Том 25, № 3, 1973

Доказано, что для класса $W^3M2\pi$-периодических функций $f(x)$, у которых $f''(x)$ абсолютно непрерывна и $||f'''||_M \leq 1$ наилучшей квадратурной формулой является формула прямоугольников с равноотстоящими узлами и равными коэффициентами. Одновременно решена двойственная задача о минимизации нормы в $L_1$ функции, гладко склеенной из фиксированного числа многочленов третьей степени со старшим коэффициентом, равным единице.

В статье изучается двумерное интегральное уравнение с частными интегралами и вырожденными ядрами специального вида. Дано общее решение однородного уравнения и доказана нормальная разрешимость неоднородного. Выяснено, что ядро и коядро соответствующего оператора может быть как конечномерным, так и бесконечномерным.

В работе с помощью интегральных представлений по мере Винера изучено влияние ненулевых граничных условий на приведенную матрицу плотности систем Бозе — Эйнштейна и Ферми — Дирака. В случае квантовых статистик исследовано зависимость от граничных условий единственного решения интегральных уравнений Кирквуда — Зальсбурга.

На комплексной плоскости $z$ рассматривается задача определения дву-связной области $G_z(t)$ зависящей от времени, ограниченной ваданной кривой $\Gamma:\;|z| = 1$ и некоторой неизвестной простой замкнутой кривой $\gamma(T)$, свободной границей. Задача имеет гидродинамическое происхождение. Внутри области должен существовать гармонический потенциал движения, на заданной поверхности выполняется условие обтекания, а свободная граница нагружается интегралом Коши и кинематическим условием. При $t = 0$ задаются область $G_z(0)$ и начальное значение потенциала. Вводится аналитическая параметризация свободной границы, после чего задача сводится к решению задачи Коши для нелинейной системы интегро-дифференциальных уравнений, разрешенной относительно производных по времени неизвестных функций. При некоторых достаточных условиях доказана теорема существования и единственности аналитического решения при малых $t$.

С помощью введенной «выпуклой аппроксимации» управляемого процесса построен метод отыскания оптимальных траекторий (обычных и обобщенных) для широкого класса задач оптимального управления при фазовых ограничениях.

Изучаются гомоморфизмы и изогении

В работе получены новые достаточные условия устойчивости и асимптотической устойчивости решений скалярных уравнений второго порядка — линейных (полных и неполных) и нелинейных с периодическими коэффициентами.

В работе с помощью метода усреднения исследуются колебания существенно нелинейных систем, возбуждаемых мгновенными силами. Построены решения для автономного и неавтономного случаев. Показано, что амплитуда и фаза колебаний, определяемые из улучшенного первого приближения, изменяются скачкообразно.

Доказываются необходимые и достаточные условия сходимости в метрике $L_p$ последовательности $\{U_n(f; x, y)\}$ линейных положительных операторов, отображающих $L_p$ в себя, к любой функции $f(x, y) \in L_p$.

В работе установлены теоремы о полном наборе изоморфизмов как для задач для эллиптических по Петровскому систем, так и для формально сопряженных к ним, при этом порядки граничных выражений произвольны.

Построено поле операторов $A(\varphi) = A_+(\varphi) + A_-(\varphi),\quad$ ($A_+(\varphi) + A_-(\varphi)$ — аналоги обычных операторов рождения и уничтожения), удовлетворяющее аксиоме локальной коммутативности в более полном объеме, чем свободное поле. Т. е., грубо говоря, $[A(x_1), A(x_2)] = 0,$ если $(x_1 - x_2)^2

В работе найдено решение задачи определения температурного поля в случае отрезка и цилиндра, часть границы которых подвергается тепловому удару. Решение ищется в гильбертовом пространстве $L^2 = L_2(G) + L_2(\Gamma _1)$ в виде ряда Фурье по полной ортонормальной системе собственных функций некоторого самосопряженного оператора. Показана сходимость рядов в указанном пространстве $L^2$.

В заметке доказаны некоторые общие теоремы о двусторонних оператор' ных неравенствах для операторного уравнения с нелинейной правой частью* Как частные случаи этих теорем получены утверждения» являющиеся обоб~ щениями известной леммы Гронуолла—Беллмана.

В заметке выделяется специальный класс, введенных ранее автором, операторов квазидифференцирования — мультипликативно порожденные операторы квазидифференцирования, приводятся примеры операторов, принадлежащих этому классу, формируются необходимые и достаточные условия разрешимости краевых задач для уравнения типа Лапласа и Пуассона с мультипликативно порожденным оператором квазидифференцирования, а также некоторые достаточные условия разрешимости креевых задач для уравнений вида $LF = U (x, F)$, где $L$ — мультипликативно порожденный оператор квазидифференцирования.

Доказывается существование мультипликативного стохастического интеграла с операторными коэффициентами. Для него выводится линейное стохастическое уравнение. Сформулирован ряд свойств мультипликативного стохастического интеграла с фиксированным и переменным верхним пределом. Исследуется применение мультипликативного стохастического интеграла к представлению решения задачи Коши для операторного параболического уравнения второго порядка в виде континуального интеграла.