Том 51, № 1, 1999

Відомий критерій Степанова диференційовності (апроксимативної диференційовності) дійсних функцій поширюється на відображення підмножии із $R^n$ у банахові простори, що задовольняють умову гострота Ріффела, зокрема, рефлексивні банахові простори. Для банахових просторів, які не задовольняють умову гостроти Ріффела, цей критерій не вірний.

Встановлено достатні умови, при яких дробові поля з функціями відгуку певного вигляду мають Леві - Бакстерову властивість на зростаючій параметричній множині.

Знайдено асимптотичні формули для логарифмічної похідної цілої функції f нульового порядку, нулі якої мають кутову щільність відносно функції порівняння $v(r) = r^{\lambda(r)}$, де $\lambda(r)$—нульовий уточнений порядок рахуючої функції $n(r)$ нулів $f$.

Доведено, що кожну зчислеппу абелеву групу з скінченним числом елементів порядку 2 можна разбита на зчисленпе число підміюжип щільних у будь-якій недискретній груповій топології.

Доведені деякі властивості розв язків рівняння $\cfrac{\partial^{2\alpha}u}{\partial x_1^{2\alpha}} + \cfrac{\partial^{2\alpha}u}{\partial x_2^{2\alpha}} + \cfrac{\partial^{2\alpha}u}{\partial x_3^{2\alpha}} = 0, \quad \alpha \in \left( \cfrac 12\, ; 1 \right ]$ в області $Ω ⊂ R^3$, аналогічні властивостям гармонійних функцій. Методом потенціалу досліджено основні граничні задачі для цього рівняння.

Розглядаються локальні властивості вибіркових функцій гауссових ізотропних випадкових полів на компактних ріманових симетричних просторах $\mathcal{M}$ рангу 1. Наведено умови, при виконанні яких вибіркові функції поля майже напевне мають логарифмічний та степеневий модулі неперервності. Як наслідок доведено теорему типу Бернштейна для оптимальних наближень таких функцій гармонічними многочленами в метриці простору $L_2(\mathcal{M})$. Теореми типу Джексона - Бернштейна використано для отримання достатніх умов належності майже напевне вибіркових функцій до класів функцій, пов'язаних з середніми Рісса та Чезаро.

Нехай $f$—цілий трансцендентний розв'язок диференціального рівняння $P_n(z,f,f′)=P_{n−1}(z,f,f′,...,f(p))),$ $P_n, P_{n−1}$—многочлени від усіх змінних; степінь $P_n$ відносно $f$ і $f′$ дорівнює $n$, степінь $P_{n−1}$ відносно $f, f′, ... f(p)$ не перевищує $n−1$. Доведено,що порядок $ρ$ зростання $f$ задовольняє нерівності $12 ≤ ρ < ∞$. Якщо $ρ = 1/2$, то для деякого дійсного $η$ в області $\{z: η < \arg z < η+2π\} E∗$, справедлива оцінка $\ln f(z) = z^{1/2}(β+o(1)),\; β ∈ C$, для $z=\text{re } i^{φ}, r ≥ r(φ) ≥ 0$, де $E∗$ — деяка множина кругів із скінченною сумою радіусів, а на промені $\{z: \arg z=η\}$ виконується $\ln |f(\text{re } i^{η})| = o(r^{1/2}), \; r → +∞,\; r > 0, r \bar \in \Delta$, де $Δ$—деяка множина на півосі $r > 0$ з mes $Δ < ∞$.

Дано просторово-двовимірне узагальнення ієрархії рівнянь Кадомцева-Петвіашвілі з нелокаль-ними в'язями — так звана 2-dimensional $k$-constrained $KP$-hierarchy (скорочено: $ 2d k-cKP$-ієрархія). Наведено приклади $(2+l)$-вимірних нелінійних моделей, що є представниками $2dk−cKP $-ієрархії; серед яких вказано, зокрема, як узагальнення раніше відомих, так і нові нелінійні системи. Запропоновано метод побудови точних розв'язків для рівнянь з $2dk−cKP$-ієрархії.

Одержано необхідні й достатні умови осциляції розв'язків нелінійних диференціальних рівнянь другого порядку з імпульсною дією в банаховому просторі.

Досліджено парні добутки модулів сімей кривих на рімановому листку Мьобіуса та одержані оцінки для цих добутків. Як один із множників розглядається модуль сім'ї дуг з широкого класу таких сімей (і для кожної з них знайдено модуль та екстремальну метрику).

Доведено, що в адитивній нерівності для норм проміжних похідних функцій, які визначені на скінченному відрізку і дорівнюють нулю у заданій системі точок, найменше можливе значення константи при нормі функції співпадає з точною константою у відповідній нерівності типу Маркова - Нікольського для алгебраїчних поліномів, які теж дорівнюють нулю у цій системі точок.

Встановлено необхідні й достатні умови добре обумовленого зведення матриці до нормальної форми Жордана.

За допомогою локальних мір перебування описано граничну поведінку послідовності ітерацій з випадковими не однаково розподіленими збуреннями. Як наслідок отримано варіант локальної ергодичної теореми.

Методом характеристичних функцій одержано достатні умови сингулярності випадкової величини $$ξ = \sum_{k=1}^{∞} 2^{−k}ξ_k,$$ де $ξ_k$, - незалежні однаково розподілені випадкові величини, які набувають значень $x_0, x_1$ та $x_2$ $(x_0 < x_1 < x_2)$ з імовірностями $p_0, p_1$, та $p_2$, відповідно, $p_i ≥ 0,\; p_0 + p_1 + p_2 = 1$, при цьому $2(x_1 − x_0)/(x_2−x_0)$ є раціональним числом.

Встановлена близькість розв'язків лінійної сингулярно збуреної задачі з асимптотично великими імпульсними діями та відповідної виродженої задачі.

Отримані умови інваріантності та інваріантної розв'язності крайових задач математичної фізики.