Том 43, № 10, 1991

Приведен обзор результатов по исследованию динамических систем в $\mathcal{T}_m \times E^n$, полученных автором в последние годы.

Рассматривается задача о

Исследуется задача оптимального восстановления сверток и скалярных произведений функций из различных функциональных классов по оптимальной линейной информации об этих функциях.

Изучена структура инвариантов расширенной изохронной алгебры Галилея $\tilde{AG}(0, n-1)$, являющейся подалгеброй алгебры Пуанкаре $AP(1, n)$. С использованием этих результатов проведена классификация максимальных подалгебр ранга $n — 2$ и $n — 1$ алгебры $AP(1, n)$. По подалгебрам ранга $n — 1$ алгебры $AP(1, n)$ построены анзацы, редуцирующие уравнение $\Phi (\Box u, (\nabla u^2), u) = 0$ к дифференциальным уравнениям от двух инвариантных переменных.

Показано, как с помощью приближенных интегральных многообразий решать задачу о сведении в теории устойчивости в неособом критическом случае. Получено обобщение первой основной теоремы Ляпунова — Малкина о критических случаях.

Starting from results and ideas of S. Lie anb E. Cartan, we give a systematic and geometric treatment of integrability dy quadratures of involutive systems of vector filds, showing how-a-generalization of the usual multiplier can-de constructed with the aid of closed differential forms and enough symmetry vector fields. This leads us to explicit formulas for the indepen-. dent integrals. These results allow us to identify symmetries with integral invariants in the sense of Poincare and Cartan. A further (new) result gives the equivalence of integrability by quadratures and the existence of solvable structures, these latter being generalizations. of solvable algebras.

Изучается вопрос формальной классификации систем дифференциальных уравнений вида (1) в случае наличия двух грубых особых точек у функции

Получены формулы для построения обобщенного обратного оператора, разрешающего ли нейную нетерову краевую задачу в банаховом пространстве. Одна из них основана на построении обобщенного оператора Грина исходной полуоднородной краевой задачи, вторая — на применении некоторых результатов теории линейных операторов в банаховых пространствах.

Методом сравнения получены условия существования периодических решений нелинейных дифференциальных уравнений.

Для одного класса нелинейных функционалов конструктивно описано все множество интерполяционных функциональных полиномов с узлами-траекториями, ортонормированными в

Доказывается новый вариант тауберовой теоремы с остатком для преобразования Лапласа на плоскости, в котором используется метрика

Показано, что уравнение Фоккера — Планка — Колмогорова в переменных амплитудах и фазах может быть приведено к уравнению в частных производных первого порядка, которое для широкого класса существенно нелинейных колебательных систем поддается точному интегрированию.

Найден полный набор операторов симметрии произвольного конечного порядка, допускаемых уравнением Дирака. Исследована алгебраическая структура этого набора и выделены подмножества операторов симметрии, образующие базисы алгебр и супералгебр Ли.

Получены порядковые оценки наилучших приближений полиномами, построенными по гиперболическим крестам на классах периодических функций многих переменных $B^r_{p, \theta}$. Найден порядок поперечника по Колмогорову на этих классах в пространстве $L_q$ при $1

Изучается структура непрерывных на прямой числовых функций $F(t)$ таких, что при любом фиксироіанном у разность $F(t + y) - F(t)$ — почти периодическая функция Бора.

Изучается область пространства, в которой сосредоточены независимые наблюдения случайных векторов, если размерность пространства и число наблюдений стремятся к бесконечности, а компоненты наблюдаемых векторов независимы и одинаково распределены с устойчивым распределением с параметром О

Рассматриваются вопросы экспоненциальной дихотомии систем дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом.

Излагается ряд результатов, устанавливающих свойства групп, факторизуемых попарно перестановочными периодическими подгруппами без элементов одинаковых простых порядков, в зависимости от свойств подгрупп-множителей.

Показано, что системы ортонормальных полиномов нескольких переменных полностью описываются наборами самосопряженных перестановочных операторов специального вида и установлена связь с многомерной проблемой моментов.