Том 49, № 1, 1997

Наведено огляд фундаментальних наукових досліджень академіка Ю. О. Митропольського в області нелінійних диференціальних рівнянь, математичної фізики і теорії нелінійних коливань.

Доведено існування m-параметричної сім'ї глобальних розв'язків системи диференціально-різницевих рівнянь. Для диференціально-різницевих рівнянь на горі введено число обертання. Розглянуто задачу про збурення інваріантного тора системи диференціально-різницевих рівнянь. Досліджено задачу про періодичні та квазіперіодичні розв'язки диференціально-різницевого рівняння другого порядку.

Розглянуто проблеми сингулярного збурення оборотних операторів та їх застосування до аналізу стохастичних марковських систем, що задаються випадковими еволюціями. Схеми фазового укрупнення, усереднення та дифузійної апроксимації застосовуються до динамічних систем зі швидкими марковськими переключеннями.

Розглядається зображення па фазовій площині згасаючого гармонічного осцилятора з тертям при випадкових збуреннях вздовж вектора фазової швидкості. Досліджується поведінка амплітуди, фази та повної енергії згасаючого осцилятора.

Розглянуто метод нормальних форм, метод усереднення за Боголюбовим та метод асимптотичної декомпозиції, запропонований Ю. О. Митропольським та автором цієї статті. Якщо зробити певні припущення щодо теоретико-групових властивостей системи нульового наближення, то метод асимптотичної декомпозиції приводить до результатів, що здобуваються за методом нормальних форм або за методом усереднення за Боголюбовим. Розвинуто новий метод асимптотичної декомпозиції за частиною змінних та його частинний випадок — алгоритм усереднення на компактних групах Лі. Це дало змогу вперше отримати асимптотичне представлення розв'язків системи нелінійних диференціальних рівнянь на компактних некомутативних групах.

Викладено ілюстровані прикладами результати, що стосуються ряду властивостей центральних многовидів точки спокою.

Наведено постановки задач з вільними межами та нелокальних задач для нелінійних параболічних рівнянь, що виникають у проблемах металургії, медицини та екології, і розглянуто деякі конструктивні методи їх розв'язання.

Наводяться основні результати з теорії стійкості! імпульсних дефереиціальних рівнянь, які було здобуто Київською науковою школою нелінійної механіки, а також деякі результати закордонних математиків.

Вивчаються рівноважні стани систем пружних куль в границі Больцмана- Енскога, коли (d→0, 1/v→∞ (z→∞), d ³ (1/v)=const (d ³ z=const)). Для цього використовуються рівняння Кірквуда- Зальцбурга. Доведено, що в границі Больцмана - Енскога існують розв'язки цих рівнянь, і граничні функції розподілу сталі. Використовуючи умову узгодженості і кластерності, доведено, що всі функції розподілу дорівнюють добутку одночастинкових, які в свою чергу можна подати степеневим рядом від z=d ³ z з певними коефіцієнтами.

Досліджено S¹-інваріантні гамільтонові системи на компактних 4-вимірних симплектичних многовидах з вільною симплектичною дією кола. Показано, що в досить загальній ситуації такі системи генерують на своїх ізоеиергетичних поверхнях ергодичні потоки двох типів — квазіперіодичні та нільпотентиі. Розв'язано задачу випрямлення цих потоків.

Вивчаються періодичні розв'язки лінійних диференціальних рівнянь другого порядку з імпульсною дією як у фіксовані, так і в нефіксовані моменти часу.

В області D=Ω\E∈ R ⁿ розглядається нелінійне еліптичне рівняння вищого порядку при таких припущеннях, що відповідним енергетичним простором є W _p ^m (D)⩜W _q ¹ (D), q>mp. Оцінюється розв'язок u(x) цього рівняння, який задовольняє умову u(x)−kf(x)∈W _p ^m (D)⩜W _q ¹ (D), де k∈R ¹, f(x)∈ C ₀ ^∞ (Ω), and f(x)=1 for x∈F.. Доводиться поточкова оцінка u(x) в термінах ємкості вищого порядку множини F і віддалі від точки x до множини F.

Описано локальні і нелокальиі симетрії лінійних та нелінійних хвильових рівнянь, класифікації нелінійних багатовимірних рівнянь, сумісних з принципом відносності Галілея. Запропоновано нові системи нелінійних рівнянь для опису фізичних процесів у класичній та квантовій механіці.