Том 38, № 4, 1986

Работа посвящена исследованию устойчивости квазистатических положений равновесия усредненных уравнений колебательных систем, которым свойственно явление резонанса частот.

Для алгебраических полиномов $P_n$ степени $n \geq 2$, имеющих $n$ нулей в [-1, 1] доказано неравенство $$\max\limits_{-1 \leq x \leq 1}|P''_n(x)| \geq \min \left\{n,\;\frac{(n - 1)n}4\right\} \max\limits_{-1 \leq x \leq 1}|P_n(x)|$$ точное при $n = 2, 3, 4, 5$ и $n \geq 6$ четных. Аналогичное точное неравенство установлено для второй производной и второй разности тригонометрических полиномов, все нули которых расположены на вещественной оси.

Введено понятие и изучены некоторые свойства обобщенных асимптотических постоянных — класса линейных операторов $X;\,\mathcal{H}_1 \rightarrow \mathcal{H}_2$, для которых на плотном в гильбертовом пространстве \mathcal{H}_1 многообразии $D$ существует $s - \lim\limits_{t\rightarrow\infty}X\exp(-itH)u,\; u \in D$, где $H$ — фиксированный самосопряженный оператор в $\mathcal{H}_1$.

Получена конструктивная характеристика классов периодических функций, определяющихся посредством мультипликаторов рядов Фурье.

Изучаются группы вида $G = AX$, где $A$ — абелева подгруппа, $X$ — $FC$-подгруппа. Доказано, что если центр подгруппы $X$ нетривиален, то $G$ обладает нетривиальной нормальной абелевой или конечной подгруппой. Установлена разрешимость групп такого рода с нильпотентной подгруппой $X$ в случае, когда группа не имеет собственных подгрупп конечного индекса; при этом показано, что ступень разрешимости группы не превышает $5\alpha - 3$, где $\alpha$ — ступень нильпотентности подгруппы $X$.

Получены необходимые и достаточные условия разрешимости экстремальной задачи о минимуме ньютоновой энергии в одном классе зарядов, ассоциированных с пространственным конденсатором. Исследовано соотношение между этой минимальной величиной и гриновой емкостью одной из пластин конденсатора относительно дополнения к другой. Описаны свойства носителей и потенциалов минимизирующих зарядов. Указаны достаточно общие условия, наложенные на последовательность конденсаторов, при которых их минимизирующие заряды сходятся по норме к равновесной мере компакта.

$C(\mathfrak{M})$ — банахово пространство непрерывных на метрическом компакте $\mathfrak{M}$ комплекснозначных функций, $P;\,C(\mathfrak{M}) \rightarrow M$ — оператор наилучшего равномерного приближения функций из $C(\mathfrak{M})$ обобщенными полиномами по чебышевской системе, образующими $(n + 1)$-мерное подпространство $M$. Доказано, что если всякое характеристическое множество функции $f \in C(\mathfrak{M}) \backslash M$ состоит из $2n + 3$ точек, то оператор $P$ односторонне дифференцируем в $f$ по каждому направлению к $h \in C(\mathfrak{M}).$

Изучаются предельные теоремы для центрированных сумм независимых копий случайного элемента $\xi$, принимающего значения в пространстве $D_F(S)$ функций $x:\;S \rightarrow F$, где $S$ — произвольное множество, $F$ — конечное множество действительных чисел. Устанавливается, что любое множество$\mathcal{E} \subset D_F(S)$ либо является ЦПТ-пространством, либо для произвольной последовательности $\alpha_n \downarrow 0, \;n \rightarrow \infty$ , существует случайный элемент $\xi \in \mathcal{E} $ суммы независимых копий которого растут быстрее, чем $n\alpha_n$.

С помощью метода стохастических функций Ляпунова получены новые эффективно проверяемые алгебраические критерий и достаточные условия асимптотической устойчивости с вероятностью 1 решений системы линейных со случайными (вида r-мерной векторной «белой» последовательности случайных величин) коэффициентами стохастических разностных уравнений, представляющие собой дискретные аналоги условий, установленных ранее автором для стохастических уравнений Ито с непрерывным временем. Предполагается, что при отсутствии параметрических случайных возмущений невозмущенная детерминированная система разностных уравнений асимптотически устойчива п о Ляпунову (матрица А системы сходящаяся). Установлен также алгебраический критерий ограниченности (пребывания на эллипсоидах и сферах и внутри их) решений с вероятностью 1. Критерии выражены в терминах матричных уравнений Сильвестра и Ляпунова.

Рассматривается нелинейная сингулярно возмущенная система, предельный оператор которой не удовлетворяет известным условиям стабильности спектра (в рассматриваемом случае одно из собственных значений оператора обращается в нуль в изолированных точках). Предлагается алгоритм построения асимптотических решений, основанный на регуляризации задач с помощью нормальных форм.

Идеи метода эквивалентной линеаризации применяются к исследованию систем с распределенными параметрами. Рассмотрены задачи о больших колебаниях струн, стержней, распространении электромагнитных волн в ферромагнитной среде, электрическом кабеле.

Пусть $P$ — поле, $P_n$ — кольцо $n \times n$-матриц над $P$, $A(\lambda) = A_0\lambda^m + A_1\lambda^{m-1} +...+ A_m,\; A_i \in P_n,\;\text{det} A(\lambda) \neq 0$ — наибольший об- щий делитель миноров $(n - 1)$-го порядка матрицы $A\lambda$. Рассматривается задача о представимости $A\lambda$ в виде $A(\lambda) = B(\lambda) C(\lambda)$, где $B(\lambda)$ — унитальная матрица. В частности, приведены необходимые и достаточные условия- представимости $A(\lambda)$ в указанном виде, где $((\text{det}B(\lambda),\, \text{det}C(\lambda)),\, d_{n-1}(\lambda)) = 1$, а также предложен способ нахождения множителей $B(\lambda),\; C(\lambda)$. Полностью решена задача о факторизации многочленных матриц, элементарные делители которых попарно взаимно просты. Результаты сформулированы в терминах коэффициентов матрицы $A(\lambda)$ и коэффициентов характеристических многочленов искомых множителей $B(\lambda),\; C(\lambda)$.

В области, которая является декартовым произведением отрезка на $m$-мерный тор, исследуется краевая задача для общей системы уравнений с постоянными коэффициентами порядка $2n,\; n \geq 1$ когда по одной из переменных заданы приближенные локальные граничные условия. Установлены условия существования решения и устойчивости задачи, которые формулируются в терминах диофантовых свойств чисел.

приводится некоторая конструкция модулей над полупростой конечномерной алгеброй Ли над алгебраически замкнутым полем нулевой характеристики. Построенные модули опускают единственный простой фактор-модуль. Таким способом могут быть получены все простые фактор-модули модулей Верма, а также некоторые дополнительные серии простых модулей. В случае алгебры Ли sl(3) дана характеризация простых sl(3)-модулей с конечномерными весовыми пространствами, не получающихся указанным способом.

Найдено наибольшее множество точек плоскости $w$, принимаемых всеми однолистными и мероморфными в единичном круге функциями $f(z) = z + ...,\quad f(p) = \infty,\quad 0< p <1$

Доказывается линейная конечномерная регуляризуемость оператора аналитического продолжения с любого определяющего подмножества замыкания односвязной области, т. е. когда задача регуляризации такого оператора имеет смысл.

Предложена оценка производящей функции моментов случайного вектора по наблюдаемой траектории стационарного процесса. Доказаны условия строгой со деятельности и асимптотической нормальности этой оценки.

Для определенных классов функций двух переменных рассматривается задача о построении оптимальных кубатурных формул с фиксированными узлами, расположенными на прямоугольной сетке.

Для одного класса не локально компактных групп ($G_0$ указана процедура построения регулярных борелевских мер на группе $G$— пополнении $G_0$ в более слабой топологии, обладающих свойством квазиинвариантности относительно правого или левого действия группы $G_0$. Построенные меры эргодичны относительно действия группы $G_0$. Описанная конструкция — обобщение на некоммутативный случай конструкции $\mathbb{R}^{\infty}_0$ -квазиинвариантных продакт-мер на пространстве $\mathbb{R}_0.$

Рассматриваются динамические системы $\dot{x} = Ax + bu,\quad y = (x, c)$ и $x_{n+1} = Ax_n + bu_n,\quad y_n = (x_n, c)$ в гильбертовом пространстве состояния и даются эквивалентные условия для существования ограниченных реализаций.

С помощью линейного фильтра и метода усреднения показан в общем виде известный факт: на внешнее действие экспоненциально-корреляционного центрированного стационарного процесса $q(t)$ неавтономные системы второго порядка будут реагировать как на «белый шум» с интенсивностью, равной $\sqrt{2\pi S_q(v)}$, где $S_q(v)}$ — значение спектральной плотности процесса $q(t)$ при собственной частоте исследуемой системы. В качестве примера рассматривается влияние случайного процесса $q(t)$ на колебания в системе Ван-дер-Поля с периодическим внешним возбуждением при периодически изменяющейся собственной частоте.

Изложен асимптотический метод уравнений в частных производных высокого порядка с двумя пространственными переменными и нелинейными краевыми условиями в общем случае.

Доказано существование периодического решения краевой задачи для специального класса гиперболических интегро-дифференциальных уравнений второго порядка в пространстве $L^{\infty}$.

Рассмотрен один класс эллиптических дифференциальных операторов второго порядка с бесконечным числом переменных. Получены представления соответствующих полугрупп в терминах функциональных интегралов, доказан аналог неравенств Т. Като. Изучены условия существенной самосопряженности указанных операторов и их потенциальных возмущений.