Том 53, № 6, 2001

Вивчаються питання про існування та регулярність розв'язків некоерцитивиих варіаційних нерівностей.

Розглянуто диференціальне рівняння на скінченному відрізку $[0, l]$ із параметром $μ ∈ C$, яке має вигляд $$\left( {a\left( x \right)y\prime \left( x \right)} \right)\prime + \left[ {{\mu \rho }_{\text{1}} \left( x \right) + {\rho }_{2} \left( x \right)} \right]y\left( x \right) = 0.$$ За умов $a(x), ρ(x) ∈ L_{∞}[0, l], ρ_j (x) ∈ L_1[0, l], j = 1, 2,$ і майже скрізь $a(x) ≥ m_0 > 0;\; ρ(x) ≥ m_1 > 0 $— абсолютно неперервна функція на $[0, l]$, одержано асимптотичні формули експоненціального типу для фундаментальної системи розв'язків цього рівняння при $\left| {\mu } \right| \to \infty$.

Завершено побудову теорії внутрішніх ємностей конденсаторів у локально компактному просторі, розпочату у перших двох частинах роботи. Конденсатор трактується як впорядкована скінченна сукупність множин, кожній з' яких приписано знак + або - , причому замикання різнознакових множин попарно диз'юнктні. Побудована теорія є змістовною для довільних (не обов'язково компактних чи замкнених) конденсаторів. Отримано достатні та (або) необхідні умови розв'язності основної мінімум-проблеми теорії ємностей конденсаторів, що при досить загальних припущеннях утворюють критерій. Знайдено постановки та розв'язано екстремальні задачі, які є дуальними до основної мінімум-проблеми, але на відміну,від останньої, завжди розв'язні (навіть у випадку незамкненого конденсатора). У всіх згаданих екстремальних задачах отримано опис потенціалів мінімальних мір та досліджено властивості екстремалей. Як допоміжний результат розв'язано відому задачу про Існування міри конденсатора. Побудована теорія.містить у собі як частинні випадки основні результати теорії ємкостей конденсаторів у \(\mathbb{R}^n\) , n ≥ 2, відносно класичних ядер.

Одержано оцінки наближення функцій класу $W^rH^ω$ ($ω(t)$ — опуклий модуль неперервності, такий, що $tω′(t)$ не спадає) алгебраїчними многочленами з урахуванням положення точки на відрізку $[— 1, 1]$, які неможливо покращити одночасно для всіх модулів неперервності.

Одержано нові інтегральні зображення осесиметричпого потенціалу та функції течії Стокса в довільній однозв'язгіій області меридіанної площини. Для областей із замкненою спрямлювапою жордановою межею, досліджуються межові властивості цих інтегральних зображень.

Одержано формулу розкладу довільної' функції в ряд за власними функціями крайової задачі Штурма - Ліувілля для диференціального рівняння функцій конуса та на цій основі виведено серію інтегральних перетворень (в тому числі відомих) і формул обернення для них. Наведено застосування цих формул до розв'язання початково-крайових задач теорії теплопровідності для кругових порожнистих конусів, зрізаних сферичними поверхнями.

Одержано порядкові оцінки лінійних поперечників класів Бєсова $B_{p,{\theta }}^r$ періодичних функцій багатьох змінних у просторі $L_q$ для деяких значень параметрів $р$ і $q$, відмінних від розглянутих у першій частині.

Для цілих рядів Діріхле вигляду $F\left( z \right) = \sum\nolimits_{n = 0}^{ + \infty } {a_n e^{z{\lambda }_n } ,0 \leqslant {\lambda }_n \uparrow + \infty ,\;n \to + \infty }$ встановлено умови, при виконанні яких $$F\left( {{\sigma } + iy} \right) = \left( {1 + o\left( 1 \right)} \right)a_{{\nu }\left( {\sigma } \right)} e^{\left( {{\sigma + }iy} \right){\lambda }_{{\nu }\left( {\sigma } \right)} }$$ при ${\sigma } \to + \infty$ зовні деякої множини $E$ для якої $DE = \mathop {\lim \sup }\limits_{{\sigma } \to + \infty } h\left( {\sigma } \right)\;{meas}\;\left( {E \cap \left[ {{\sigma ,} + \infty } \right)} \right) = 0$, рівномірно по $y \in \mathbb{R}$, де $h(σ)$ — додатна неперервна зростаюча до $+ ∞$ на $[0, +∞)$ функція.

Доводиться, що в локально π-розв'язній групі $G = AB$ із локально нормальними підгрупами $A$ і $B$ і існують попарно переставні силовські π'- і $p$-підгрупи $A_{π'}$ і $А_р$, $B_{π'}$ і $B_р$, $р є π$, відповідно підгруп $A$ і $B$ такі, що є силовською π'-підгрупою групи $G$ та для довільної непорожньої множини $σ ⊆ π$ $$\left( {\prod\nolimits_{p \in {\sigma }} {A_p } } \right)\left( {\prod\nolimits_{p \in {\sigma }} {B_p } } \right)\quad {and}\quad \left( {A_{{\pi }\prime } \prod\nolimits_{p \in {\sigma }} {A_p } } \right)\left( {B_{{\pi }\prime } \prod\nolimits_{p \in {\sigma }} {B_p } } \right)$$ є силовськими відповідно $σ-$ і $π′ ∪ σ$ -підгрупами групи $G$.

Розглянуто задачу оптимізації „інтервальних" квадратурних формул (у різних постановках) на класі монотонних функцій, визначених на відрізку, а також задачу оптимізації кубатуриих формул, що мають фіксовані вузли, на класах функцій, визначених на $d$-вимірному кубі, $d = 2,З,...,$ і монотонно неспадпих відносно кожної змінної.

Отримано точне значення верхньої межі відхилення тригармонійного інтеграла Пуассона від функцій класу Гельдера.

Одержано точну оцінку других похідних розв'язків (у ваговій соболєвській нормі) задачі Діріхле для квазілінійних еліптичних недивергентних рівнянь другого порядку в околі ребра області.