Том 48, № 1, 1996

За спостереженнями за розв'язками першої початково-крайової задачі для параболічного квазі-лінійного рівняння, яке перебуває під впливом швидких випадкових осциляцій, оцінюється нелінійний член рівняння. У метриці простору $L_2$ вивчаються великі відхилення непараметричної оцінки нелінійного впливу.

Вивчена розв'язність задачі Діріхле для лінійних та квазілінійних рівномірно еліптичних рівнянь другого порядку в обмеженій області, межа якої містить у собі канонічні точки. Одержані нові теореми про однозначну розв'язність лінійної задачі за мінімальних умов на гладкість коефіцієнтів, правих частіш та межі області. Встановлені класи розв'язності задачі для квазілінійних рівнянь за природних умов.

У класі субгармонічних в $ℝ^{p+2},\;p ∈ ℕ$, функцій и скінченного нижнього порядку знайдена точна оцінка зверху для $$\mathop {\lim }\limits_{r \to \infty } \inf \frac{{m_q (r,u^ + )}}{{T(r,u)}}, 1< q \le \infty ,$$ де $T(r, u)$ —неванліннівська характеристика функції, $m_q (r, u^{+})$ —інтегральне $q$-середнє на сфері радіуса $r$ функції $+,u + = max(u,0)$.

Досліджується асимптотичне зображення перронового кореня матричнозначної стохастичної еволюції, яка задається за допомогою рівняння переносу.

Вивчається центральна збіжна теорема змішаних випадкових, перманентів.

Збудовано та обгрунтовано асимптотичні розв'язки в задачах оптимального керування параболічними системами, коли керування залежить тільки від часу і має локальні обмеження.

Розглядаються багатопараметричні півгрупи двох типів (мультиплікативні та покоординатна.) та резольвентні оператори, пов'язані з такими півгрупами. Доведено альтернативну форму, теореми Хілле - Іосіда в термінах резольвентних операторів. З метою спрощення технічних деталей формулювання та доведення наведено для випадку двох параметрів.

Досліджено коректність задачі з багатоточковими умовами за часовою змінною та умовами періодичності за просторовими координатами для диференціальних операторів, які розкладаються на оператори першого порядку з комплексними коефіцієнтами. Встановлено умови існування та єдиності класичного розв'язку задачі. Доведено метричні теореми про оцінки знизу малих знаменників, які виникають при побудові розв'язку.

Одержані порядкові оцінки найкращих наближень класів функцій багатьох змінних $B^r_{1, θ}$ і $W^r_{p, α}$ а в просторі $L_q,\; 1 < q < ∞$ ортогональними проекціями функцій з цих класів на підпростори тригонометричних, поліномів. Встановлено, що в ряді випадків одержані оцінки за порядком кращі, ніж при наближенні поліномами з гармоніками з гіперболічного хреста.

Встановлюються нові покращені оцінки, що використовуються при обгрунтуванні чисельно-аналітичного методу дослідження існування та наближеної побудови розв'язків нелінійних крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь.

Розглянуто диференціальне рівняння $n$-го порядку на скінченному відрізку $[a, b]$ з параметром $λ ∈ ℂ$ вигляду $$a_0 (x)y^{(n)} (x) + a_1 (x)y^{(n - 1)} (x) + ... + a_n (x)y(x) = \lambda y(x)$$ При умовах $λ ∈ ℂ,\; [a, b], j = \overline {1,n}, a_0 (x)$ —абсолютно неперервна функція, яка не має нульового значення на $[а, Ь]$, одержані асимптотичні формули експоненціального типу для фундаментальної системи розв'язків цього рівняння при достатньо великих значеннях $|λ|$.

Для дискретної динамічної системи $ω_n =ω_0+α_n$ $(α$ — сталий вектор з раціонально незалежними координатами) на $k$-вимірному торі $Ω$ розглядається множина $L$ її лінійних унітарних розширень $x_{n+1} = A(ω_0+α_n)x_n$ де $A (Ω)$ - неперервна функція на торі $Ω$ зі значеннями в просторі $m$-вимірних унітарних матриць. Доводиться, що в $L$ множину другої категорії (перетин зліченної множини скрізь щільних відкритих підмножин) утворюють розширення, розв'язки яких не майже періодичні. Аналогічне твердження справедливе для систем лінійних диференціальних рівнянь з квазіперіодичними кососиметричними матрицями.

Доведено, що коли $ω(t, x, K 2 (m) )⩽c(x)ω(t)$ для всіх $х є [а, Ь]$ і $х є [0,b-a]$ y де $c ∈ L_1(a, b)$, а $ω $ — деякий модуль неперервності, тоді $λ_n = O(n^{ −m-1/2}ω(1/n))$ причому цю оцінку не можна покращити.

Одержано умови єдиності розв'язку задачі без початкової умови в нециліндричній області для системи рівнянь, не розв'язаної відносно похідної за часом. Ця система містить, зокрема,-псев-допараболічні рівняння.

Вивчається можливість розділення змінних в лінійних розширеннях динамічних систем на торі.

Для класів аналітичних в одиничному колі функцій в банаховому просторі Харді одержано точні значення колмогоровського поперечника при неспівпаданні метрики класу і простору.

Знайдено достатні умови існування гладких обмежених інваріантних многовидів динамічних систем.

Одержані умови існування періодичних розв'язків систем нелінійних різницевих рівнянь з неперервним аргументом.