Том 55, № 8, 2003

Запропоповано метод побудови розв'язку параболічного розв'язання при збуренні оператора дифузії.

В області, яка є добутком відрізка на $p$-вимірний тор, досліджено коректність задачі з нелокальними крайовими умовами для рівняння з частинними похідними, не розв'язаного відносно старшої похідної за виділеною змінною. Встановлено умови класичної коректності задачі. Доведено метричні теореми про оцінки знизу малих знаменників, які виникають при побудові розв'язку задачі.

Доведено, що достатні умови асимптотичної стійкості імпульсних систем з імпульсною дією, одержані С. І. Гургулою і М. О. Перестюком, є також необхідними умовами.

Розглянуто інтерполяційну задачу для матриць-функцій класу $R[a,b]$. У невиродженому випадку всі розв'язки описано у термінах дробово-лінійних перетворень. Отримано явну формулу для резольвентної матриці.

Розглядається автономне еволюційне включення з імпульсними збуреннями у фіксовані моменти часу. За умов глобальної розв'язності доведено існування у фазовому просторі мінімальної компактної множини, що притягує всі траєкторії.

Розглянуто модель Фрьоліха-Пайерлса для електронів, що взаємодіють з фононами тільки при певних дискретних модах. Показано, що у рівноважному випадку дана модель термодинамічно еквівалентна моделі електронів з періодичним потенціалом та вільних фононів. В одновимірному випадку потенціал знаходиться точно і виражається через еліптичну функцію Вейєрштрасса, а задача на власні значення теж має точний розв'язок. Нерівноважні стани описуються зв'язаними нелінійними рівняннями Шредінгера та хвильовим рівнянням, які в одновимірному випадку мають точні солітонні розв'язки.

Доведено теорему Джексона для наближення періодичних функцій із збереженням нулів (тобто коли наближаючий поліпом має ті самі нулі $y_i$ для зпакозберігаючого наближення (тобто коли наближаючий поліпом має на кожному інтервалі $(y_i, y_{i − 1})$) той самий знак, що й функція $f$, де у,— точки, одержані з початкових точок $−π ≤ y_{2s} ≤ y_{2s−1} < ... < y1 < π$ за допомогою рівності $y_i = y_i + 2s + 2π$ при цьому ці точки є пулями $2k$-періодичної неперервної функції $f$.

Встановлено умови існування упітального дільника для багаточленної матриці над областю цілісності характеристики нуль, коли відомі її власні значення.

Знайдено точні значення верхніх меж $n$-члеппих наближень Λ-методами $q$-еліпсоїдів у просторах $S_ϕ^p$ в метриках просторів $S_ϕ^p$.

Знайдено достатні умови, розв'язності задачі Коші для вироджених різницевих рівнянь m-го порядку в банаховому просторі.

Отримано виражену через коефіцієнти Фур'є оцінку зверху найкращого наближення в метриці $L$ тригонометричними поліномами сумовних функцій кількох змінних. Розглядаються функції, що зображаються тригонометричними рядами з певною симетрією коефіцієнтів, які задовольняють кратний аналог умов Сідона-Теляковського.

Розглянуто першу початкову крайову задачу для сильно параболічної системи на некінченному циліндрі із негладкою межею. Доведено деякі результати про існування, єдиність та асимптотичну поведінку розв'язків при t → ∞.