Sharp Kolmogorov–Remez type inequalities for periodic funtions of a small smoothness

Keywords: Sharp Kolmogorov-Remez typy inequality, function of a small smoothness

Abstract

UDC 517.5

In the case of either $r = 2, k = 1$ or $r = 3, k = 1, 2,$ for any $q, p \geq 1,$ $\beta \in [0,
2\pi),$ and arbitrary measurable set $B \subset I_{2\pi} := [-\pi/2,
3\pi/2],$ $\mu B \le \beta,$ we prove the sharp Kolmogorov–Remez type inequality
$$
\|f^{(k)}\|_{q}\leq
\frac{\|\varphi_{r-k}\|_{q}}{E_0(\varphi_{r})^{\alpha}_{L_p(I_{2\pi}
\setminus B_{2m})}}\|f\|^{\alpha}_{L_p(I_{2\pi} \setminus B)}
\big \|f^{(r)} \big \|^{1-\alpha}_{\infty},
\quad f \in L^r_\infty,
$$
with $\alpha = \min\{1-k/r, (r-k + 1/q)/(r + 1/p)\},$ where $\varphi_r $
is the perfect Euler's spline of order~$r,$ $E_0(f)_{L_p(G)}$ is the best approximation of $f$
by the constants in $L_p(G),$ $B_{2 m} = \left[\dfrac{\pi-2m}{2}, \dfrac{\pi + 2 m}{2}\right],$ and $m = m(\beta) \in [0, \pi)$ is uniquely defined by~$\beta.$

In addition, we obtain a sharp Kolmogorov–Remez type inequality in the case where the number of sign changes of derivatives is also taken into account.

References

V. F. Babenko, V. A. Kofanov, S. A. Pichugov, Точные неравенства типа Колмогорова с ограниченной старшей производной в случае малых гладкостей (Russian)[Tochny`e neravenstva tipa Kolmogorova s ogranichennoj starshej proizvodnoj v sluchae maly`kh gladkostej], Ukr. mat. zhurn., 53, No 10, 1298--1308 (2001). http://umj-old.imath.kiev.ua/archiv/2001/10/umj_2001_10_7057_94902.pdf

V. F. Babenko, V. A. Kofanov, S. A. Pichugov, Сравнение точных констант в неравенствах для производных на действительной оси и на окружности (Russian) [Sravnenie tochny`kh konstant v neravenstvakh dlya proizvodny`kh na dejstvitel`noj osi i na okruzhnosti], Ukr. mat. zhurn., 55, No 5, 579--589 (2003). http://umj-old.imath.kiev.ua/archiv/2003/05/umj_2003_05_7305_74601.pdf

Bojanov, Borislav; Naidenov, Nikola. An extension of the Landau-Kolmogorov inequality. Solution of a problem of Erdős. J. Anal. Math. 78 (1999), 263--280. https://doi.org/10.1007/BF02791137

V. A. Kofanov, Точные верхние грани норм функций и их производных на классах функций с заданной функцией сравнения (Russian)[Tochny`e verkhnie grani norm funkczij i ikh proizvodny`kh na klassakh funkczij s zadannoj funkcziej sravneniya], Ukr. mat. Chur., 63, No 7, 969--984 (2011). http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/166239

E. Remes, Sur une propriete еxtremale des polynomes de Tchebychef, Zap. nauk.-doslid. in-tu matematiki j mekhaniki ta Kharkiv. mat. t-va, ser. 4, 13, vip. 1, 93--95 (1936).

Ganzburg, Michael I. On a Remez-type inequality for trigonometric polynomials. J. Approx. Theory. 164 (2012), no. 9, 1233--1237. https://doi.org/10.1016/j.jat.2012.05.006

Nursultanov, E.; Tikhonov, S. A sharp Remez inequality for trigonometric polynomials. Constr. Approx. 38 (2013), no. 1, 101--132. https://doi.org/10.1007/s00365-012-9172-0

Borwein, Peter; Erdelyi, Tames. Polynomials and polynomial inequalities. Graduate Texts in Mathematics, 161. Springer-Verlag, New York, 1995. {rm x}+480 pp. ISBN: 0-387-94509-1 https://doi.org/10.1007/978-1-4612-0793-1

Ganzburg, M. I. Polynomial inequalities on measurable sets and their applications. Constr. Approx. 17 (2001), no. 2, 275--306. https://doi.org/10.1007/s003650010020

S. Tikhonov, P. Yuditski, Sharp Remez inequality, https://www.researchgate.net/publication/327905401

V. A. Kofanov, Точные неравенства типа Ремеза для дифференцируемых периодических функций, полиномов и сплайнов (Russian) [Tochny`e neravenstva tipa Remeza dlya differencziruemy`kh periodicheskikh funkczij, polinomov i splajnov], Ukr. mat. zhurn., 68, No 2, 227--240 (2016). http://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1836

V. A. Kofanov, Точные неравенства разных метрик типа Ремеза для дифференцируемых периодических функций (Russian) [Tochny`e neravenstva razny`kh metrik tipa Remeza dlya differencziruemy`kh periodicheskikh funkczij, polinomov i splajnov], Ukr. mat. zhurn., 69, No 2, 173--188 (2017). http://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1685

A. E. Gajdabura, V. A. Kofanov, Точные неравенства разных метрик типа Ремеза на классах функций с заданной функцией сравнения (Russian) [Tochny`e neravenstva razny`kh metrik tipa Remeza na klassakh funkczij s zadannoj funkcziej sravneniya], Ukr. mat. zhurn., 69, No 11, 1472 – 1485 (2017). http://umj-old.imath.kiev.ua/archiv/2017/11/umj_2017_11_11024_44244.pdf

Korneĭchuk, N. P.; Babenko, V. F.; Ligun, A. A. Экстремальные свойства полиномов и сплайнов. (Russian) [[Extremal properties of polynomials and splines]] ``Naukova Dumka'', Kiev, 1992. 304 pp. ISBN: 5-12-002210-3 https://www.studmed.ru/korneychuk-np-babenko-vf-ligun-aa-ekstremalnye-svoystva-polinomov-i-splaynov_6b50b073d21.html

V. N. Gabushin, Некоторые неравенства между производными функций (Russian) [Nekotory`e neravenstva mezhdu proizvodny`mi funkczij], Tr. In-ta matematiki i mekhaniki UNCz AN SSSR, vy`p. 23., 20--26 (1976).

A. N. Kolmogorov, О неравенствах между верхними гранями последовательных производных функции на бесконечном интервале (Russian) [O neravenstvakh mezhdu verkhnimi granyami posledovatel`ny`kh proizvodny`kh funkczii na beskonechnom intervale], Izbr. trudy`. Matematika, mekhanika, Nauka, Moskva (1985).

Yu. S. Zagorul`ko, V. A. Kofanov, О продолжении дифференцируемых функций с отрезка их монотонности и неравенства типа Колмогорова (Russian) [O prodolzhenii differencziruemy`kh funkczij s otrezka ikh monotonnosti i neravenstva tipa Kolmogorova], Visn. Dnipropetr. un-tu. Matematika, 22, No 6/1, 52--55 (2014). https://studfile.net/preview/8123739/

B. E. Klocz, Приближение дифференцируемых функций функциями большей гладкости (Russian) [ Priblizhenie differencziruemy`kh funkczij funkcziyami bol`shej gladkosti], Mat. zametki, 21, No 1, 21--32 (1977). http://www.mathnet.ru/php/archive.phtml?wshow=paper&jrnid=mzm&paperid=7925&option_lang=rus

A. A. Ligun, О неравенствах между нормами производных периодических функций (Russian) [O neravenstvakh mezhdu normami proizvodny`kh periodicheskikh funkczij], Mat. zametki, 33, No 3, 385--391 (1983).

V. F. Babenko, V. A. Kofanov, S. A. Pichugov, О точных неравенствах типа Колмогорова, учитывающих число перемен знака производных (Russian) [O tochny`kh neravenstvakh tipa Kolmogorova, uchity`vayushhikh chislo peremen znaka proizvodny`kh], Dop. NAN Ukrayini, vip. 8, 12--16 (1998).

V. A. Kofanov, О некоторых неравенствах типа Колмогорова, учитывающих число перемен производных (Russian) [O nekotory`kh neravenstvakh tipa Kolmogorova, uchity`vayushhikh chislo peremen proizvodny`kh], Ukr. mat. zhurn., 35, No. 4, 456--469 (2003). http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/163844

V. A. Kofanov, V. E. Miropol`skij, О точных неравенствах типа Колмогорова, учитывающих число перемен производных (Russian) [O tochny`kh neravenstvakh tipa Kolmogorova, uchity`vayushhikh chislo peremen proizvodny`kh], Ukr. mat. zhurn., 60, No. 12, 1642--1649 (2008). http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/164793

Published
28.03.2020
How to Cite
KofanovV. A. “Sharp Kolmogorov–Remez Type Inequalities for Periodic Funtions of a Small Smoothness”. Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal, Vol. 72, no. 4, Mar. 2020, pp. 483-9, doi:10.37863/umzh.v72i4.963.
Section
Research articles