Том 57, № 9, 2005

Детально вивчаються властивості множини $T_s$ „особливо ненормальних чисел" одиничного інтервалу (тобто множини чисел $x$, для яких немає асимптотичної частоти деяких цифр в $s$-адичному зображенні, а деякі цифри мають асимптотичні частоти). Доведено, що множина $T_s$ є нехтуваною в топологічному сенсі (першої категорії Бера) та загальною в сенсі фрактальної геометрії ($T_s$ є суперфрактальною множиною, розмірність Хаусдорфа-Безиковича якої дорівнює одиниці). Наведено топологічну і фрактальну класифікацію множин дійсних чисел через аналіз асимптотичної частоти їх $s$-адичних зображень.

Наведено огляд отриманих останнім часом результатів, що узагальнюють класичну теорему Скорохода про зображення слабко збіжної послідовності ймовірнісних мір майже напевно збіжними послідовностями відображень.

Наведено огляд властивостей слабко субгауссових випадкових елементів у нескінченновимірних просторах, а також декілька нових результатів та прикладів.

Розглядається випадкове блукання $S_n = \sum_{k\leqn}\xi_k \quad (S_n = 0)$, Для якого характеристична функція стрибків $\xi_k$ задовольняє умову майже напівнеперервності. Досліджується задача виходу таких $S_n$ із обмеженого інтервалу.

Розглядається задача інтерполяції для випадкових процесів, що задовольняють стохастичні диференціальні рівняння з вінеровими процесами, які не є семімартингалами відносно спільної фільтрації.

Запропоновано системний підхід в асимптотичному аналізі стохастичних систем у схемі серій з усередненням та дифузійною апроксимацією. Стохастичні системи задаються марковськими процесами з локально незалежними приростами в евклідовому просторі з випадковими перемиканнями, що описуються стрибковими марковськими та напівмарковськими процесами.
Використовується асимптотичний аналіз марковських та напівмарковських випадкових еволюцій. Дифузійна апроксимація будується з використанням асимптотичного розкладу породжуючих операторів та розв'язків проблем сингулярного збурення для звідно-обернених операторів.

Для систем, що перемикаються иапівмарковськими процесами, одержано результати про неоднорідну дифузійну апроксимацію, де вихідний процес компенсується усередненою функцією в апроксимаційній схемі усереднення.

Вивчаються локальні властивості розв'язків СДР зі стрибками. При застосуванні методу, який базується на „диференціюванні за часом" на просторі функціоналів від пуассонової точкової міри, наведено умову, яка аналогічна умові Хьормандера та достатня для того, щоб розв'язок мав регулярний розподіл. Ця умова формулюється тільки у термінах коефіцієнтів рівняння та не вимагає від міри Леві виконання будь-яких властивостей регулярності.

Розглядаються розшарування, що визначаються класифікуючим відображенням із скелетом, гладким у сенсі Chen - Souriau. Показано, що стохастичне класифікуюче відображення гомотопне детерміністичному класифікуючому відображенню на просторах гьольдерових петель.

Розглянуто континуальні системи стохастичних рівнянь, що описують рух у випадковому середовищі сім'ї взаємодіючих частинок, маса яких може змінюватись із часом. Припускається, що рух кожної частинки залежить не лише від її положення в даний момент часу, але й від розподілу загальної маси частинок.
Доведено теорему існування та єдиності, неперервну залежність від розподілу початкової маси, марковську властивість.
Крім того, при певних технічних умовах мірозначні дифузії, введені A. В. Скороходом, можна одержати як розподіли маси таких систем частинок.

Побудовано вінерів процес на площині з напівпрозорою мембраною, що розташована на фіксованому колі і діє в нормальному напрямку. Метод побудови враховує властивості симетрії як кола, так і вінерового процесу. Тому справа зводиться до збурення бесселевого процесу коефіцієнтом переносу, що має характер δ-функції, зосередженої в точці. Це й приводить до пари рівнянь відновлення, з допомогою яких знаходиться ймовірність переходу радіальної частини шуканого процесу.