A time-optimal control problem for a set-valued linear control system

Keywords: control set-valued system, Hukuhara derivative, time-optimal control problem

Abstract

UDC 517.9

We consider the time-optimal control problem for a set-valued linear control system in the case where a section of the solution of the system coincides with a target set.  For this problem, we obtain the solvability conditions as well as the optimal time and optimal controls.  The results are illustrated by model examples. 

References

F. S. de Blasi, F. Iervolino, Equazioni differentiali con soluzioni a valore compatto convesso, Boll. Unione Mat. Ital., 2, № 4-5, 491 – 501 (1969)

V. A. Plotnikov, A. V. Plotnikov, A. N. Vityuk, Дифференциальные уравнения с многозначной правой частью. Асимптотические методы (Russian) [[Differenczial`ny`e uravneniya s mnogoznachnoj pravoj chast`yu.Asimptoticheskie metody]], AstroPrint, Odessa (1999)

A. V. Plotnikov, N. V. Skripnik, Дифференциальные уравнения с четкой и нечеткой многозначной правой частью. Асимптотические методы (Russian) [[Differenczial`ny`e uravneniya s chetkoj i nechetkoj mnogoznachnoj pravoj chast`yu. Asimptoticheskie metody]], AstroPrint, Odessa (2009)

V. Lakshmikantham, T. Granna Bhaskar, J. Vasundhara Devi, Theory of set differential equations in metric spaces, Cambridge Sci. Publ., x+204 pp. ISBN: 978-1-904868-46-0; 1-904868-46-0 (2006).

A. A. Martynyuk, Qualitative analysis of set-valued differential equations, Springer Nature Switzerland AG, Birkhauser, Cham, xiii+198 pp. ISBN: 978-3-030-07643-6; 978-3-030-07644-3 (2019), https://doi.org/10.1007/978-3-030-07644-3

A. A. Tolstonogov, Дифференциальные включения в банаховом пространстве (Russian) [[ Differenczial`ny`e vklyucheniya v banakhovom prostranstve]], Nauka, Novosibirsk (1986).

E. V. Ocheretnyuk, V. I. Sly`n`ko, Оценки площади решений псевдолинейных дифференциальных уравнений с производной Хукухары в пространстве conv $(R^2)$ (Russian) [[Oczenki ploshhadi reshenij psevdolinejny`kh differenczial`ny`kh uravnenij s proizvodnoj Khukukhary` v prostranstve conv $(R^2)$]], Ukr. mat. zhurn., 69, № 2, 189 – 214 (2017).

A. V. Plotnikov, N. V. Skripnik, An existence and uniqueness theorem to the Cauchy problem for generalised set differential equations, Dyn. Contin. Discrete Impuls. Syst. Ser. A, Math. Anal., 20, № 4, 433 – 445 (2013).

A. V. Plotnikov, N. V. Skripnik, Многозначные дифференциальные уравнения с обобщенной производной (Russian) [[Mnogoznachny`e differenczial`ny`e uravneniya s obobshhennoj proizvodnoj]], Ukr. mat. zhurn., 65, № 10, 1350 – 1362 (2013).

N. V. Skripnik, Схема ступенчатого усреднения для многозначных дифференциальных уравнений с обобщенной производной (Russian) [[Skhema stupenchatogo usredneniya dlya mnogoznachny`kh differenczial`ny`kh uravnenij s obobshhennoj proizvodnoj, Nelinijni kolivannya, 20, № 3, 391 – 400 (2017).

A. V. Plotnikov, T. A. Komleva, L. I. Plotnikova, Averaging of a system of set-valued differential equations with then Hukuhara derivative>, J. Uncertain Systems, 13 , № 1, 3 – 13 (2019), https://doi.org/10.1007/s11072-007-0017-x

A. V. Plotnikov, A. V. Tumbrukaki, Интегро-дифференциальные уравнения с многозначными траекториями (Russian) [[Integro-differenczial`ny`e uravneniya s mnogoznachny`mi traektoriyami ]], Ukr. mat. zhurn., 52, № 3, 359 – 367 (2000).

A. V. Plotnikov, A. V. Tumbrukaki, Интегро-дифференциальные включения с производной Хукухары (Russian) [[Integro-differenczial`ny`e vklyucheniya s proizvodnoj Khukukhary]]`, Nelinijni kolivannya, 8, № 1, 80 – 88 (2005).

N. V. Skripnik, Усреднение многозначных интегральных уравнений (Russian) [[Usrednenie mnogoznachny`kh integral`ny`kh uravnenij]], Nelinijni kolivannya, 16, № 3, 408 – 415 (2013).

V. Babenko, Numerical methods for solution of Volterra and Fredholm integral equations for functions with values in $L$-spaces, Appl. Math. Comput., 291, 354 – 372 (2016), https://doi.org/10.1016/j.amc.2016.07.024

V. Babenko, Calculus and nonlinear integral equations for functions with values in $L$-spaces, Anal. Math., 45, № 4, 727 – 755 (2019), https://doi.org/10.1007/s10476-019-0004-3

A. V. Plotnikov, T. A. Komleva, I. V. Molchanyuk, Existence and uniqueness theorem for set-valued Volterra -Hammerstein integral equations, Asian-Eur. J. Math., 11, № 3, (2018), 11 p., https://doi.org/10.1142/S1793557118500365

A. V. Plotnikov, N. V. Skripnik, Existence and uniqueness theorem for set integral equations, J. Adv. Res. Dyn. and Control Syst., 5, № 2, 65 – 72 (2013).

N. A. Perestyuk, V. A. Plotnikov, A. M. Samoilenko, N. V. Skripnik, Импульсные дифференциальные уравнения с многозначной и разрывной правой частью (Russian) [[Impul`sny`e differenczial`ny`e uravneniya s mnogoznachnoj i razry`vnoj pravoj chast`yu]], In-t matematiki NAN Ukrainy`, Kiev(2007).

N. A. Perestyuk, V. A. Plotnikov, A. M. Samoilenko, N. V. Skripnik, Differential equations with impulse effects: multivalued right-hand sides with discontinuities, De Gruyter Stud. Math., 40, Walter De Gruyter GmbH& Co, Berlin; Boston, xiv+307 pp. ISBN: 978-3-11-021816-9 (2011), https://doi.org/10.1515/9783110218176

N. A. Perestyuk, N. V. Skripnik, Усреднение импульсных многозначных систем (Russian) [[Usrednenie impul`sny`kh mnogoznachny`kh sistem]], Ukr. mat. zhurn., 65, № 1, 126 – 142 (2013).

N. V. Skripnik, Усреднение импульсных дифференциальных включений с производной Хукухары (Russian) [[Usrednenie impul`sny`kh differenczial`ny`kh vklyuchenij s proizvodnoj Khukukhary]]`, Nelinijni kolivannya, 10, № 3, 416 – 432 (2007).

I. V. Atamas`, V. I. Sly`n`ko, Устойчивость неподвижных точек одного класса квазилинейных каскадов впространстве conv $(R^n)$ (Russian) [[Ustojchivost` nepodvizhny`kh tochek odnogo klassa kvazilinejny`kh kaskadov vprostranstve conv $(R^n)$]], Ukr. mat. zhurn., 69, № 8, 1166 – 1179 (2017).

T. A. Komleva, L. I. Plotnikova, A. V. Plotnikov, Одна многозначная дискретная система и ее свойства (Russian) [[Odna mnogoznachnaya diskretnaya sistema i ee svojstva]], Ukr. mat. zhurn., 70, № 11, 1519 – 1524 (2018).

T. A. Komleva, L. I. Plotnikova, A. V. Plotnikov, Partial averaging of discrete-time set-valued systems, Stud. Univ. Babe¸s-Bolyai Math., 63, № 4, 539 – 548 (2018), https://doi.org/10.24193/subbmath.2018.4.09

T. A. Komleva, A. V. Plotnikov, Дифференциальные включения с производной Хукухары (Russian) [[Differenczial`ny`e vklyucheniya s proizvodnoj Khukukhary`]], Nelinijni kolivannya,,10, № 2, 229 – 246 (2007).

A. V. Plotnikov, Усреднение дифференциальных включений с производной Хукухары (Russian) [[Usrednenie differenczial`ny`kh vklyuchenij s proizvodnoj Khukukhary`]], Ukr. mat. zhurn., 41, № 1, 121 – 125 (1989).

N. V. Plotnikova, Аппроксимация пучка решений линейных дифференциальных включений (Russian) [[Approksimacziya puchka reshenij linejny`kh differenczial`ny`kh vklyuchenij]] , Nelinijni kolivannya, 9, № 3, 386 – 400 (2006).

N. V. Skripnik, Периодические решения линейных дифференциальных включений с импульсами (Russian) [[Periodicheskie resheniya linejny`kh differenczial`ny`kh vklyuchenij s impul`sami]], Ukr. mat. zhurn., 60, № 9, 1287 – 1296 (2008).

V. Lakshmikantham, R. N. Mohapatra, Theory of fuzzy differential equations and inclusions, Taylor & Francis, London, ix+178 pp. ISBN: 0-415-30073-8 (2003), https://doi.org/10.1201/9780203011386

N. A. Perestyuk, N. V. Skripnik, Усреднение нечетких систем (Russian) [[Usrednenie nechetkikh sistem]], Ukr. mat. zhurn., 70, № 3, 412 – 428 (2018).

T. A. Komleva, A. V. Plotnikov, N. V. Skripnik, Дифференциальные уравнения с многозначными решениями (Russian) [[Differenczial`ny`e uravneniya s mnogoznachny`mi resheniyami]], Ukr. mat. zhurn., 60, № 10, 1326 – 1337 (2008).

A. V. Plotnikov, T. A. Komleva, Усреднение нечетких дифференциальных уравнений на конечном промежутке (Russian) [[Usrednenie nechetkikh differenczial`ny`kh uravnenij na konechnom promezhutke]], Nelinijni kolivannya, 14, № 4, 516 – 527 (2011).

A. V. Plotnikov, T. A. Komleva, The full averaging of fuzzy integrodifferential equations, J. Adv. Res. Dyn. and Control Syst., 4, № 1, 48 – 59 (2012).

A. V. Plotnikov, T. A. Komleva, Averaging of the fuzzy differential equations, J. Uncertain Systems, 6, № 1, 30 – 37 (2012).

A. V. Arsirij, A. V. Plotnikov, Системы управления многозначными траекториями с многозначным критерием качества (Russian) [[Sistemy` upravleniya mnogoznachny`mi traektoriyami s mnogoznachny`m kriteriem kachestva]], Ukr. mat. zhurn., 61, № 8, 1142 – 1147 (2009).

T. A. Komleva, I. V. Molchanyuk, N. V. Skripnik, A. V. Plotnikov, Одна линейная многозначная задача управления (Russian) [[Odna linejnaya mnogoznachnaya zadacha upravleniya]], Doslidzhennya v matematiczi i mekhaniczi, 24, № 2 (34), 45 – 66 (2019).

T. A. Komleva, L. I. Plotnikova, A. V. Plotnikov, N. V. Skripnik, Усреднение нечетких управляемых систем (Russian) [[Usrednenie nechetkikh upravlyaemy`kh sistem]], Nelinijni kolivannya,14, № 3, 325 – 332 (2011).

A. V. Plotnikov, Управляемые квазидифференциальные уравнения и их некоторые свойства (Russian) [[Upravlyaemy`e kvazidifferenczial`ny`e uravneniya i ikh nekotory`e svojstva]], Differencz. uravneniya, 34, № 10, 1332 – 1336 (1998).

V. A. Plotnikov, O. D. Kichmarenko, Усреднение управляемых уравнений с производной Хукухары (Russian) [[Usrednenie upravlyaemy`kh uravnenij s proizvodnoj Khukukhary`,]], Nelinijni kolivannya, 9, № 3, 376 – 385 (2006).

Y. Feng, L. Hua, On the quasi-controllability of continuous-time dynamic fuzzy control systems, Chaos, Solitons, Fractals, 30, № 1, 177 – 188 (2006), https://doi.org/10.1016/j.chaos.2005.08.177

R. Jafari, S. Razvarz, A. Gegov, W. Yu, Fuzzy control of uncertain nonlinear systems with numerical techniques: A survey Adv. Comput. Intell. Systems, A survey Adv. Comput. Intell. Systems, UKCI 2019, 1043, Springer, Cham, p. 3 – 14 (2020), https://doi.org/10.1007/978-3-030-29933-0_1

R. Jafari, W. Yu, Fuzzy control for uncertainty nonlinear systems with dual fuzzy equations, J. Intell. Fuzzy. Syst, 29, 1229 – 1240 (2015), https://doi.org/10.3233/IFS-151731

S. Melliani, A. El Allaoui, L. S. Chadli, Controlled fuzzy evolution equations, Recent Adv. Intuition. Fuzzy Logic Systems, 372Springer, Cham (2019), p. 113 – 126.

M. Najariyan, M. H. Farahi, Optimal control of fuzzy controlled system with fuzzy initial conditions, Iran. J. FuzzySyst., 10 , № 3, 21 – 35 (2013).

M. Najariyan, M. H. Farahi, M. Alavian, Optimal control of HIV infection by using fuzzy dynamical systems, J. Math.and Comput. Sci., № 2, 639 – 649 (2011).

A. V. Plotnikov, T. A. Komleva, The averaging of control linear fuzzy $2pi$ -periodic differential equations, Dyn. Contin. Discrete Impuls. Syst., Ser. B, Appl. Algorithms, 18, № 6, 833 – 847 (2011).

N. D. Phu, N. V. Hoa, H. Vu, On comparisons of set solutions for fuzzy control integro-differential systems, J. Adv. Res. Appl. Math., 4, № 1, 84 – 101 (2012), https://doi.org/10.5373/jaram.1081.082011

N. D. Phu, T. T. Tung, Some Properties of sheaf solutions of sheaf set control problems, Nonlinear Anal., Hybrid Syst, 67, 1309 – 1315 (2007), https://doi.org/10.1016/j.na.2006.07.018

N. D. Phu, T. T. Tung, Existence of solutions of set control differential equations, Science & Technology Development, 10, № 6, 5 – 14 (2007).

L. T. Quang, N. D. Phu, N. V. Hoa, H. Vu, On maximal and minimal solutions for set integro-differential equations with feedback control, Nonlinear Stud., 20, № 1, 39 – 56 (2013).

W. Witayakiattilerd, Nonlinear fuzzy differential equation with time delay and optimal control problem, Abstr. and Appl. Anal., 2015, Article ID 659072 (2015), 14 p., https://doi.org/10.1155/2015/659072

W. Yu, R. Jafari, Modeling and control of uncertain nonlinear systems with fuzzy equations and $Z$-number, Wiley IEEE Press (2019).

M. Hukuhara, Integration des applications mesurables dont la valeur est un compact convexe, Funkcial. Ekvac., № 10, 205 – 223 (1967).

Published
18.08.2020
How to Cite
KomlevaT. O., and PlotnikovA. V. “A Time-Optimal Control Problem for a Set-Valued Linear Control System”. Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal, Vol. 72, no. 8, Aug. 2020, pp. 1082-94, doi:10.37863/umzh.v72i7.2300.
Section
Research articles