Mean-square approximation by an angle in $L_2$ and the values of quasiwidths for some classes of functions

Keywords: the best approximation, the generalized polynomials, approximation subspace, module of continuity, quasiwidth

Abstract

UDC 517.5

In the metric $L_{2},$ we obtain exact inequalities that associate the best approximations by trigonometrical ``angles'' for functions $f(x,y),$ which are differentiable and $2\pi$-periodic in each variable, with the integrals containing modules of continuity of higher order for mixed derivatives of these functions.  For some classes of functions defined by modules of continuity, we calculate Kolmogorov's quasiwidths and linear quasiwidths.

References

M. K. Potapov, О приближении „углом”(Russian) [[O priblizhenii „uglom”]], Proc. Conf. Constructive Theory of Functions, Akad. Kiado, Budapesht (1972), p. 371 – 399.

M. K. Potapov, Изучение некоторых классов функций при помощи приближения “углом”(Russian)[[Izuchenie nekotory`kh klassov funkczij pri pomoshhi priblizheniya “uglom”]], Tr. Mat. in-ta SSSR, 117, 256 – 291 (1972).

M. Tomich, О приближении углом функций с доминирующим модулем гладкости(Russian) [[O priblizhenii uglom funkczij s dominiruyushhim modulem gladkosti]], Publ. Inst. Math (Beograd), 23, No 37, 193 – 206 (1978)

W. Haussmann, K. Zeller, Uniqueness and non-uniqueness in bivariate $Lsp{1}$-approximation, Approxim. Theory IV (Proc. Intern. Symp., January 10 – 14, 1983), Acad. Press, New York (1983), p. 509 – 514.

H. Gronska, K. Jetter, Jackson-type theorems on approximation by trigonometric and algebraic pseudopolynomials, J. Approxim. Theory, 48, No 4, 396 – 406 (1986) https://doi.org/10.1016/0021-9045(86)90011-0

S. B. Vakarchuk, О наилучшем приближении обобщенными полиномами в одном пространстве аналитических функций двух комплексных переменных(Russian) [[O nailuchshem priblizhenii obobshhenny`mi polinomami v odnom prostranstve analiticheskikh funkczij dvukh kompleksny`kh peremenny`kh]], Izv. vuzov, 3, 14 – 25 (1991)

V. N. Temlyakov, Приближение функций с ограниченной смешанной производной(Russian) [[Priblizhenie funkczij s ogranichennoj smeshannoj proizvodnoj]], Tr. Mat. in-ta AN SSSR, 178, 3 – 113 (1986)

S. B. Vakarchuk, M. Sh. Shabozov, О точных значениях квазипоперечников некоторых функциональных классов(Russian) [[O tochny`kh znacheniyakh kvazipoperechnikov nekotory`kh funkczional`ny`kh klassov]], Ukr. mat. zhurn., 48, No 3, 301 – 308 (1996)

M. Sh. Shabozov, M. O. Akobirshoev, Квазипоперечники некоторых классов дифференцируемых периодических функций двух переменных(Russian) [[Kvazipoperechniki nekotory`kh klassov differencziruemy`kh periodicheskikh funkczij dvukh peremenny`kh]], Dokl. AN Rossii,404, No 4, 460 – 464 (2005)

M. Sh. Shabozov, M. O. Akobirshoev, О точных значениях квазипоперечников некоторых классов дифференцируемых периодических функций двух переменных(Russian) [[O tochny`kh znacheniyakh kvazipoperechnikov nekotory`kh klassov differencziruemy`kh periodicheskikh funkczij dvukh peremenny`kh]] , Ukr. mat. zhurn., 61, No 6, 855 – 864 (2009).

M. Sh. Shabozov, M. O. Akobirshoev, Exact estimates of quasiwidths of some classes of differentiable periodic functions of two variables, Anal. Math., 35, No 1, 61 – 72 (2009) https://doi.org/10.1007/s10476-009-0105-5

S. B. Vakarchuk, A. V. Shvachko, О наилучшем приближении „углом” в среднем на плоскости 2 с весом Чебышева – Эрмита(Russian) [[O nailuchshem priblizhenii „uglom” v srednem na ploskosti 2 s vesom Cheby`sheva – E`rmita]], Zb. pracz` In-tu matematiki NAN Ukrayini, 11, No 3, 35 – 46 (2014)

S. B. Vakarchuk, A. V. Shvachko, Неравенства колмогоровского типа для производных двух переменных и их приложение к аппроксимации „углом”(Russian) [[ Neravenstva kolmogorovskogo tipa dlya proizvodny`kh dvukh peremenny`kh i ikh prilozhenie k approksimaczii „uglom”]], Izv. vuzov, matematika, 11, 3 – 22 (2015)

S. B. Vakarchuk, M. B. Vakarchuk, Неравенства типа Колмогорова для аналитических функций одной и двух комплексных переменных и их приложения к теории аппроксимации(Russian) [[Neravenstva tipa Kolmogorova dlya analiticheskikh funkczij odnoj i dvukh kompleksny`kh peremenny`kh i ikh prilozheniya k teorii approksimaczii]], Ukr. mat. zhurn., 63, No 12, 1579–1601 (2011)

Yu. A. Brudny`j, Приближение функций $n$-переменных квазимногочленами(Russian) [[Priblizhenie funkczij $n$-peremenny`kh kvazimnogochlenami]], Izv. AN SSSR, ser. mat., 34, No 3, 564 – 583 (1979)

V. V. Shalaev, О поперечниках в $L_2$ классов дифференцируемых функций, определяемых модулями непрерывности высших порядков(Russian) [[O poperechnikakh v $L_2$ klassov differencziruemy`kh funkczij, opredelyaemy`kh modulyami neprery`vnosti vy`sshikh poryadkov]], Ukr. mat. zhurn., 43, No 1, 125 – 129 (1991).

Published
17.06.2020
How to Cite
ShabozovM. S., and Akobirshoev M. O. “Mean-Square Approximation by an Angle in $L_2$ and the Values of Quasiwidths for Some Classes of Functions”. Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal, Vol. 72, no. 6, June 2020, pp. 852-64, doi:10.37863/umzh.v72i6.1064.
Section
Research articles