Kolmogorov type inequalities for norms of fractional derivatives of functions defined on the positive half-line

Abstract

UDC 517.5

We obtain new Kolmogorov type sharp inequalities that estimate the norm of the Marchaud fractional derivative $\big\|D^k_-f\big\|_\infty$ of a function $f$ defined on the positive half-line in terms of $\|f\|_p,$ $1< p<\infty,$ and $\|f''\|_1.$
In addition, we solve the following related problems: the Stechkin problem on the best approximation of the operator $D^k_-$ by linear bounded operators and the problem on the best recovery of the operator $D^k_-$ by using a class of elements given with an error.

References

V. N. Gabushin, Неравенства для норм функции и ее производных в метриках $L_p$ (Russian) [[Neravenstva dlya norm funkczii i ee proizvodny`kh v metrikakh $L_p$]], Mat. zametki, 1, № 3, 291 – 298 (1967); English translation: Math. Notes, 1, № 3, 194 – 198 (1967).

V. F. Babenko, N. P. Kornejchuk, V. A. Kofanov, S. A. Pichugov, Неравенства для производных и их приложения (Russian) [[Neravenstva dlya proizvodny`kh i ikh prilozheniya]], Nauk. dumka, Kiev, (2003).

E. Landau, Einige Ungleichungen fur zweimal differenzierbare Funktion, Proc. London Math. Soc., (2)13, 43 – 49 (1913), https://doi.org/10.1112/plms/s2-13.1.43

J. Hadamard, Sur le module maximum d’une fonction et de ses derivees, C. R. Soc. Math. France, 41, 68 – 72 (1914), http://www.numdam.org/item?id=BSMF_1902__30__40_1

G. H. Hardy, J. E. Littlewood, Contribution to the arithmetic theory of series, Proc. London Math. Soc. (2) 11 , 411 – 478 (1913), https://doi.org/10.1112/plms/s2-11.1.411

G. E. Shilov, О неравенствах между производными (Russian) [[O neravenstvakh mezhdu proizvodny`mi]], Sb. nauch. stud. rabot MGU, 17 – 27 (1937).

A. N. Kolmogorov, On inequalities between the upper bounds of the successive derivatives of an arbitrary function on the infinite interval, Uch. Zap. MGU, Math., 30, № 1, 3--16(1939).

G. H. Hardy, J. E. Littlewood, G. Polya, Inequlities, Cambridge (1934).

E. M. Stein, Functions of exponential type, Ann. Math., 65, № 3, 582 – 592 (1957), https://doi.org/10.2307/1970066

L. V. Tajkov, Неравенства типа Колмогорова и наилучшие формулы численного дифференцирования (Russian) [[Neravenstva tipa Kolmogorova i nailuchshie formuly` chislennogo differenczirovaniya]], Mat. zametki, 4, № 2, 233 – 238 (1968).

A. P. Matorin, О неравенствах между наибольшими значениями абсолютных величин функции и ее производных на полупрямой (Russian) [[O neravenstvakh mezhdu naibol`shimi znacheniyami absolyutny`kh velichin funkczii i ee proizvodny`kh na polupryamoj]], Ukr. mat. zhurn., 7, № 2, 262 – 266 (1955).

I. J. Shoenberg, A. Cavaretta, Solution of Landau’s problem, concerning higher derivatives on half-line, MRC Technical Summary Report 1050, Madison, Wisconsin (1970).

Yu. I. Lyubich, О неравенствах между степенями линейных операторов (Russian) [[O neravenstvakh mezhdu stepenyami linejny`kh operatorov]], Izv. AN SSSR. Ser. mat., 24, 825 – 864 (1960).

N. P. Kupczov, Колмогоровские оценки для производных в $L_2[0, infty) $ (Russian) [[Kolmogorovskie oczenki dlya proizvodny`kh v $L_2[0, infty) $]], Tr. Mat. in-ta AN SSSR, 138, 94 – 117(1975).

V. N. Gabushin, О наилучшем приближении дифференциальных операторов на полуоси (Russian) [[O nailuchshem priblizhenii differenczial`ny`kh operatorov na poluosi]], Mat. zametki, 6, № 3, 573–582 (1969).

N. P. Kupczov, О точных константах в неравенствах между нормами функций и их производных (Russian) [[O tochny`kh konstantakh v neravenstvakh mezhdu normami funkczij i ikh proizvodny`kh ]], Mat. zametki, 41, № 3, 313 – 319 (1987).

G. A. Kalyabin, Точные константы в неравенствах для промежуточных производных (случай Габушина) (Russian) [[Tochny`e konstanty` v neravenstvakh dlya promezhutochny`kh proizvodny`kh (sluchaj Gabushina)]],Funkczion. analiz i ego pril., 38, № 3, 29 – 38 (2004).

V. V. Arestov, V. N. Gabushin, Наилучшее приближение неограниченных операторов ограниченными (Russian) [[Nailuchshee priblizhenie neogranichenny`kh operatorov ogranichenny`mi]], Izv. vuzov, Matematika, 42 – 68 (1995); English translation: Russian Math. (Iz. VUZ), 38 – 63 (1995).

K. B. Oldham, J. Spanier, The fractional calculus; theory and applications of differentiation and integration to arbitrary order, Math. Sci. and Eng., Vol. 5, Acad. Press (1974).

S. G. Samko, A. A. Kilbas, O. I. Marichev, Fractional integrals and derivatives: theory and applications, Taylor& Francis Books Ltd, London (2002).

F. Mainardi, Fractional calculus and waves in linear viscoelasticity: an introduction to mathematical models, ImperialCollege Press (2010), https://doi.org/10.1142/9781848163300

V. E. Tarasov, Fractional dynamics: applications of fractional calculus to dynamics of particles, fields and media, Springer, Berlin, 49, № 2, 293--303 (2010), https://doi.org/10.1007/s10773-009-0202-z

A. Marchaud, Sur les dérivées et sur les différences des fonctions de variables réelles (French), J. Math. Pures et Appl. (9)6, 337 – 426 (1927), http://www.numdam.org/item?id=THESE_1927__78__1_0

S. P. Geĭsberg, Generalization of Hadamard’s inequality, Sb. Nauch. Tr. Leningr. Mekh. Inst., 50, 42 – 54 (1965).

V. V. Arestov, Inequalities for fractional derivatives on the half-line, Approxim. Theory, Vol. 4, Banach Center Publ., Warsaw (1979), p. 19 – 34.

A. P. Buslaev, V. M. Tikhomirov, О неравенствах для производных в многомерном случае (Russian) [[O neravenstvakh dlya proizvodny`kh v mnogomernom sluchae]], Mat. zametki, 25, № 1, 59 – 73 (1979).

G. G. Magaril-Il’yaev, V. M. Tihomirov, On the Kolmogorov inequality for fractional derivatives on the half-line, Anal. Math., 7, № 1, 37 – 47 (1981), https://doi.org/10.1007/BF02102723

V. F. Babenko, M. S. Churilova, Про нерiвностi типу Колмогорова для похiдних дробового порядку (Ukrainian) [[Pro nerivnosti tipu Kolmogorova dlya pokhidnikh drobovogo poryadku]], Visn. Dnipropetr. un-tu. Ser. mat., 6, 16 – 20 (2001).

M. S. Churilova, Нерiвностi типу Колмогорова для похiдних дробового порядку та їх застосування в теорiї апроксимацiї (Ukrainian) [[Nerivnosti tipu Kolmogorova dlya pokhidnikh drobovogo poryadku ta yikh zastosuvannya v teoriyi aproksimacziyi]], Dis... . kand. fiz.-mat. nauk, Dnipropetrovs`k (2006).

V. F. Babenko, M. S. Churilova, Про нерiвностi типу Колмогорова для дробових похiдних функцiй, визначених на дiйснiй осi (Ukrainian) [[Pro nerivnosti tipu Kolmogorova dlya drobovikh pokhidnikh funkczij viznachenikh na dijsnij osi]], Visn. Dnipropetr. un-tu. Ser. mat., 13, 28 – 34 (2008).

V. F. Babenko, N. V. Parfinovich, Неравенства типа Колмогорова для норм производных Рисса функций многих переменных и некоторые их приложения (Russian) [[Neravenstva tipa Kolmogorova dlya norm proizvodny`kh Rissa funkczij mnogikh peremenny`kh i nekotory`e ikh prilozheniya]], Tr. IMM UrO RAN, 17, № 3, 60 – 70 (2011).

V. F. Babenko, N. V. Parfinovich, S. A. Pichugov, Неравенства типа Колмогорова для норм производных Рисса функций многих переменных с ограниченным в $L_{infty}$ лапласианом и смежные задачи (Russian) [[Neravenstva tipa Kolmogorova dlya norm proizvodny`kh Rissa funkczij mnogikh peremenny`kh s ogranichenny`m v $L_{infty}$ laplasianom i smezhny`e zadachi]], Mat. zametki, 95, № 1, 3 – 17 (2014).

V. F. Babenko, M. S. Churilova, N. V. Parfinovych, D. S. Skorokhodov, Kolmogorov type inequalities for the

Marchaud fractional derivatives on the real line and the half-line, J. Inequal. and Appl., Article № 504 (2014), https://doi.org/10.1186/1029-242X-2014-504

V. P. Motorny`j, V. F. Babenko, A. A. Dovgoshej, O. I. Kuzneczova, Теория приближений и гармонический анализ (Russian) [[Teoriya priblizhenij i garmonicheskij analiz]], Nauk. dumka, Kiev, (2014).

S. B. Stechkin, Best approximation of linear operators, Math. Notes, 1, № 2, 91 – 99 (1967).

S. M. Nikol`skij, Курс матетматического анализа (Russian) [[Kurs matetmaticheskogo analiza]], Fizmatlit, Moskva, (2001).

M. A. Krasnosel`skij, A. I. Perov, A. I. Povoloczkij, P. P. Zabrejko, Векторные поля на плоскости (Russian) [[Vektorny`e polya na ploskosti]], Nauka, Moskva, (1963).

V. N. Gabushin, Наилучшее приближение функционалов на некоторых множествах (Russian) [[Nailuchshee priblizhenie funkczionalov na nekotory`kh mnozhestvakh]], Mat. zametki, 8, № 5, 551 – 562 (1970).

Published
25.10.2020
How to Cite
KozynenkoO., and SkorokhodovD. “Kolmogorov Type Inequalities for Norms of Fractional Derivatives of Functions Defined on the Positive Half-Line”. Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal, Vol. 72, no. 10, Oct. 2020, pp. 1372 -85, doi:10.37863/umzh.v72i10.1074.
Section
Research articles