# Sharp Kolmogorov–Remez type inequalities for periodic funtions of a small smoothness

• V. A. Kofanov Oles Honchar Dnipro National University
Keywords: Sharp Kolmogorov-Remez typy inequality, function of a small smoothness

### Abstract

UDC 517.5

In the case of either $r = 2, k = 1$ or $r = 3, k = 1, 2,$ for any $q, p \geq 1,$ $\beta \in [0, 2\pi),$ and arbitrary measurable set $B \subset I_{2\pi} := [-\pi/2, 3\pi/2],$ $\mu B \le \beta,$ we prove the sharp Kolmogorov–Remez type inequality
$$\|f^{(k)}\|_{q}\leq \frac{\|\varphi_{r-k}\|_{q}}{E_0(\varphi_{r})^{\alpha}_{L_p(I_{2\pi} \setminus B_{2m})}}\|f\|^{\alpha}_{L_p(I_{2\pi} \setminus B)} \big \|f^{(r)} \big \|^{1-\alpha}_{\infty}, \quad f \in L^r_\infty,$$
with $\alpha = \min\{1-k/r, (r-k + 1/q)/(r + 1/p)\},$ where $\varphi_r$
is the perfect Euler's spline of order~$r,$ $E_0(f)_{L_p(G)}$ is the best approximation of $f$
by the constants in $L_p(G),$ $B_{2 m} = \left[\dfrac{\pi-2m}{2}, \dfrac{\pi + 2 m}{2}\right],$ and $m = m(\beta) \in [0, \pi)$ is uniquely defined by~$\beta.$

In addition, we obtain a sharp Kolmogorov–Remez type inequality in the case where the number of sign changes of derivatives is also taken into account.

### References

V. F. Babenko, V. A. Kofanov, S. A. Pichugov, Точные неравенства типа Колмогорова с ограниченной старшей производной в случае малых гладкостей (Russian)[Tochnye neravenstva tipa Kolmogorova s ogranichennoj starshej proizvodnoj v sluchae malykh gladkostej], Ukr. mat. zhurn., 53, No 10, 1298--1308 (2001). http://umj-old.imath.kiev.ua/archiv/2001/10/umj_2001_10_7057_94902.pdf

V. F. Babenko, V. A. Kofanov, S. A. Pichugov, Сравнение точных констант в неравенствах для производных на действительной оси и на окружности (Russian) [Sravnenie tochnykh konstant v neravenstvakh dlya proizvodnykh na dejstvitelnoj osi i na okruzhnosti], Ukr. mat. zhurn., 55, No 5, 579--589 (2003). http://umj-old.imath.kiev.ua/archiv/2003/05/umj_2003_05_7305_74601.pdf

Bojanov, Borislav; Naidenov, Nikola. An extension of the Landau-Kolmogorov inequality. Solution of a problem of Erdős. J. Anal. Math. 78 (1999), 263--280. https://doi.org/10.1007/BF02791137

V. A. Kofanov, Точные верхние грани норм функций и их производных на классах функций с заданной функцией сравнения (Russian)[Tochnye verkhnie grani norm funkczij i ikh proizvodnykh na klassakh funkczij s zadannoj funkcziej sravneniya], Ukr. mat. Chur., 63, No 7, 969--984 (2011). http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/166239

E. Remes, Sur une propriete еxtremale des polynomes de Tchebychef, Zap. nauk.-doslid. in-tu matematiki j mekhaniki ta Kharkiv. mat. t-va, ser. 4, 13, vip. 1, 93--95 (1936).

Ganzburg, Michael I. On a Remez-type inequality for trigonometric polynomials. J. Approx. Theory. 164 (2012), no. 9, 1233--1237. https://doi.org/10.1016/j.jat.2012.05.006

Nursultanov, E.; Tikhonov, S. A sharp Remez inequality for trigonometric polynomials. Constr. Approx. 38 (2013), no. 1, 101--132. https://doi.org/10.1007/s00365-012-9172-0

Borwein, Peter; Erdelyi, Tames. Polynomials and polynomial inequalities. Graduate Texts in Mathematics, 161. Springer-Verlag, New York, 1995. {rm x}+480 pp. ISBN: 0-387-94509-1 https://doi.org/10.1007/978-1-4612-0793-1

Ganzburg, M. I. Polynomial inequalities on measurable sets and their applications. Constr. Approx. 17 (2001), no. 2, 275--306. https://doi.org/10.1007/s003650010020

S. Tikhonov, P. Yuditski, Sharp Remez inequality, https://www.researchgate.net/publication/327905401

V. A. Kofanov, Точные неравенства типа Ремеза для дифференцируемых периодических функций, полиномов и сплайнов (Russian) [Tochnye neravenstva tipa Remeza dlya differencziruemykh periodicheskikh funkczij, polinomov i splajnov], Ukr. mat. zhurn., 68, No 2, 227--240 (2016). http://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1836

V. A. Kofanov, Точные неравенства разных метрик типа Ремеза для дифференцируемых периодических функций (Russian) [Tochnye neravenstva raznykh metrik tipa Remeza dlya differencziruemykh periodicheskikh funkczij, polinomov i splajnov], Ukr. mat. zhurn., 69, No 2, 173--188 (2017). http://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1685

A. E. Gajdabura, V. A. Kofanov, Точные неравенства разных метрик типа Ремеза на классах функций с заданной функцией сравнения (Russian) [Tochnye neravenstva raznykh metrik tipa Remeza na klassakh funkczij s zadannoj funkcziej sravneniya], Ukr. mat. zhurn., 69, No 11, 1472 – 1485 (2017). http://umj-old.imath.kiev.ua/archiv/2017/11/umj_2017_11_11024_44244.pdf

Korneĭchuk, N. P.; Babenko, V. F.; Ligun, A. A. Экстремальные свойства полиномов и сплайнов. (Russian) [[Extremal properties of polynomials and splines]] Naukova Dumka'', Kiev, 1992. 304 pp. ISBN: 5-12-002210-3 https://www.studmed.ru/korneychuk-np-babenko-vf-ligun-aa-ekstremalnye-svoystva-polinomov-i-splaynov_6b50b073d21.html

V. N. Gabushin, Некоторые неравенства между производными функций (Russian) [Nekotorye neravenstva mezhdu proizvodnymi funkczij], Tr. In-ta matematiki i mekhaniki UNCz AN SSSR, vyp. 23., 20--26 (1976).

A. N. Kolmogorov, О неравенствах между верхними гранями последовательных производных функции на бесконечном интервале (Russian) [O neravenstvakh mezhdu verkhnimi granyami posledovatelnykh proizvodnykh funkczii na beskonechnom intervale], Izbr. trudy. Matematika, mekhanika, Nauka, Moskva (1985).

Yu. S. Zagorulko, V. A. Kofanov, О продолжении дифференцируемых функций с отрезка их монотонности и неравенства типа Колмогорова (Russian) [O prodolzhenii differencziruemykh funkczij s otrezka ikh monotonnosti i neravenstva tipa Kolmogorova], Visn. Dnipropetr. un-tu. Matematika, 22, No 6/1, 52--55 (2014). https://studfile.net/preview/8123739/

B. E. Klocz, Приближение дифференцируемых функций функциями большей гладкости (Russian) [ Priblizhenie differencziruemykh funkczij funkcziyami bolshej gladkosti], Mat. zametki, 21, No 1, 21--32 (1977). http://www.mathnet.ru/php/archive.phtml?wshow=paper&jrnid=mzm&paperid=7925&option_lang=rus

A. A. Ligun, О неравенствах между нормами производных периодических функций (Russian) [O neravenstvakh mezhdu normami proizvodnykh periodicheskikh funkczij], Mat. zametki, 33, No 3, 385--391 (1983).

V. F. Babenko, V. A. Kofanov, S. A. Pichugov, О точных неравенствах типа Колмогорова, учитывающих число перемен знака производных (Russian) [O tochnykh neravenstvakh tipa Kolmogorova, uchityvayushhikh chislo peremen znaka proizvodnykh], Dop. NAN Ukrayini, vip. 8, 12--16 (1998).

V. A. Kofanov, О некоторых неравенствах типа Колмогорова, учитывающих число перемен производных (Russian) [O nekotorykh neravenstvakh tipa Kolmogorova, uchityvayushhikh chislo peremen proizvodnykh], Ukr. mat. zhurn., 35, No. 4, 456--469 (2003). http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/163844

V. A. Kofanov, V. E. Miropolskij, О точных неравенствах типа Колмогорова, учитывающих число перемен производных (Russian) [O tochnykh neravenstvakh tipa Kolmogorova, uchityvayushhikh chislo peremen proizvodnykh], Ukr. mat. zhurn., 60, No. 12, 1642--1649 (2008). http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/164793

Published
28.03.2020
How to Cite
KofanovV. A. “Sharp Kolmogorov–Remez Type Inequalities for Periodic Funtions of a Small Smoothness”. Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal, Vol. 72, no. 4, Mar. 2020, pp. 483-9, doi:10.37863/umzh.v72i4.963.
Issue
Section
Research articles