2019
Том 71
№ 11

Всі номери

Пічугов С. О.

Публікацій: 36
Коротке повідомлення (російською)

Вогнутые оболочки модулей непрерывности

Пичугов С. А.

↓ Абстракт

Укр. мат. журн. - 2019. - 71, № 5. - С. 716-720

УДК 517.9
Доведено нерівність $$ \overline{\omega}(t)\leq\inf_{s>0}\left(\omega\left(\dfrac{s}{2}\right)+\dfrac{\omega(s)}{s}t\right)\!, $$ де $\omega(t)$ — функція типу модуля неперервності, а $\overline{\omega}(t)$ — її найменша вгнута мажоранта. Наведено наслідки для нерівностей Джексона в $C_{2\pi}.$

Стаття (російською)

Кратные модули непрерывности и наилучшие приближения периодических функций в метрических пространствах

Пичугов С. А.

↓ Абстракт

Укр. мат. журн. - 2018. - 70, № 5. - С. 699-707

Доведено, що за умови $M_{\Psi} \Bigl( \frac 12\Bigr) < 1$, де $M_{\Psi}$ — функцiя розтягування $\Psi$ у просторi $L_{\Psi}$, виконуються нерiвностi Джексона $$\sup_n \sup_{f\in L_{\Psi}, f\not = \text{const}} \frac{E_{n-1}(f)_{\Psi} }{\omega_k \Bigl(f, \frac{\pi}n \Bigr)_{\Psi}} < \infty.$$ Тут $E_{n-1}(f)_{\Psi}$ — найкраще наближення $f $тригонометричними полiномами степеня не вищого за $n- 1,\; \omega_k \Bigl(f, \frac{\pi}n \Bigr)_{\Psi}$ — модуль неперервностi $f$ порядку $k$, $k \in N$. Дослiджуються необхiднi i достатнi умови на функцiю $f$ для виконання спiввiдношення $E_{n-1}(f)_{\Psi} \asymp \omega_k \Bigl(f, \frac{\pi}n \Bigr)_{\Psi}.$

Коротке повідомлення (російською)

Неравенства типа Никольского – Стечкина для приращений тригонометрических полиномов в метрических пространствах

Пичугов С. А.

↓ Абстракт   |   Повний текст (.pdf)

Укр. мат. журн. - 2017. - 69, № 5. - С. 711-716

У просторах $L_{\Psi} [0, 2\pi ]$ з метрикою $$\rho (f, 0)\Psi = \frac1{2\pi }\int^{2\pi }_0 \Psi (| f(x)| ) dx,$$ де $\Psi$ — функцiя типу модуля неперервностi, дослiджуються аналоги нерiвностей Нiкольського – Стєчкiна для приростiв та похiдних тригонометричних полiномiв.

Стаття (російською)

Некоторые свойства модулей непрерывности периодических функций в метрических пространствах

Пичугов С. А.

↓ Абстракт   |   Повний текст (.pdf)

Укр. мат. журн. - 2016. - 68, № 12. - С. 1657-1664

Нехай $L_0(T)$ — множина дiйснозначних перiодичних вимiрних функцiй, $\Psi : R^{+} \rightarrow R^{+}$ — модуль неперервностi, $$L_{\Psi} \equiv L_{\Psi} (T) = \left\{ f \in L_0(T) : \| f\| _{\Psi} := \frac1{2\pi} \int_T \Psi (| f(x)| )dx < \infty \right\}.$$ У статтi дослiджуються властивостi кратних модулiв неперервностi функцiй з $L_{\Psi}$.

Стаття (російською)

Гладкость функций в метрических пространствах Lψ

Пичугов С. А.

↓ Абстракт   |   Повний текст (.pdf)

Укр. мат. журн. - 2012. - 64, № 9. - С. 1214-1232

Нехай $L_0(T)$ — множина дійснозначних періодичних вимірних функцій, $\psi : R^+ \rightarrow R^+$ — модуль неперервності $(\psi \neq 0)$, $$L_{\psi} \equiv L_{\psi}(T ) = \left\{f \in L_0 (T ): ||f||_{\psi} := \int_T \psi( |f (x)| ) dx < \infty \right\}.$$ Досліджуються наступні задачі: Зв’язок між швидкістю апроксимації $f$ тригонометричними поліномами в $L_{\psi}$ та гладкістю в $L_1$. Співвідношення між модулями неперервності $f$ в $L_{\psi}$ і $L_1$ та теореми вкладення класів $\text{Lip} (\alpha, \psi)$ в $L_1$. Структура функцій класу $\text{Lip}(1, \psi)$.

Стаття (російською)

Оценки снизу для уклонений наилучших линейных методов приближения тригонометрическими полиномами непрерывных функций

Пичугов С. А.

↓ Абстракт   |   Повний текст (.pdf)

Укр. мат. журн. - 2012. - 64, № 5. - С. 662-673

У випадку рівномірної апроксимації неперервних періодичних функцій однієї змінної тригонометричними поліномами отримано оцінки знизу сталих Джексона для найкращих лінійних методів наближень.

Стаття (російською)

Обратные теоремы Джексона в пространствах с интегральной метрикой

Пичугов С. А.

↓ Абстракт   |   Повний текст (.pdf)

Укр. мат. журн. - 2012. - 64, № 3. - С. 351-362

У просторах $L_{\Psi}(T)$ періодичних функцій з метрикою $\rho(f, 0)_{\Psi} = \int_T \Psi(|f(x)|)dx$, де $\Psi$ — функція типу модуля неперервності, досліджуються обернені теореми Джексона у випадку апроксимації тригонометричними поліномами. Доведено, що обернена теорема Джексона має місце тоді і тільки тоді, коли нижній показник розтягнення функції $\Psi$ не дорівнює нулеві.

Стаття (російською)

Неравенства для тригонометрических полиномов в пространствах с интегральной метрикой

Пичугов С. А.

↓ Абстракт   |   Повний текст (.pdf)

Укр. мат. журн. - 2011. - 63, № 12. - С. 1657-1671

У просторах $L_{\psi}(T)$ періодичних функцій з метрикою $\rho( f , 0)_{\psi} = \int_T \psi (| f (x) |) dx $, де $\psi$ — функція типу модуля неперервності, досліджeно аналоги класичних нерівностей Бернштейна для норм похідних та приростів тригонометричних поліномів.

Стаття (російською)

О теореме Джексона для периодических функций в метрических пространствах с интегральной метрикой. II

Пичугов С. А.

↓ Абстракт   |   Повний текст (.pdf)

Укр. мат. журн. - 2011. - 63, № 11. - С. 1524-1533

У просторах $L_{\psi}(T^m)$ періодичних функцій з метрикою $\rho(f, 0)_{\psi} = \int_{T^m}\psi(|f(x)|)dx$, де $\psi$ — функція типу модуля неперервності, досліджено пряму теорему Джексона у випадку апроксимації тригонометричними поліномами. Доведено, що пряма теорема Джексона має місце тоді і тільки тоді, коли нижній показник розтягнення функції $\psi$ не дорівнює нулеві.

Стаття (англійською)

Точні нерівності типу колмогорова для норм дробових похідних функцій багатьох змінних

Бабенко В. Ф., Пічугов С. О., Парфінович Н. В.

↓ Абстракт   |   Повний текст (.pdf)

Укр. мат. журн. - 2010. - 62, № 3. - С. 301–314

Нехай $C(\mathbb{R}^m)$ — простори неперервних обмежених функцій $x: \mathbb{R}^m → \mathbb{R}$ з нормами $∥x∥_C = ∥x∥_{C(\mathbb{R}^m)} := \sup \{ |x(t)|:\; t∈ \mathbb{R}^m\}$, $e_j,\; j = 1,…,m$ — звичайна база в $\mathbb{R}^m$. Для заданих модулів неперервності $ω_j,\; j = 1,…, m$, позначимо $$H^{j,ω_j} := \left\{x ∈ C(\mathbb{R}^m): ∥x∥_{ω_j} = ∥x∥_{H^{j,ω_j}} = \sup_{t_j≠0} \frac{∥Δtjejx(⋅)∥_C}{ω_j(|t_j|)} < ∞\right\}.$$ У роботі отримано нові точні нерівності типу Колмогорова для норм мішаних частинних похідних $∥D^{α}_{ε}x∥_C$ функцій $x ∈ ∩^{m}_{j=1}H^{j,ω_j}$. Наведені деякі застосування цих нерівностей.

Коротке повідомлення (російською)

О неравенствах типа Колмогорова для дробных производных функций двух переменных

Бабенко В. Ф., Пичугов С. А.

↓ Абстракт   |   Повний текст (.pdf)

Укр. мат. журн. - 2008. - 60, № 6. - С. 837–842

Доведено нову точну нерівність типу Колмогорова, яка оцінює норму мішаної похідної дробового порядку (в сенсі Маршо) функції двох змінних через норму самої функції і норми її частинних похідних першого порядку.

Стаття (російською)

Точные неравенства для производных функций малой гладкости, заданных на оси и полуоси

Бабенко В. Ф., Кофанов В. А., Пичугов С. А.

↓ Абстракт   |   Повний текст (.pdf)

Укр. мат. журн. - 2006. - 58, № 3. - С. 291–302

Отримано нові точні нерівності вигляду $$∥x(k)∥_q ⩽ K∥x∥^{α}_p ∥x(r)∥^{1−α}_s$$ для таких функцій: заданих на осі $R$ або на півосі $R_{+}$ у випадку $$r = 2,\; k = 0,\; p ∈ (0,∞),\; q ∈ (0,∞],\; q > p,\; s=1,$$ заданих на осі $R$ у випадку $$r = 2,\; k = 1,\; q ∈ [2,∞),\; p = ∞,\; s= 1,$$ а також для знакосталих на $R$ або на $R_{+}$ у випадках $$r = 2,\; k = 0,\; p ∈ (0,∞),\; q ∈ (0,∞],\; q > p,\; s = ∞$$ та $$r = 2,\; k = 1,\; p ∈ (0,∞),\; q = s = ∞.$$.

Стаття (російською)

Приближение синусоподобпых функций константами в пространствах $L_p,\; p < 1$

Бабенко В. Ф., Кофанов В. А., Пичугов С. А.

↓ Абстракт   |   Повний текст (.pdf)

Укр. мат. журн. - 2004. - 56, № 6. - С. 745–762

Досліджено найкращі наближення синусоподобних функцій константами в $L_p,$-просторах при $р < 1$. Зокрема, знайдено найкраще наближення ідеальних сплайнів Ейлера константами у просторах $L_p,$ при деяких $р \in (0, 1)$.

Стаття (російською)

Неравенства типа Колмогорова для смешанных производных функций многих переменных

Бабенко В. Ф., Корнейчук Н. П., Пичугов С. А.

↓ Абстракт   |   Повний текст (.pdf)

Укр. мат. журн. - 2004. - 56, № 5. - С. 579-594

Нехай $γ = (γ_1 ,..., γ_d )$ — вектор з додатними координатами, $D^γ$— відповідна мішана похідна (порядку $γ_j$- з а $j$-ю змінною). Доведено, що при $d > 1$ і довільних $0 < k < r$ $$\sup_{x \in L^{r\gamma}_{\infty}(T^d)D^{r\gamma}x\neq0} \frac{||D^{k\gamma}x||_{L_{\infty}(T^d)}}{||x||^{1-k/r}||D^{r\gamma}||^{k/r}_{L_{\infty}(T^d)}} = \infty$$ Разом з тим для всіх $x \in L^{r\gamma}_{\infty}(T^d)$ $$||D^{k\gamma}x||_{L_{\infty}(T^d)} \leq K||x||^{1 - k/r}_{L_{\infty}(T^d)}||D^{r\gamma}x||_{L_{\infty}(T^d)}^{k/r} \left(1 + \ln^{+}\frac{||D^{r\gamma}x||_{L_{\infty}(T^d)}}{||x||_{L_{\infty} (T^d)}}\right)^{\beta}$$ Більш того, якщо \(\bar \beta \) —найменше можливе значення показника Р в цій нерівності, то $$\left( {d - 1} \right)\left( {1 - \frac{k}{r}} \right) \leqslant \bar \beta \left( {d,\gamma ,k,r} \right) \leqslant d - 1.$$ .

Стаття (російською)

Сравнение точных констант в неравенствах для производных функций, заданных на вещественной оси и окружности

Бабенко В. Ф., Кофанов В. А., Пичугов С. А.

↓ Абстракт   |   Повний текст (.pdf)

Укр. мат. журн. - 2003. - 55, № 5. - С. 579-589

Досліджується взаємозв'язок між константами $K(R)$ і $K(T)$, де $$K\left( G \right) = K_{k,r} \left( {G;q,p,s;\alpha } \right): = \mathop {\mathop {\sup }\limits_{x \in L_{p,s}^r \left( G \right)} }\limits_{x^{(r)} \ne 0} \frac{{\left\| {x^{\left( k \right)} } \right\|_{L_q \left( G \right)} }}{{\left\| x \right\|_{L_q \left( G \right)}^\alpha \left\| {x^{\left( r \right)} } \right\|_{L_s \left( G \right)}^{1 - \alpha } }}$$ —точна константа в нерівності Колмогорова; $R$ — дійсна пряма, $Т$ — одиничне коло; $L_{p,s}^r (G)$ — множина функцій $x ∈ L_p(G)$ таких, що $x(r) ∈ L_s(G),\; q, p, s ∈ [1, ∞],\; k, r ∈ N,\; k < r$, $$\frac{r - k + 1/q - 1/s}{r + 1/q - 1/s} = 1 - k/r$$ якщо $K(R) = K(T)$, $$\frac{r - k + 1/q - 1/s}{r + 1/q - 1/s} < 1 - k/r$$ якщо $K(R) = K(T)$. Остання нерівність може бути як рівністю, так і строгою нерівністю. Як наслідок одержано нові точні нерівності типу Колмогорова на дійсній прямій.

Коротке повідомлення (російською)

О неравенствах типа Колмогорова с интегрируемой старшей производной

Бабенко В. Ф., Кофанов В. А., Пичугов С. А.

↓ Абстракт   |   Повний текст (.pdf)

Укр. мат. журн. - 2002. - 54, № 12. - С. 1694-1697

Одержано нову точну нерівність типу Колмогорова $$\left\| {x^{\left( k \right)} } \right\|_2 \leqslant K\left\| x \right\|_2^{\frac{{r - k - {1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 2}} \right. \kern-\nulldelimiterspace} 2}}}{{r - {1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 2}} \right. \kern-\nulldelimiterspace} 2}}}} \left\| {x^{\left( r \right)} } \right\|_1^{\frac{k}{{r{{ - 1} \mathord{\left/ {\vphantom {{ - 1} 2}} \right. \kern-\nulldelimiterspace} 2}}}$$ для $2π$-періодичних функцій $x \in L_1^r$ i довільних $k, r ∈ N,\; k < r$. Наведено застосування цієї нерівності в задачах наближення одного класу функцій іншим та оцінки типу $K$-функціонала.

Стаття (російською)

Неравенства типа Колмогорова для периодических функции с ограниченной вариацией первой производной

Бабенко В. Ф., Кофанов В. А., Пичугов С. А.

↓ Абстракт   |   Повний текст (.pdf)

Укр. мат. журн. - 2002. - 54, № 5. - С. 603-609

Одержано нову непокращувану нерівність типу Колмогорова $$\left\| {x'} \right\|_q \leqslant K\left( {q,p} \right)\left\| x \right\|_p^a \left( {\mathop V\limits_{0}^{{2\pi }} \left( {x'} \right)} \right)^{1 - {alpha }} ,$$ для дифереиційовних $2π$-періодичyих функцій $х$, що мають обмежену варіацію похідної $x′$, де $q ∈ (0, ∞), p ∈ [1, ∞]$, $α = min{1/2, p/q(p + 1)}$.

Стаття (російською)

Точные неравенства типа Колмогорова с ограниченной старшей производной в случае малых гладкостей

Бабенко В. Ф., Кофанов В. А., Пичугов С. А.

↓ Абстракт   |   Повний текст (.pdf)

Укр. мат. журн. - 2001. - 53, № 10. - С. 1299-1308

Одержано нові непокращувані нерівності типу Колмогорова для диференційовних періодичних функцій. Зокрема, доведено, що при $r = 2,\; k = 1$ або $r = 3,\; k = 1,\; 2$ та при довільних $q,p \in [1, \infty]$ для функцій $x \in L_{\infty}^r$, справедлива непокращувана нерівність $$\left\| {x^{\left( k \right)} } \right\|_q \leqslant \frac{{\left\| {{\phi }_{r - k} } \right\|_q }}{{\left\| {{\phi }_r } \right\|_p^\alpha }}\left\| x \right\|_p^\alpha \left\| {x^{\left( k \right)} } \right\|_\infty ^{1 - \alpha }$$ де $\alpha = \min \left\{ 1 - \frac kr, \frac{r - k + 1\backslash q}{r + 1 \backslash p} \right\}$ ($ϕ_r$— ідеальний сплайн Ейлера порядку $r$).

Стаття (російською)

О неравенствах для верхних граней функционалов на классах $W^r H^{ω}$ и некоторых их приложениях

Бабенко В. Ф., Корнейчук Н. П., Кофанов В. А., Пичугов С. А.

↓ Абстракт   |   Повний текст (.pdf)

Укр. мат. журн. - 2000. - 52, № 1. - С. 66-84

Показано, що відомі результати про оцінки верхніх граней функціоналів на класах $W^r H^{ω}$ періодичних функцій можна розглядати як спеціальний випадок нерівностей типу Колмогорова для опорних функцій опуклих, множин. Це дозволило одержати ряд нових тверджень, пов'язаних з апроксимацією класів $W^r H^{ω}$ та встановити їх еквівалентність, а також одержати нові точні нерівності типу Бернштейна-Нікольського, які оцінюють значення опорної функції класу $H^{ω}$ на похідних тригонометричних доліномів або поліношальних сплайнів через $L^{ϱ}$ -норми самих поліномів або сплайнів.

Стаття (російською)

О теореме Джексона для периодических функций в пространствах с интегральной метрикой

Пичугов С. А.

↓ Абстракт   |   Повний текст (.pdf)

Укр. мат. журн. - 2000. - 52, № 1. - С. 122-133

Досліджується апроксимація тригонометричними поліномами періодичних функцій у метричних (ненормованих) просторах, що є узагальненням просторів $L_p , 0 < p < 1,$ і $L_0$ . Зокрема, доведено багатовимірну теорему Джексона в $L_p (T^m ),\; 0 < p < 1$.

Стаття (російською)

Сравнение аппроксимационных свойств обобщенных полипомои и сплайнов

Бабенко В. Ф., Кофанов В. А., Пичугов С. А.

↓ Абстракт   |   Повний текст (.pdf)

Укр. мат. журн. - 1998. - 50, № 8. - С. 1011–1020

Встановлено, що класи $W_p^r$ функцій багатьох змінних, які задаються обмеженнями на $L_p$-норми мішаних похідних порядку $r = (r_1, r_2, ..., r_m)$, гірше наближаються в $L_q$-метриці узагальненими тригонометричними поліномами, ніж періодичними узагальненими сплайнами, якщо $p ∈ [2, ∞), q = 1$ або $p = ∞, q ∈ [ 1, 2]$. Найкращі наближення соболєвських класів функцій однієї змінної григономе їричними поліномами і періодичними сплайнами у цих випадках однакові.

Стаття (російською)

Об аддитивныхх неравенствахх для промежуточных производных функций, заданных на конечном интервале

Бабенко В. Ф., Кофанов В. А., Пичугов С. А.

↓ Абстракт   |   Повний текст (.pdf)

Укр. мат. журн. - 1997. - 49, № 5. - С. 619–628

Наведено загальну схему одержання адитивних нерівностей типу Ландау-Адамара і як наслідок доведено ряд конкретних нових нерівностей для норм проміжних похідних функцій, заданих на скінченному інтервалі, з точною константою при'нормі функції.

Стаття (російською)

Существование измеримой функции с заданными значениями наилучших приближений в $L_0$

Пичугов С. А.

↓ Абстракт   |   Повний текст (.pdf)

Укр. мат. журн. - 1996. - 48, № 8. - С. 1080-1085

У просторі збіжності за мірою досліджується задача С. Н. Бернштейна про існування функції з заданими значениями найкращих наближень системою строго вкладених один в один скінченновимірних підпросторів.

Коротке повідомлення (російською)

Аппроксимация измеримых периодических функций по мере кусочно-постоянными функциями

Пичугов С. А.

↓ Абстракт   |   Повний текст (.pdf)

Укр. мат. журн. - 1996. - 48, № 5. - С. 711-715

Для просторів, визначених функцією $ϕ$ типу модуля неперервності, доведені прямі та обернені теореми Джексона для апроксимації кусково-сталими функціями за рівномірним розбиттям.

Коротке повідомлення (російською)

Аппроксимация сжатий периодических функций в пространстве $L_p,\; p < 1$

Пичугов С. А.

↓ Абстракт   |   Повний текст (.pdf)

Укр. мат. журн. - 1995. - 47, № 12. - С. 1708-1711

Досліджується поведінка найкращого наближення стисків функцій тригонометричними полі­номами у просторі $L_p,\; p < 1$.

Коротке повідомлення (російською)

О неравенствах для норм промежуточных производных на конечном интервале

Бабенко В. Ф., Кофанов В. А., Пичугов С. А.

↓ Абстракт   |   Повний текст (.pdf)

Укр. мат. журн. - 1995. - 47, № 1. - С. 105–107

Доведено, що при $n > 4$ для функцій $f$, які мають на $[0, 1]$ абсолютно неперервну похідну порядку $n - 1$, викопується нерівність $$\left\| {f^{(n - 2)} } \right\|_\infty \leqslant 4^{n - 2} (n - 1) ! \left\| f \right\|_\infty + \left\| {f^{(n)} } \right\|_\infty /2$$ з точною константою $4^{n-2}(n - 1)!$.

Стаття (російською)

Аппроксимация непрерывных вектор-функций

Бабенко В. Ф., Пичугов С. А.

↓ Абстракт   |   Повний текст (.pdf)

Укр. мат. журн. - 1994. - 46, № 11. - С. 1435–1448

Досліджується рівномірна апроксимація неперервних відображень метричних компакт у метричні простори. Для порівняння апроксимаційних властивостей нескінченновимірних підпросторів вводяться поняття „слабкої вимірності” та „слабкого поперечника за Колмогоровим”. Для класів відображень, що задаються мажорантою модуля неперервності, наведені двосторонні оцінки слабких поперечників, які при деяких умовах співпадають.

Коротке повідомлення (російською)

Приближение константой периодических функций в метрических пространствах $ϕp(L)$

Пичугов С. А.

↓ Абстракт   |   Повний текст (.pdf)

Укр. мат. журн. - 1994. - 46, № 8. - С. 1095–1098

За допомогою найкращого наближення функцій константою одержані необхідні умови для мо­дулів неперервності періодичних функцій в метричних просторах з інтегральною метрикою, а також обчислені константи Юнга цих просторів.

Коротке повідомлення (російською)

Асимптотическое поведение наилучших приближений функций в $L_p$

Пичугов С. А.

↓ Абстракт   |   Повний текст (.pdf)

Укр. мат. журн. - 1993. - 45, № 6. - С. 867–870

Досліджується асимптотична поведінка відношення $E_n (f)_p/ω(f, α/ n)_p$ для індивідуальних пері­одичних функцій $f \in L_p$.

Стаття (українською)

Формула Риса для мультипликаторных операторов в пространстве тригонометрических полиномов

Пічугов С. О.

↓ Абстракт   |   Повний текст (.pdf)

Укр. мат. журн. - 1991. - 43, № 4. - С. 453-455

Для широкого класса операторов свертки в пространстве тригонометрических полиномов одной переменной приводится простое доказательство формулы Риса, основанное на приближении ядра свертки функциями, ортогональными полиномам.

Стаття (українською)

Относительная константа Юнга пространства Lp

Пічугов С. О.

Повний текст (.pdf)

Укр. мат. журн. - 1990. - 42, № 1. - С. 122–125

Стаття (українською)

Точные оценки приближения в Lp функциями вида φ(x) + ψ(y)

Пічугов С. О.

Повний текст (.pdf)

Укр. мат. журн. - 1989. - 41, № 6. - С. 815-818

Стаття (українською)

О неравенствах для производных полиномов с вещественными нулями

Бабенко В. Ф., Пічугов С. О.

↓ Абстракт   |   Повний текст (.pdf)

Укр. мат. журн. - 1986. - 38, № 4. - С. 411–416

Для алгебраических полиномов $P_n$ степени $n \geq 2$, имеющих $n$ нулей в [-1, 1] доказано неравенство $$\max\limits_{-1 \leq x \leq 1}|P''_n(x)| \geq \min \left\{n,\;\frac{(n - 1)n}4\right\} \max\limits_{-1 \leq x \leq 1}|P_n(x)|$$ точное при $n = 2, 3, 4, 5$ и $n \geq 6$ четных. Аналогичное точное неравенство установлено для второй производной и второй разности тригонометрических полиномов, все нули которых расположены на вещественной оси.

Стаття (українською)

Об инвариантности элементов наилучшего приближения и одной теореме Глезера

Ганзбург М. И., Пічугов С. О.

Повний текст (.pdf)

Укр. мат. журн. - 1981. - 33, № 5. - С. 664—667

Стаття (українською)

Об одном свойстве компактных операторов в пространстве суммируемых функций

Бабенко В. Ф., Пічугов С. О.

Повний текст (.pdf)

Укр. мат. журн. - 1981. - 33, № 4. - С. 491–492

Стаття (українською)

О приближении в среднем линейных комбинаций сдвигов некоторых функций

Бабенко В. Ф., Пічугов С. О.

Повний текст (.pdf)

Укр. мат. журн. - 1981. - 33, № 2. - С. 234–240