на деяких опуклих центрально-симетричних множинах $2\pi$ -перiодичних функцiй.

Одержано узагальнення деяких вiдомих результатiв щодо найкращих, найкращих лiнiйних i найкращих одностороннiх наближень тригонометричними полiномами класiв числових $2 \pi$ -перiодичних функцiй, зображених у виглядi згортки, на випадок класiв багатозначних функцiй.

Розглядається задача оптимізації наближеного інтегрування на класах багатозначних функцій, що мають задану мажоранту модуля неперервності. При цьому використовуються значення функцій в n фіксованих або довільних точках області визначення.

Знайдета оптимальну лінійну інформацію та оптимальний метод її використання для відновлення n-лінійних функціоналів на множинах спеціального вигляду з гільбертового простору.

Знайдено точнi значення рiвнорозподiленої рельєфної апроксимацiї деяких класiв гармонiчних функцiй двох змiнних.

Знайдено точнi значення верхнiх меж похибок наближення гармонiчними сплайнами заданих на $n$-вимiрному паралелепiпедi $\Omega$ функцiй $u$ таких, що $||\Delta u||_{L_{\infty}(\Omega)} \leq 1$, у просторах $||\Delta u||_{L_{p}(\Omega)} \leq 1, \quad 1 \leq p \leq \infty$, та функцiй u таких, що $L_{p}(\Omega), \quad 1 \leq p \leq \infty$, у просторi $L_{1}(\Omega)$.

Знайденi необхiднi i достатнi умови на систему додатних чисел $M_{k_1}, M_{k_2}, M_{k_3}, M_{k_4}, \; 0 = k_1 < k2 < k3 = r − 2, k4 = r$, якi гарантують iснування функцiї $x \in L^r_{\infty, \infty}(R)$, такої, що $||x^{(k_i)}||_{\infty} = M_{k_i},\quad i = 1, 2, 3, 4$.

Для функцiй, заданих на всiй дiйснiй осi або пiвосi, одержано нерiвностi типу Колмогорова, якi оцi- нюють $L_p$-норми $(1 \leq p < \infty)$ дробових похiдних через $L_p$-норми функцiй (або $L_p$-норми їхнiх зрiзаних похiдних) та їхнi $L_p$-модулi неперервностi, та при $p = 1$ встановлено їхню точнiсть. Наведено застосування одержаних нерiвностей.

Отримано точнi нерiвностi типу Бернштейна для сплайнiв $s \in S_{m, h} \bigcap L_2 (\mathbb{R})$, а також точнi нерiвностi, якi для сплайнiв $s \in S_{m, h}, \quad h > 0$, оцiнюють $L_p$-норми перетворень Фур’є $k$-ї похiдної через $L_p$-норми перетворень Фур’є самих сплайнiв.

Знайдено найкращу квадратурну формулу на класі заданих на відрізку [0, 1] опуклозначних функцій, монотонних відносно включення.

Нехай $C(\mathbb{R}^m)$ — простори неперервних обмежених функцій $x: \mathbb{R}^m → \mathbb{R}$ з нормами $∥x∥_C = ∥x∥_{C(\mathbb{R}^m)} := \sup \{ |x(t)|:\; t∈ \mathbb{R}^m\}$, $e_j,\; j = 1,…,m$ — звичайна база в $\mathbb{R}^m$. Для заданих модулів неперервності $ω_j,\; j = 1,…, m$, позначимо $$H^{j,ω_j} := \left\{x ∈ C(\mathbb{R}^m): ∥x∥_{ω_j} = ∥x∥_{H^{j,ω_j}} = \sup_{t_j≠0} \frac{∥Δtjejx(⋅)∥_C}{ω_j(|t_j|)} < ∞\right\}.$$ У роботі отримано нові точні нерівності типу Колмогорова для норм мішаних частинних похідних $∥D^{α}_{ε}x∥_C$ функцій $x ∈ ∩^{m}_{j=1}H^{j,ω_j}$. Наведені деякі застосування цих нерівностей.

Отримано порядкові рівності при $n → ∞$ для найкращих $L_q$-наближень класів $W_p^r ,\; 1 ≤ q ≤ p ≤ 2$, диференційовних періодичних функцій сплайнами з цих класів.

Знайдено точні значення найкращих (α, β)-наближень i найкращих односторонніх наближень класів диференційовних періодичних функцій сплайнами дефекту 2. Отримано нові точні нерівності типу Джексона для найкращих і найкращих односторонніх наближень сплайнами дефекту 2.

Відомі уточнення Тайкова нерівності Харді - Літтлвуда - Поліа для $L_2$-норм проміжних похідних функції, заданої на дійсній осі, узагальнено на випадок степенів самоспряжених операторів у гільбертовому просторі.

Отримано нoвi точш нeрiвнocтi типу Вернштейна для перюдичних пoлiнoмiaльниx сплайшв порядку r дефекту 2.

Знайдено найкраще наближення довільного степеня $A^k$ необмеженого самоспряженого оператора $A$ у гільбертовому просторі $H$ на класі $\{x ∈ D(A^r ) : ∥A^r x∥ ≤ 1\},\; k < r$.

Одержано точні нерівності типу Джексона для наближень в L₂ (R) функцій f∈ L₂ (R) за допомогою частинних сум сплескових рядів у випадку сплесків Мейєра та Шеннона–Котельникова.

We consider the problem of characterization for subspaces of the uniqueness of element of the best nonsymmetric

Доведено нову точну нерівність типу Колмогорова, яка оцінює норму мішаної похідної дробового порядку (в сенсі Маршо) функції двох змінних через норму самої функції і норми її частинних похідних першого порядку.

Нехай $ψ_m^D$ — ортогональні вейвлети Добеші, які мають $m$ нульових моментів i $$W^k_{2, p} = \left\{f \in L_2(\mathbb{R}): ||(i \omega)^k \widehat{f}(\omega)||_p \leq 1\right\}, \;k \in \mathbb{N},$$. Доведено, що $$\lim_{m\rightarrow\infty}\sup\left\{\frac{|\psi^D_m, f|}{||(\psi^D_m)^{\wedge}||_q}: f \in W^k_{2, p} \right\} = \frac{\frac{(2\pi)^{1/q-1/2}}{\pi^k}\left(\frac{1 - 2^{1-pk}}{pk -1}\right)^{1/p}}{(2\pi)^{1/q-1/2}}.$$

Встановлено необхідні i достатні умови існування функції класу S ^- із заданими інтегральними нормами трьох послідовних похідних (взагалі кажучи, дробового порядку).

Досліджується взаємозв'язок між константами $K(ℝ^n)$ та $K(T^n)$, де $$K(G^n ): = \mathop {\sup }\limits_{\mathop {\prod _{i = 1}^n \left\| {D_i^{l_i } f} \right\|_{L_p (G^n )} \ne 0}\limits^{f \in L_{p,p}^l (G^n )} } \frac{{\left\| {D^\alpha f} \right\|_{L_p (G^n )} }}{{\left\| f \right\|_{L_p (G^n )}^{\mu _0 } \prod _{i = 1}^n \left\| {D_i^{l_i } f} \right\|_{L_p (G^n )}^{\mu _i } }}$$ —точна константа в нерівності типу Колмогорова; $ℝ$ — дійсна пряма, $T = [0,2π],\; L^l_{p, p} (G^n)$— множина функцій $ƒ ∈ L_p (G^n)$ таких, що частинна похідна $D_i^{l_i} f(x),\; i = \overline {1,n}, 1 ≤ p ≤ ∞, l ∈ ℕ^n, α ∈ ℕ_0^n = (ℕ ∪ 〈0〉)^n, D^{α} f$— мішана похідна функції $ƒ, 0 < µi < 1, i = \overline {0,n}$, $∑_{i=0}^n µ_i = 1$. Якщо $G^n = ℝ$, то $µ_0 = 1 − ∑_{i=0}^n (α_i /l_i),\; µ_i = α_i/l_i,\; i = \overline {1,n}$; якщо $G^n = T^n$, то $µ_0 = 1 − ∑_{i=0}^n (α_i /l_i) − ∑_{i=0}^n (λ/l_i),\; µ_i = α_i/ l_i + λ/l_i , i= \overline {1,n},\; λ ≥ 0$. Доведено, що при $λ = 0$ справджується рівність $K(ℝ^n) = K(T^n)$.

Отримано нові точні нерівності вигляду $$∥x(k)∥_q ⩽ K∥x∥^{α}_p ∥x(r)∥^{1−α}_s$$ для таких функцій: заданих на осі $R$ або на півосі $R_{+}$ у випадку $$r = 2,\; k = 0,\; p ∈ (0,∞),\; q ∈ (0,∞],\; q > p,\; s=1,$$ заданих на осі $R$ у випадку $$r = 2,\; k = 1,\; q ∈ [2,∞),\; p = ∞,\; s= 1,$$ а також для знакосталих на $R$ або на $R_{+}$ у випадках $$r = 2,\; k = 0,\; p ∈ (0,∞),\; q ∈ (0,∞],\; q > p,\; s = ∞$$ та $$r = 2,\; k = 1,\; p ∈ (0,∞),\; q = s = ∞.$$.

Отримано точні оцінки наближення в метриках $C$ i $L_2$ функцій, заданих на сфері, лінійними методами підсумовування рядів Фур'є за сферичними гармоніками у випадку, коли диференційовні і різницеві властивості функцій визначаються у просторі $L_2$.

Досліджено найкращі наближення синусоподобних функцій константами в $L_p,$-просторах при $р < 1$. Зокрема, знайдено найкраще наближення ідеальних сплайнів Ейлера константами у просторах $L_p,$ при деяких $р \in (0, 1)$.

Нехай $γ = (γ_1 ,..., γ_d )$ — вектор з додатними координатами, $D^γ$— відповідна мішана похідна (порядку $γ_j$- з а $j$-ю змінною). Доведено, що при $d > 1$ і довільних $0 < k < r$ $$\sup_{x \in L^{r\gamma}_{\infty}(T^d)D^{r\gamma}x\neq0} \frac{||D^{k\gamma}x||_{L_{\infty}(T^d)}}{||x||^{1-k/r}||D^{r\gamma}||^{k/r}_{L_{\infty}(T^d)}} = \infty$$ Разом з тим для всіх $x \in L^{r\gamma}_{\infty}(T^d)$ $$||D^{k\gamma}x||_{L_{\infty}(T^d)} \leq K||x||^{1 - k/r}_{L_{\infty}(T^d)}||D^{r\gamma}x||_{L_{\infty}(T^d)}^{k/r} \left(1 + \ln^{+}\frac{||D^{r\gamma}x||_{L_{\infty}(T^d)}}{||x||_{L_{\infty} (T^d)}}\right)^{\beta}$$ Більш того, якщо \(\bar \beta \) —найменше можливе значення показника Р в цій нерівності, то $$\left( {d - 1} \right)\left( {1 - \frac{k}{r}} \right) \leqslant \bar \beta \left( {d,\gamma ,k,r} \right) \leqslant d - 1.$$ .

Досліджується взаємозв'язок між константами $K(R)$ і $K(T)$, де $$K\left( G \right) = K_{k,r} \left( {G;q,p,s;\alpha } \right): = \mathop {\mathop {\sup }\limits_{x \in L_{p,s}^r \left( G \right)} }\limits_{x^{(r)} \ne 0} \frac{{\left\| {x^{\left( k \right)} } \right\|_{L_q \left( G \right)} }}{{\left\| x \right\|_{L_q \left( G \right)}^\alpha \left\| {x^{\left( r \right)} } \right\|_{L_s \left( G \right)}^{1 - \alpha } }}$$ —точна константа в нерівності Колмогорова; $R$ — дійсна пряма, $Т$ — одиничне коло; $L_{p,s}^r (G)$ — множина функцій $x ∈ L_p(G)$ таких, що $x(r) ∈ L_s(G),\; q, p, s ∈ [1, ∞],\; k, r ∈ N,\; k < r$, $$\frac{r - k + 1/q - 1/s}{r + 1/q - 1/s} = 1 - k/r$$ якщо $K(R) = K(T)$, $$\frac{r - k + 1/q - 1/s}{r + 1/q - 1/s} < 1 - k/r$$ якщо $K(R) = K(T)$. Остання нерівність може бути як рівністю, так і строгою нерівністю. Як наслідок одержано нові точні нерівності типу Колмогорова на дійсній прямій.

Одержано нову точну нерівність типу Колмогорова $$\left\| {x^{\left( k \right)} } \right\|_2 \leqslant K\left\| x \right\|_2^{\frac{{r - k - {1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 2}} \right. \kern-\nulldelimiterspace} 2}}}{{r - {1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 2}} \right. \kern-\nulldelimiterspace} 2}}}} \left\| {x^{\left( r \right)} } \right\|_1^{\frac{k}{{r{{ - 1} \mathord{\left/ {\vphantom {{ - 1} 2}} \right. \kern-\nulldelimiterspace} 2}}}$$ для $2π$-періодичних функцій $x \in L_1^r$ i довільних $k, r ∈ N,\; k < r$. Наведено застосування цієї нерівності в задачах наближення одного класу функцій іншим та оцінки типу $K$-функціонала.

Одержано нову непокращувану нерівність типу Колмогорова $$\left\| {x'} \right\|_q \leqslant K\left( {q,p} \right)\left\| x \right\|_p^a \left( {\mathop V\limits_{0}^{{2\pi }} \left( {x'} \right)} \right)^{1 - {alpha }} ,$$ для дифереиційовних $2π$-періодичyих функцій $х$, що мають обмежену варіацію похідної $x′$, де $q ∈ (0, ∞), p ∈ [1, ∞]$, $α = min{1/2, p/q(p + 1)}$.

Одержано нові непокращувані нерівності типу Колмогорова для диференційовних періодичних функцій. Зокрема, доведено, що при $r = 2,\; k = 1$ або $r = 3,\; k = 1,\; 2$ та при довільних $q,p \in [1, \infty]$ для функцій $x \in L_{\infty}^r$, справедлива непокращувана нерівність $$\left\| {x^{\left( k \right)} } \right\|_q \leqslant \frac{{\left\| {{\phi }_{r - k} } \right\|_q }}{{\left\| {{\phi }_r } \right\|_p^\alpha }}\left\| x \right\|_p^\alpha \left\| {x^{\left( k \right)} } \right\|_\infty ^{1 - \alpha }$$ де $\alpha = \min \left\{ 1 - \frac kr, \frac{r - k + 1\backslash q}{r + 1 \backslash p} \right\}$ ($ϕ_r$— ідеальний сплайн Ейлера порядку $r$).

Наведено короткий огляд робіт М. П. Корнейчука, опублікованих в 1990-1999 роках.

Наведено огляд досліджень дніпропетровських математиків, що стосуються точних нерівностей типу Колмогорова для норм проміжних похідних періодичних функцій та їх застосувань в теорії наближень.

Вивчаються питання єдиності елемента найкращого $L_1$ -наближення неперервних функцій зі значеннями у банаховому просторі. Доведено дві теореми, які характеризують підпростори єдиності за допомогою деяких множин тестових функцій.

Показано, що відомі результати про оцінки верхніх граней функціоналів на класах $W^r H^{ω}$ періодичних функцій можна розглядати як спеціальний випадок нерівностей типу Колмогорова для опорних функцій опуклих, множин. Це дозволило одержати ряд нових тверджень, пов'язаних з апроксимацією класів $W^r H^{ω}$ та встановити їх еквівалентність, а також одержати нові точні нерівності типу Бернштейна-Нікольського, які оцінюють значення опорної функції класу $H^{ω}$ на похідних тригонометричних доліномів або поліношальних сплайнів через $L^{ϱ}$ -норми самих поліномів або сплайнів.

Розв'язано задачу оптимізації наближеного інтегрування визначених на прямокутнику функцій двох змінних, монотонних по кожній змінній, за допомогою квадратурних формул з вузлами в точках прямокутної мережі.

Знайдено точну асимптотику (при $n → ∞$) найкращих $L_1$ наближень класів $W_1^r$ періодичних функцій сплайнами $s ∈ S_{2n, r∼-1}$ ($S_{2n, r∼-1}$ —множина $2π$-періодичних поліноміальиих сплайнів порядку $r−1$, дефекту 1,з вузлами в точках $kπ/n,\; k ∈ ℤ$) такими, що $V_0^{2π} s^{( r-1)} ≤ 1+ɛ_n$ де $\{ɛ_n\}_{n=1}^{ ∞}$ — спадна послідовність додатних чисел така, що $ɛ_n n^2 → ∞$ і $ɛ_n → 0$, якщо $n → ∞$.

Одержані неперіодичні аналоги відомих нерівностей, які оцінюють $L_p$ -норми проміжних похідних періодичної функції за допомогою $L_{∞}$ -норм цієї функції та її старшої похідної.

Доведено, що в адитивній нерівності для норм проміжних похідних функцій, які визначені на скінченному відрізку і дорівнюють нулю у заданій системі точок, найменше можливе значення константи при нормі функції співпадає з точною константою у відповідній нерівності типу Маркова - Нікольського для алгебраїчних поліномів, які теж дорівнюють нулю у цій системі точок.

Знайдені точні значення найкращих $L_1$-наближень класів періодичних функцій, що задаються обмеженнями на $L_1$-норму результату застосування до них диференціальних операторів з постійними коефіцієнтами та дійсним спектром, узагальненими сплайнами з цих класів.

Встановлено, що класи $W_p^r$ функцій багатьох змінних, які задаються обмеженнями на $L_p$-норми мішаних похідних порядку $r = (r_1, r_2, ..., r_m)$, гірше наближаються в $L_q$-метриці узагальненими тригонометричними поліномами, ніж періодичними узагальненими сплайнами, якщо $p ∈ [2, ∞), q = 1$ або $p = ∞, q ∈ [ 1, 2]$. Найкращі наближення соболєвських класів функцій однієї змінної григономе їричними поліномами і періодичними сплайнами у цих випадках однакові.

Одержано посилення нерівності Хермандера для функцій ƒ: ℝ → ℝ, у якому замість ‖ƒ‖_∞ використано точну верхню межу значень f на дискретній множині точок.

Досліджується задача оптимального відновлення біліпійних функціоналів за оптимальною лінійною інформацією у загальній постановці. Наведено також деякі нові результати для конкретних функціональних просторів.

Наведено загальну схему одержання адитивних нерівностей типу Ландау-Адамара і як наслідок доведено ряд конкретних нових нерівностей для норм проміжних похідних функцій, заданих на скінченному інтервалі, з точною константою при'нормі функції.

Розв'язана задача оптимізації методів Монте-Карло наближеного інтегрування за довільною абсолютно неперервною мірою. Запропопована зручна для досліджень такого типу модель методів Монте-Карло, в якій використовується поняття перехідної ймовірності.

Для довільної неперервної вагової функції, майже всюди додатної на [-1, 1 ], та широкого класу модулів неперервності $ ω(t)$ знайдені асимптотично оптимальні квадратурні формули на класі $H^{ω}[-1, 1 ]$.

Одержані нерівності, що узагальнюють відомі нерівності для норм похідних періодичних сплайнів з мінімальним дефектом, ідеальних сплайнів та моноснлайнів.

Доведено, що при $n > 4$ для функцій $f$, які мають на $[0, 1]$ абсолютно неперервну похідну порядку $n - 1$, викопується нерівність $$\left\| {f^{(n - 2)} } \right\|_\infty \leqslant 4^{n - 2} (n - 1) ! \left\| f \right\|_\infty + \left\| {f^{(n)} } \right\|_\infty /2$$ з точною константою $4^{n-2}(n - 1)!$.

Exact values of the best $L_1$-approximations of the classes $W_1^r$ of periodic functions by periodic polynomial splines of order $r$ and defect 1 with equidistant nodes that belong to the class $W_1^r$ are determined.

The problem of uniqueness of the best approximations in the space $L_1[a, b]$ is studied We consider the problem of the best approximation and the best $(\alpha, \beta)$-approximation of continuous functions and the problem of the best one-sided approximation of continuously differentiable functions.

Исследуется задача оптимального восстановления сверток и скалярных произведений функций из различных функциональных классов по оптимальной линейной информации об этих функциях.

Для классов периодических функций, представимых в виде свертки ядра, не увеличивающего перемен знака, с функциями из заданного перестановочно инвариантного множества решена задача вычисления поперечников Колмогорова в пространстве

Приведен обзор исследований по точному решению задач наилучшего приближения функциональных классов конкретными аппроксимирующими множествами, вычисления поперечников, а также некоторых близких задач. Основное внимание уделено фундаментальным результатам Н. П. Корнейчука, с именем которого тесно связано развитие этих направлений теории приближений. Прослежено влияние его идей и созданных им мощных методов на исследования других авторов.

Пусть $\mathfrak{M}_1; \mathfrak{M}_2 \subset L_2$ — некоторые классы функций и $\Omega(f_1, f_2)$ — заданный билинейный функционал в $L_2$. Изучается задача оптимального выбора линейной информации об $f_1 \in \mathfrak{M}_1,\; f_2 \in \mathfrak{M}_2$ и оптимального ее использования для восстановления $\Omega(f_1, f_2)$ на классах.

Доказано, что при некоторых условиях из интегральных неравенств для перестановок непрерывных $2\pi$-периодических функций следуют точные неравенства для $L_1$ норм сопряженных функций. С помощью этих результатов получены точные неравенства типа Колмогорова для норм производных сопряженных функций и решен ряд задач приближения классов сопряженных функций в метрике $L_1$.

Для алгебраических полиномов $P_n$ степени $n \geq 2$, имеющих $n$ нулей в [-1, 1] доказано неравенство $$\max\limits_{-1 \leq x \leq 1}|P''_n(x)| \geq \min \left\{n,\;\frac{(n - 1)n}4\right\} \max\limits_{-1 \leq x \leq 1}|P_n(x)|$$ точное при $n = 2, 3, 4, 5$ и $n \geq 6$ четных. Аналогичное точное неравенство установлено для второй производной и второй разности тригонометрических полиномов, все нули которых расположены на вещественной оси.

В работе, в частности, вычислены нечетные поперечники в смысле Колмогорова класса 2π-периодических функций, сопряженных функциям из класса Липшица.

Изучается одно обобщение задачи наилучшего приближения в пространствах суммируемых функций. Это обобщение позволяет, в частности, рассматривать известные результаты по наилучшему и наилучшему одностороннему приближению как крайние случаи решения одной общей задачи.