Бабенко В. Ф.
Одно неравенство типа Ландау – Колмогорова для периодических функций двух переменных
↓ Абстракт
Укр. мат. журн. - 2019. - 71, № 2. - С. 158-167
Отримано нову точну нерiвнiсть типу Ландау – Колмогорова, яка для перiодичної функцiї двох змiнних оцiнює конволюцiю найкращих рiвномiрних наближень частинних первiсних сумами функцiй однiєї змiнної через $L_{\infty}$ - норму самої функцiї i рiвномiрну норму мiшаної первiсної. Наведено також деякi застосування отриманої нерiвностi.
Неравенства типа Джексона – Стечкина для аппроксимации элементов гильбертова пространства
↓ Абстракт
Укр. мат. журн. - 2018. - 70, № 9. - С. 1155-1165
Введено новi характеристики елементiв гiльбертового простору — узагальненi модулi неперервностi $\omega_{ \varphi} (x, L_p, V ([0, \delta]))$ та отримано новi точнi нерiвнoстi типу Джексона – Стєчкiна з цими модулями неперервностi для апроксимацiї елементiв гiльбертового простору. Цi результати мiстять багато вiдомих нерiвнoстей для апроксимацiї перiодичних функцiй тригонометричними полiномами, апроксимацiї неперiодичних функцiй цiлими функцiями експоненцiаль- ного типу, аналогiчнi результати для майже перiодичних функцiй та iншi. Деякi результати є новими вже в цих класичних випадках.
Оценка равномерной нормы одномерного потенциала Рисса частной производной функции с ограниченным лапласианом
Бабенко В. Ф., Парфинович Н. В.
Укр. мат. журн. - 2016. - 68, № 7. - С. 867-878
Отримано новi точнi оцiнки типу Ландау рiвномiрних норм одновимiрних потенцiалiв Рiсса частинних похiдних функцiї багатьох змiнних через норму самої функцiї i норму результату застосування до неї оператора Лапласа.
Об оптимальном восстановлении свертки $n$ функций по линейной информации
Укр. мат. журн. - 2016. - 68, № 5. - С. 579-585
Знайдено оптимальну лiнiйну iнформацiю та оптимальний метод її використання для вiдновлення згортки $n$ функцiй на деяких опуклих центрально-симетричних множинах $2\pi$ -перiодичних функцiй.
Приближение некоторых классов многозначных периодических функций обобщенными тригонометрическими полиномами
Бабенко В. В., Бабенко В. Ф., Полищук М. В.
Укр. мат. журн. - 2016. - 68, № 4. - С. 449-459
Одержано узагальнення деяких вiдомих результатiв щодо найкращих, найкращих лiнiйних i найкращих одностороннiх наближень тригонометричними полiномами класiв числових $2 \pi$ -перiодичних функцiй, зображених у виглядi згортки, на випадок класiв багатозначних функцiй.
Про оптимальне відновлення інтегралів від багатозначних функцій
Бабенко В. В., Бабенко В. Ф., Поліщук М. В.
Укр. мат. журн. - 2015. - 67, № 9. - С. 1163-1171
Розглядається задача оптимізації наближеного інтегрування на класах багатозначних функцій, що мають задану мажоранту модуля неперервності. При цьому використовуються значення функцій в n фіксованих або довільних точках області визначення.
Моторний Віталій Павлович (до 75-річчя від дня народження)
Бабенко В. Ф., Вакарчук С. Б., Великін В. Л., Давидов О. В., Кофанов В. О., Парфінович Н. В., Пасько А. М., Романюк А. С., Рубан В. І., Самойленко А. М., Тіман М. П., Тригуб Р. М., Шевчук І. О., Шумейко О. О.
Укр. мат. журн. - 2015. - 67, № 7. - С. 995-999
Оптимальное восстановление n -линейных функционалов по линейной информации
Бабенко В. Ф., Гунько М. С., Руденко А. А.
Укр. мат. журн. - 2014. - 66, № 7. - С. 884–890
Знайдета оптимальну лінійну інформацію та оптимальний метод її використання для відновлення n-лінійних функціоналів на множинах спеціального вигляду з гільбертового простору.
Майор Пилипович Тіман (до 90-річчя від дня народження)
Бабенко В. Ф., Вакарчук С. Б., Моторний В. П., Пелешенко Б. Г., Романюк А. С., Самойленко А. М., Сердюк А. С., Тригуб Р. М.
Укр. мат. журн. - 2013. - 65, № 8. - С. 1141-1144
Равнораспределенная рельефная аппроксимация некоторых классов гармонических функций
Укр. мат. журн. - 2012. - 64, № 10. - С. 1426-1431
Знайдено точнi значення рiвнорозподiленої рельєфної апроксимацiї деяких класiв гармонiчних функцiй двох змiнних.
Приближение некоторых классов функций многих переменных гармоническими сплайнами
Укр. мат. журн. - 2012. - 64, № 8. - С. 1011-1024
Знайдено точнi значення верхнiх меж похибок наближення гармонiчними сплайнами заданих на $n$-вимiрному паралелепiпедi $\Omega$ функцiй $u$ таких, що $||\Delta u||_{L_{\infty}(\Omega)} \leq 1$, у просторах $||\Delta u||_{L_{p}(\Omega)} \leq 1, \quad 1 \leq p \leq \infty$, та функцiй u таких, що $L_{p}(\Omega), \quad 1 \leq p \leq \infty$, у просторi $L_{1}(\Omega)$.
О зависимости между нормой функции и нормами ее производных порядка $k$ , $r - 2$ и $r , 0 < k < r - 2$
Бабенко В. Ф., Коваленко О. В.
Укр. мат. журн. - 2012. - 64, № 5. - С. 597-603
Знайденi необхiднi i достатнi умови на систему додатних чисел $M_{k_1}, M_{k_2}, M_{k_3}, M_{k_4}, \; 0 = k_1 < k2 < k3 = r − 2, k4 = r$, якi гарантують iснування функцiї $x \in L^r_{\infty, \infty}(R)$, такої, що $||x^{(k_i)}||_{\infty} = M_{k_i},\quad i = 1, 2, 3, 4$.
Оценки норм дробных производных через интегральные модули непрерывности и их приложения
Укр. мат. журн. - 2011. - 63, № 9. - С. 1155-1168
Для функцiй, заданих на всiй дiйснiй осi або пiвосi, одержано нерiвностi типу Колмогорова, якi оцi- нюють $L_p$-норми $(1 \leq p < \infty)$ дробових похiдних через $L_p$-норми функцiй (або $L_p$-норми їхнiх зрiзаних похiдних) та їхнi $L_p$-модулi неперервностi, та при $p = 1$ встановлено їхню точнiсть. Наведено застосування одержаних нерiвностей.
Неравенства типа Бернштейна для сплайнов, заданных на действительной оси
Укр. мат. журн. - 2011. - 63, № 5. - С. 603-611
Отримано точнi нерiвностi типу Бернштейна для сплайнiв $s \in S_{m, h} \bigcap L_2 (\mathbb{R})$, а також точнi нерiвностi, якi для сплайнiв $s \in S_{m, h}, \quad h > 0$, оцiнюють $L_p$-норми перетворень Фур’є $k$-ї похiдної через $L_p$-норми перетворень Фур’є самих сплайнiв.
Оптимизация приближенного интегрирования многозначных функций, монотонных по включению
Укр. мат. журн. - 2011. - 63, № 2. - С. 147-155
Знайдено найкращу квадратурну формулу на класі заданих на відрізку [0, 1] опуклозначних функцій, монотонних відносно включення.
Точні нерівності типу колмогорова для норм дробових похідних функцій багатьох змінних
Бабенко В. Ф., Пічугов С. О., Парфінович Н. В.
Укр. мат. журн. - 2010. - 62, № 3. - С. 301–314
Нехай $C(\mathbb{R}^m)$ — простори неперервних обмежених функцій $x: \mathbb{R}^m → \mathbb{R}$ з нормами $∥x∥_C = ∥x∥_{C(\mathbb{R}^m)} := \sup \{ |x(t)|:\; t∈ \mathbb{R}^m\}$, $e_j,\; j = 1,…,m$ — звичайна база в $\mathbb{R}^m$. Для заданих модулів неперервності $ω_j,\; j = 1,…, m$, позначимо $$H^{j,ω_j} := \left\{x ∈ C(\mathbb{R}^m): ∥x∥_{ω_j} = ∥x∥_{H^{j,ω_j}} = \sup_{t_j≠0} \frac{∥Δtjejx(⋅)∥_C}{ω_j(|t_j|)} < ∞\right\}.$$ У роботі отримано нові точні нерівності типу Колмогорова для норм мішаних частинних похідних $∥D^{α}_{ε}x∥_C$ функцій $x ∈ ∩^{m}_{j=1}H^{j,ω_j}$. Наведені деякі застосування цих нерівностей.
О порядке относительных приближений классов дифференцируемых периодических функций сплайнами
Бабенко В. Ф., Парфинович Н. В.
Укр. мат. журн. - 2010. - 62, № 2. - С. 147–157
Отримано порядкові рівності при $n → ∞$ для найкращих $L_q$-наближень класів $W_p^r ,\; 1 ≤ q ≤ p ≤ 2$, диференційовних періодичних функцій сплайнами з цих класів.
Несимметричные приближения классов периодических функций сплайнами дефекта 2 и неравенства типа Джексона
Бабенко В. Ф., Парфинович Н. В.
Укр. мат. журн. - 2009. - 61, № 11. - С. 1443-1454
Знайдено точні значення найкращих (α, β)-наближень i найкращих односторонніх наближень класів диференційовних періодичних функцій сплайнами дефекту 2. Отримано нові точні нерівності типу Джексона для найкращих і найкращих односторонніх наближень сплайнами дефекту 2.
Уточнение неравенства типа Харди - Литтлвуда - Полиа для степеней самосопряженных операторов в гильбертовом пространстве
Бабенко В. Ф., Биличенко Р. О.
Укр. мат. журн. - 2009. - 61, № 10. - С. 1299-1305
Відомі уточнення Тайкова нерівності Харді - Літтлвуда - Поліа для $L_2$-норм проміжних похідних функції, заданої на дійсній осі, узагальнено на випадок степенів самоспряжених операторів у гільбертовому просторі.
Неравенства типа Вернштейна для сплайнов дефекта 2
Бабенко В. Ф., Парфинович Н. В.
Укр. мат. журн. - 2009. - 61, № 7. - С. 995-999
Отримано нoвi точш нeрiвнocтi типу Вернштейна для перюдичних пoлiнoмiaльниx сплайшв порядку r дефекту 2.
Аппроксимация неограниченных операторов ограниченными в гильбертовом пространстве
Бабенко В. Ф., Биличенко Р. О.
Укр. мат. журн. - 2009. - 61, № 2. - С. 147-153
Знайдено найкраще наближення довільного степеня $A^k$ необмеженого самоспряженого оператора $A$ у гільбертовому просторі $H$ на класі $\{x ∈ D(A^r ) : ∥A^r x∥ ≤ 1\},\; k < r$.
О наилучших L2 -приближениях функций с помощью всплесков
Укр. мат. журн. - 2008. - 60, № 8. - С. 1119 – 1127
Одержано точні нерівності типу Джексона для наближень в L2 (R) функцій f∈ L2 (R) за допомогою частинних сум сплескових рядів у випадку сплесків Мейєра та Шеннона–Котельникова.
Вопросы единственности элемента наилучшего несимметричного L 1-приближения непрерывных функций со значениями в KB-пространствах
Укр. мат. журн. - 2008. - 60, № 7. - С. 867 – 878
We consider the problem of characterization for subspaces of the uniqueness of element of the best nonsymmetric
О неравенствах типа Колмогорова для дробных производных функций двух переменных
Укр. мат. журн. - 2008. - 60, № 6. - С. 837–842
Доведено нову точну нерівність типу Колмогорова, яка оцінює норму мішаної похідної дробового порядку (в сенсі Маршо) функції двох змінних через норму самої функції і норми її частинних похідних першого порядку.
Оценки вейвлет-коэффициентов на некоторых классах функций
Укр. мат. журн. - 2007. - 59, № 12. - С. 1594–1600
Нехай $ψ_m^D$ — ортогональні вейвлети Добеші, які мають $m$ нульових моментів i $$W^k_{2, p} = \left\{f \in L_2(\mathbb{R}): ||(i \omega)^k \widehat{f}(\omega)||_p \leq 1\right\}, \;k \in \mathbb{N},$$. Доведено, що $$\lim_{m\rightarrow\infty}\sup\left\{\frac{|\psi^D_m, f|}{||(\psi^D_m)^{\wedge}||_q}: f \in W^k_{2, p} \right\} = \frac{\frac{(2\pi)^{1/q-1/2}}{\pi^k}\left(\frac{1 - 2^{1-pk}}{pk -1}\right)^{1/p}}{(2\pi)^{1/q-1/2}}.$$
O неравенствах типа Колмогорова для функций, определенных на полуоси
Бабенко В. Ф., Скороходов Д. С.
Укр. мат. журн. - 2007. - 59, № 10. - С. 1299–1312
Встановлено необхідні i достатні умови існування функції класу S - із заданими інтегральними нормами трьох послідовних похідних (взагалі кажучи, дробового порядку).
Сравнение точных констант в неравенствах типа Колмогорова для периодических и непериодических функций многих переменных
Укр. мат. журн. - 2006. - 58, № 5. - С. 597–606
Досліджується взаємозв'язок між константами $K(ℝ^n)$ та $K(T^n)$, де $$K(G^n ): = \mathop {\sup }\limits_{\mathop {\prod _{i = 1}^n \left\| {D_i^{l_i } f} \right\|_{L_p (G^n )} \ne 0}\limits^{f \in L_{p,p}^l (G^n )} } \frac{{\left\| {D^\alpha f} \right\|_{L_p (G^n )} }}{{\left\| f \right\|_{L_p (G^n )}^{\mu _0 } \prod _{i = 1}^n \left\| {D_i^{l_i } f} \right\|_{L_p (G^n )}^{\mu _i } }}$$ —точна константа в нерівності типу Колмогорова; $ℝ$ — дійсна пряма, $T = [0,2π],\; L^l_{p, p} (G^n)$— множина функцій $ƒ ∈ L_p (G^n)$ таких, що частинна похідна $D_i^{l_i} f(x),\; i = \overline {1,n}, 1 ≤ p ≤ ∞, l ∈ ℕ^n, α ∈ ℕ_0^n = (ℕ ∪ 〈0〉)^n, D^{α} f$— мішана похідна функції $ƒ, 0 < µi < 1, i = \overline {0,n}$, $∑_{i=0}^n µ_i = 1$. Якщо $G^n = ℝ$, то $µ_0 = 1 − ∑_{i=0}^n (α_i /l_i),\; µ_i = α_i/l_i,\; i = \overline {1,n}$; якщо $G^n = T^n$, то $µ_0 = 1 − ∑_{i=0}^n (α_i /l_i) − ∑_{i=0}^n (λ/l_i),\; µ_i = α_i/ l_i + λ/l_i , i= \overline {1,n},\; λ ≥ 0$. Доведено, що при $λ = 0$ справджується рівність $K(ℝ^n) = K(T^n)$.
Точные неравенства для производных функций малой гладкости, заданных на оси и полуоси
Бабенко В. Ф., Кофанов В. А., Пичугов С. А.
Укр. мат. журн. - 2006. - 58, № 3. - С. 291–302
Отримано нові точні нерівності вигляду $$∥x(k)∥_q ⩽ K∥x∥^{α}_p ∥x(r)∥^{1−α}_s$$ для таких функцій: заданих на осі $R$ або на півосі $R_{+}$ у випадку $$r = 2,\; k = 0,\; p ∈ (0,∞),\; q ∈ (0,∞],\; q > p,\; s=1,$$ заданих на осі $R$ у випадку $$r = 2,\; k = 1,\; q ∈ [2,∞),\; p = ∞,\; s= 1,$$ а також для знакосталих на $R$ або на $R_{+}$ у випадках $$r = 2,\; k = 0,\; p ∈ (0,∞),\; q ∈ (0,∞],\; q > p,\; s = ∞$$ та $$r = 2,\; k = 1,\; p ∈ (0,∞),\; q = s = ∞.$$.
О неравенствах типа Джексона для функций, заданных на сфере
Бабенко В. Ф., Доронин В. Г., Лигун А. А., Шумейко А. А.
Укр. мат. журн. - 2005. - 57, № 3. - С. 291–304
Отримано точні оцінки наближення в метриках $C$ i $L_2$ функцій, заданих на сфері, лінійними методами підсумовування рядів Фур'є за сферичними гармоніками у випадку, коли диференційовні і різницеві властивості функцій визначаються у просторі $L_2$.
Приближение синусоподобпых функций константами в пространствах $L_p,\; p < 1$
Бабенко В. Ф., Кофанов В. А., Пичугов С. А.
Укр. мат. журн. - 2004. - 56, № 6. - С. 745–762
Досліджено найкращі наближення синусоподобних функцій константами в $L_p,$-просторах при $р < 1$. Зокрема, знайдено найкраще наближення ідеальних сплайнів Ейлера константами у просторах $L_p,$ при деяких $р \in (0, 1)$.
Неравенства типа Колмогорова для смешанных производных функций многих переменных
Бабенко В. Ф., Корнейчук Н. П., Пичугов С. А.
Укр. мат. журн. - 2004. - 56, № 5. - С. 579-594
Нехай $γ = (γ_1 ,..., γ_d )$ — вектор з додатними координатами, $D^γ$— відповідна мішана похідна (порядку $γ_j$- з а $j$-ю змінною). Доведено, що при $d > 1$ і довільних $0 < k < r$ $$\sup_{x \in L^{r\gamma}_{\infty}(T^d)D^{r\gamma}x\neq0} \frac{||D^{k\gamma}x||_{L_{\infty}(T^d)}}{||x||^{1-k/r}||D^{r\gamma}||^{k/r}_{L_{\infty}(T^d)}} = \infty$$ Разом з тим для всіх $x \in L^{r\gamma}_{\infty}(T^d)$ $$||D^{k\gamma}x||_{L_{\infty}(T^d)} \leq K||x||^{1 - k/r}_{L_{\infty}(T^d)}||D^{r\gamma}x||_{L_{\infty}(T^d)}^{k/r} \left(1 + \ln^{+}\frac{||D^{r\gamma}x||_{L_{\infty}(T^d)}}{||x||_{L_{\infty} (T^d)}}\right)^{\beta}$$ Більш того, якщо \(\bar \beta \) —найменше можливе значення показника Р в цій нерівності, то $$\left( {d - 1} \right)\left( {1 - \frac{k}{r}} \right) \leqslant \bar \beta \left( {d,\gamma ,k,r} \right) \leqslant d - 1.$$ .
Сравнение точных констант в неравенствах для производных функций, заданных на вещественной оси и окружности
Бабенко В. Ф., Кофанов В. А., Пичугов С. А.
Укр. мат. журн. - 2003. - 55, № 5. - С. 579-589
Досліджується взаємозв'язок між константами $K(R)$ і $K(T)$, де $$K\left( G \right) = K_{k,r} \left( {G;q,p,s;\alpha } \right): = \mathop {\mathop {\sup }\limits_{x \in L_{p,s}^r \left( G \right)} }\limits_{x^{(r)} \ne 0} \frac{{\left\| {x^{\left( k \right)} } \right\|_{L_q \left( G \right)} }}{{\left\| x \right\|_{L_q \left( G \right)}^\alpha \left\| {x^{\left( r \right)} } \right\|_{L_s \left( G \right)}^{1 - \alpha } }}$$ —точна константа в нерівності Колмогорова; $R$ — дійсна пряма, $Т$ — одиничне коло; $L_{p,s}^r (G)$ — множина функцій $x ∈ L_p(G)$ таких, що $x(r) ∈ L_s(G),\; q, p, s ∈ [1, ∞],\; k, r ∈ N,\; k < r$, $$\frac{r - k + 1/q - 1/s}{r + 1/q - 1/s} = 1 - k/r$$ якщо $K(R) = K(T)$, $$\frac{r - k + 1/q - 1/s}{r + 1/q - 1/s} < 1 - k/r$$ якщо $K(R) = K(T)$. Остання нерівність може бути як рівністю, так і строгою нерівністю. Як наслідок одержано нові точні нерівності типу Колмогорова на дійсній прямій.
О неравенствах типа Колмогорова с интегрируемой старшей производной
Бабенко В. Ф., Кофанов В. А., Пичугов С. А.
Укр. мат. журн. - 2002. - 54, № 12. - С. 1694-1697
Одержано нову точну нерівність типу Колмогорова $$\left\| {x^{\left( k \right)} } \right\|_2 \leqslant K\left\| x \right\|_2^{\frac{{r - k - {1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 2}} \right. \kern-\nulldelimiterspace} 2}}}{{r - {1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 2}} \right. \kern-\nulldelimiterspace} 2}}}} \left\| {x^{\left( r \right)} } \right\|_1^{\frac{k}{{r{{ - 1} \mathord{\left/ {\vphantom {{ - 1} 2}} \right. \kern-\nulldelimiterspace} 2}}}$$ для $2π$-періодичних функцій $x \in L_1^r$ i довільних $k, r ∈ N,\; k < r$. Наведено застосування цієї нерівності в задачах наближення одного класу функцій іншим та оцінки типу $K$-функціонала.
Неравенства типа Колмогорова для периодических функции с ограниченной вариацией первой производной
Бабенко В. Ф., Кофанов В. А., Пичугов С. А.
Укр. мат. журн. - 2002. - 54, № 5. - С. 603-609
Одержано нову непокращувану нерівність типу Колмогорова $$\left\| {x'} \right\|_q \leqslant K\left( {q,p} \right)\left\| x \right\|_p^a \left( {\mathop V\limits_{0}^{{2\pi }} \left( {x'} \right)} \right)^{1 - {alpha }} ,$$ для дифереиційовних $2π$-періодичyих функцій $х$, що мають обмежену варіацію похідної $x′$, де $q ∈ (0, ∞), p ∈ [1, ∞]$, $α = min{1/2, p/q(p + 1)}$.
Точные неравенства типа Колмогорова с ограниченной старшей производной в случае малых гладкостей
Бабенко В. Ф., Кофанов В. А., Пичугов С. А.
Укр. мат. журн. - 2001. - 53, № 10. - С. 1299-1308
Одержано нові непокращувані нерівності типу Колмогорова для диференційовних періодичних функцій. Зокрема, доведено, що при $r = 2,\; k = 1$ або $r = 3,\; k = 1,\; 2$ та при довільних $q,p \in [1, \infty]$ для функцій $x \in L_{\infty}^r$, справедлива непокращувана нерівність $$\left\| {x^{\left( k \right)} } \right\|_q \leqslant \frac{{\left\| {{\phi }_{r - k} } \right\|_q }}{{\left\| {{\phi }_r } \right\|_p^\alpha }}\left\| x \right\|_p^\alpha \left\| {x^{\left( k \right)} } \right\|_\infty ^{1 - \alpha }$$ де $\alpha = \min \left\{ 1 - \frac kr, \frac{r - k + 1\backslash q}{r + 1 \backslash p} \right\}$ ($ϕ_r$— ідеальний сплайн Ейлера порядку $r$).
К 80-летию со дня рождения академика HAH Украины Н. П. Корнейчука
Бабенко В. Ф., Лигун А. А., Митропольский Ю. А., Моторный В. П., Никольский С. М., Самойленко А. М.
Укр. мат. журн. - 2000. - 52, № 1. - С. 3-4
О работах Н. П. Корнейчука, выполненных в 1990 - 1999 годах
Бабенко В. Ф., Лигун А. А., Моторный В. П.
Укр. мат. журн. - 2000. - 52, № 1. - С. 5-8
Наведено короткий огляд робіт М. П. Корнейчука, опублікованих в 1990-1999 роках.
Исследования днепропетровских математиков по неравенствам для производных периодических функций и их приложениям
Укр. мат. журн. - 2000. - 52, № 1. - С. 9-29
Наведено огляд досліджень дніпропетровських математиків, що стосуються точних нерівностей типу Колмогорова для норм проміжних похідних періодичних функцій та їх застосувань в теорії наближень.
О единственности элемента наилучшего $L_1$ -приближения для функций со значениями в банаховом пространстве
Укр. мат. журн. - 2000. - 52, № 1. - С. 30-34
Вивчаються питання єдиності елемента найкращого $L_1$ -наближення неперервних функцій зі значеннями у банаховому просторі. Доведено дві теореми, які характеризують підпростори єдиності за допомогою деяких множин тестових функцій.
О неравенствах для верхних граней функционалов на классах $W^r H^{ω}$ и некоторых их приложениях
Бабенко В. Ф., Корнейчук Н. П., Кофанов В. А., Пичугов С. А.
Укр. мат. журн. - 2000. - 52, № 1. - С. 66-84
Показано, що відомі результати про оцінки верхніх граней функціоналів на класах $W^r H^{ω}$ періодичних функцій можна розглядати як спеціальний випадок нерівностей типу Колмогорова для опорних функцій опуклих, множин. Це дозволило одержати ряд нових тверджень, пов'язаних з апроксимацією класів $W^r H^{ω}$ та встановити їх еквівалентність, а також одержати нові точні нерівності типу Бернштейна-Нікольського, які оцінюють значення опорної функції класу $H^{ω}$ на похідних тригонометричних доліномів або поліношальних сплайнів через $L^{ϱ}$ -норми самих поліномів або сплайнів.
Об оптимизации приближенного интегрирования монотонных функций двух переменных
Бабенко В. Ф., Бородачев С. В.
Укр. мат. журн. - 1999. - 51, № 7. - С. 881–889
Розв'язано задачу оптимізації наближеного інтегрування визначених на прямокутнику функцій двох змінних, монотонних по кожній змінній, за допомогою квадратурних формул з вузлами в точках прямокутної мережі.
О наилучших $L_1$-приближениях функциональных классов сплайнами при наличии ограничений на их производные
Бабенко В. Ф., Парфинович Н. В.
Укр. мат. журн. - 1999. - 51, № 4. - С. 435-444
Знайдено точну асимптотику (при $n → ∞$) найкращих $L_1$ наближень класів $W_1^r$ періодичних функцій сплайнами $s ∈ S_{2n, r∼-1}$ ($S_{2n, r∼-1}$ —множина $2π$-періодичних поліноміальиих сплайнів порядку $r−1$, дефекту 1,з вузлами в точках $kπ/n,\; k ∈ ℤ$) такими, що $V_0^{2π} s^{( r-1)} ≤ 1+ɛ_n$ де $\{ɛ_n\}_{n=1}^{ ∞}$ — спадна послідовність додатних чисел така, що $ɛ_n n^2 → ∞$ і $ɛ_n → 0$, якщо $n → ∞$.
О связи между некоторыми неравенствами типа Колмогорова для периодических и непериодических функций
Бабенко В. Ф., Селиванова С. А.
Укр. мат. журн. - 1999. - 51, № 2. - С. 147–157
Одержані неперіодичні аналоги відомих нерівностей, які оцінюють $L_p$ -норми проміжних похідних періодичної функції за допомогою $L_{∞}$ -норм цієї функції та її старшої похідної.
О точных константах в неравенствах для норм производных на конечном отрезке
Укр. мат. журн. - 1999. - 51, № 1. - С. 117–119
Доведено, що в адитивній нерівності для норм проміжних похідних функцій, які визначені на скінченному відрізку і дорівнюють нулю у заданій системі точок, найменше можливе значення константи при нормі функції співпадає з точною константою у відповідній нерівності типу Маркова - Нікольського для алгебраїчних поліномів, які теж дорівнюють нулю у цій системі точок.
Наилучшие $L_1$-приближения классов функций, задаваемых дифференциальными операторами, обобщенными сплайнами из этих классов
Укр. мат. журн. - 1998. - 50, № 11. - С. 1443-1451
Знайдені точні значення найкращих $L_1$-наближень класів періодичних функцій, що задаються обмеженнями на $L_1$-норму результату застосування до них диференціальних операторів з постійними коефіцієнтами та дійсним спектром, узагальненими сплайнами з цих класів.
Сравнение аппроксимационных свойств обобщенных полипомои и сплайнов
Бабенко В. Ф., Кофанов В. А., Пичугов С. А.
Укр. мат. журн. - 1998. - 50, № 8. - С. 1011–1020
Встановлено, що класи $W_p^r$ функцій багатьох змінних, які задаються обмеженнями на $L_p$-норми мішаних похідних порядку $r = (r_1, r_2, ..., r_m)$, гірше наближаються в $L_q$-метриці узагальненими тригонометричними поліномами, ніж періодичними узагальненими сплайнами, якщо $p ∈ [2, ∞), q = 1$ або $p = ∞, q ∈ [ 1, 2]$. Найкращі наближення соболєвських класів функцій однієї змінної григономе їричними поліномами і періодичними сплайнами у цих випадках однакові.
О неравенствах типа Колмогорова — Хермандера для функций, ограниченных па дискретной сетке
Укр. мат. журн. - 1997. - 49, № 7. - С. 988–992
Одержано посилення нерівності Хермандера для функцій ƒ: ℝ → ℝ, у якому замість ‖ƒ‖∞ використано точну верхню межу значень f на дискретній множині точок.
Об оптимальном восстановлении билинейных функци- оналов в линейных нормированных пространствах
Укр. мат. журн. - 1997. - 49, № 6. - С. 828–831
Досліджується задача оптимального відновлення біліпійних функціоналів за оптимальною лінійною інформацією у загальній постановці. Наведено також деякі нові результати для конкретних функціональних просторів.
Об аддитивныхх неравенствахх для промежуточных производных функций, заданных на конечном интервале
Бабенко В. Ф., Кофанов В. А., Пичугов С. А.
Укр. мат. журн. - 1997. - 49, № 5. - С. 619–628
Наведено загальну схему одержання адитивних нерівностей типу Ландау-Адамара і як наслідок доведено ряд конкретних нових нерівностей для норм проміжних похідних функцій, заданих на скінченному інтервалі, з точною константою при'нормі функції.
Об оптимизации приближенного интегрирования методами Монте-Карло
Укр. мат. журн. - 1997. - 49, № 4. - С. 475–480
Розв'язана задача оптимізації методів Монте-Карло наближеного інтегрування за довільною абсолютно неперервною мірою. Запропопована зручна для досліджень такого типу модель методів Монте-Карло, в якій використовується поняття перехідної ймовірності.
Об оптимизации весовых квадратурных формул
Укр. мат. журн. - 1995. - 47, № 8. - С. 1011–1021
Для довільної неперервної вагової функції, майже всюди додатної на [-1, 1 ], та широкого класу модулів неперервності $ ω(t)$ знайдені асимптотично оптимальні квадратурні формули на класі $H^{ω}[-1, 1 ]$.
Обобщение некоторых экстремальных свойств сплайнов
Укр. мат. журн. - 1995. - 47, № 3. - С. 403–407
Одержані нерівності, що узагальнюють відомі нерівності для норм похідних періодичних сплайнів з мінімальним дефектом, ідеальних сплайнів та моноснлайнів.
О неравенствах для норм промежуточных производных на конечном интервале
Бабенко В. Ф., Кофанов В. А., Пичугов С. А.
Укр. мат. журн. - 1995. - 47, № 1. - С. 105–107
Доведено, що при $n > 4$ для функцій $f$, які мають на $[0, 1]$ абсолютно неперервну похідну порядку $n - 1$, викопується нерівність $$\left\| {f^{(n - 2)} } \right\|_\infty \leqslant 4^{n - 2} (n - 1) ! \left\| f \right\|_\infty + \left\| {f^{(n)} } \right\|_\infty /2$$ з точною константою $4^{n-2}(n - 1)!$.
Аппроксимация непрерывных вектор-функций
Укр. мат. журн. - 1994. - 46, № 11. - С. 1435–1448
Досліджується рівномірна апроксимація неперервних відображень метричних компакт у метричні простори. Для порівняння апроксимаційних властивостей нескінченновимірних підпросторів вводяться поняття „слабкої вимірності” та „слабкого поперечника за Колмогоровим”. Для класів відображень, що задаються мажорантою модуля неперервності, наведені двосторонні оцінки слабких поперечників, які при деяких умовах співпадають.
Наилучшие $L_1$ приближения классов $W_1^r$ сплайнами из $W_1^r$
Укр. мат. журн. - 1994. - 46, № 10. - С. 1410–1413
Знайдені точні значення найкращих $L_1$-наближень класів $W_1^r$ періодичних функцій періодичними поліноміальними сплайнами порядку $r$, дефекту 1, з рівновіддаленими вузлами, які належать до класу $W_1^r$.
О единственности элементов наилучшего и наилучшего одностороннего приближений в пространстве $L_1$
Укр. мат. журн. - 1994. - 46, № 5. - С. 475–483
Вивчаються питання сяйності елементів найкращого наближення у просторі $L_1[a, b]$. Розглядаються задачі найкращого та найкращого $(\alpha, \beta)$-наблнження неперервних функцій, а також задача найкращого одностороннього наближення неперервно-диференційовних функцій.
Некоторые неравенства типа Бернштейна для тригонометрических полиномов
Укр. мат. журн. - 1993. - 45, № 3. - С. 428–430
Одержані уточнення відомих нерівностей типу нерівності Бернштейна для тригонометричних поліномів.
Неравенства типа Бернштейна для $\mathcal{L}$-сплайнов
Укр. мат. журн. - 1993. - 45, № 1. - С. 10-20
Доведені нові нерівності типу нерівностей Бернштейна для 2π-періодичних $\mathcal{L}$-сплайнів, що відповідають диференціальному оператору $\mathcal{L}_\tau (D)$ порядку $r$ постійними дійсними коефіцієнтами.
Об оптимальном восстановлении сверток и скалярных произведений функций из различных классов
Укр. мат. журн. - 1991. - 43, № 10. - С. 1305–1310
Исследуется задача оптимального восстановления сверток и скалярных произведений функций из различных функциональных классов по оптимальной линейной информации об этих функциях.
Поперечники и наилучшие квадратурные формулы для классов сверток
Укр. мат. журн. - 1991. - 43, № 9. - С. 1135–1148
Для классов периодических функций, представимых в виде свертки ядра, не увеличивающего перемен знака, с функциями из заданного перестановочно инвариантного множества решена задача вычисления поперечников Колмогорова в пространстве
Развитие исследований по точному решению экстремальных задач теории наилучшего приближения
Укр. мат. журн. - 1990. - 42, № 1. - С. 4–17
Приведен обзор исследований по точному решению задач наилучшего приближения функциональных классов конкретными аппроксимирующими множествами, вычисления поперечников, а также некоторых близких задач. Основное внимание уделено фундаментальным результатам Н. П. Корнейчука, с именем которого тесно связано развитие этих направлений теории приближений. Прослежено влияние его идей и созданных им мощных методов на исследования других авторов.
О приближенном вычислении скалярных произведений
Укр. мат. журн. - 1988. - 40, № 1. - С. 15-21
Пусть $\mathfrak{M}_1; \mathfrak{M}_2 \subset L_2$ — некоторые классы функций и $\Omega(f_1, f_2)$ — заданный билинейный функционал в $L_2$. Изучается задача оптимального выбора линейной информации об $f_1 \in \mathfrak{M}_1,\; f_2 \in \mathfrak{M}_2$ и оптимального ее использования для восстановления $\Omega(f_1, f_2)$ на классах.
Точные неравенства для норм сопряженных функций и их применения
Укр. мат. журн. - 1987. - 39, № 2. - С. 139-144
Доказано, что при некоторых условиях из интегральных неравенств для перестановок непрерывных $2\pi$-периодических функций следуют точные неравенства для $L_1$ норм сопряженных функций. С помощью этих результатов получены точные неравенства типа Колмогорова для норм производных сопряженных функций и решен ряд задач приближения классов сопряженных функций в метрике $L_1$.
О неравенствах для производных полиномов с вещественными нулями
Укр. мат. журн. - 1986. - 38, № 4. - С. 411–416
Для алгебраических полиномов $P_n$ степени $n \geq 2$, имеющих $n$ нулей в [-1, 1] доказано неравенство $$\max\limits_{-1 \leq x \leq 1}|P''_n(x)| \geq \min \left\{n,\;\frac{(n - 1)n}4\right\} \max\limits_{-1 \leq x \leq 1}|P_n(x)|$$ точное при $n = 2, 3, 4, 5$ и $n \geq 6$ четных. Аналогичное точное неравенство установлено для второй производной и второй разности тригонометрических полиномов, все нули которых расположены на вещественной оси.
О поперечниках некоторых классов сверток
Укр. мат. журн. - 1983. - 35, № 5. - С. 603—607
В работе, в частности, вычислены нечетные поперечники в смысле Колмогорова класса 2π-периодических функций, сопряженных функциям из класса Липшица.
Несимметричные приближения в пространствах суммируемых функций
Укр. мат. журн. - 1982. - 34, № 4. - С. 409—416
Изучается одно обобщение задачи наилучшего приближения в пространствах суммируемых функций. Это обобщение позволяет, в частности, рассматривать известные результаты по наилучшему и наилучшему одностороннему приближению как крайние случаи решения одной общей задачи.
Об одном свойстве компактных операторов в пространстве суммируемых функций
Укр. мат. журн. - 1981. - 33, № 4. - С. 491–492
О приближении в среднем линейных комбинаций сдвигов некоторых функций
Укр. мат. журн. - 1981. - 33, № 2. - С. 234–240