Досліджено поведінку замкнених поліномів, тобто таких поліномів $f ∈ k[x_1,…,x_n]∖k$, що пiдалгебра k[f] є інтегрально замкненою в k[x1,..., xn], у випадку розширень основного поля. З використанням деяких властивостей замкнених поліномів доведено, що кожен поліном $f ∈ k[x_1,…,x_n]∖k$ після зсувів на константи може бути розкладений у добуток незвідних поліномів одного й того ж степеня. Розглянуто деякі типи насичених підалгебр $A ⊂ k[x_1,…,x_n]$, тобто таких алгебр, що для будь-якого $f ∈ A∖k$ породжуючий поліном для $f$ міститься в $A$.

Нехай $ψ_m^D$ — ортогональні вейвлети Добеші, які мають $m$ нульових моментів i $$W^k_{2, p} = \left\{f \in L_2(\mathbb{R}): ||(i \omega)^k \widehat{f}(\omega)||_p \leq 1\right\}, \;k \in \mathbb{N},$$. Доведено, що $$\lim_{m\rightarrow\infty}\sup\left\{\frac{|\psi^D_m, f|}{||(\psi^D_m)^{\wedge}||_q}: f \in W^k_{2, p} \right\} = \frac{\frac{(2\pi)^{1/q-1/2}}{\pi^k}\left(\frac{1 - 2^{1-pk}}{pk -1}\right)^{1/p}}{(2\pi)^{1/q-1/2}}.$$

Вивчаються екстремальні задачi геометричної теорії функцій комплексної змінної. Отримано точні оцінки зверху добутку внутрішніх радіусів неперетинних областей та відкритих множин відносно рівнопроменевих систем точок.

Для связывающего нейрона с порогом 2, стимулированного пуассоновским потоком, вычислена интенсивность выходного потока и плотность распределения вероятности длин выходных межимпульсных интервалов. Для порога 3 вычислена интенсивность выходного потока.

Доказано, что для метризуемого пространства $X$, совершенно нормального пространства $Y$ и сильно $\sigma$-метризуемого топологического векторного пространства $Z$, имеющего исчерпывание, которое состоит из замкнутых метризуемых сепарабельных линейно связных и локально линейно связных подпространств $Z_m$ пространства $Z$, набор $(X, Y, Z)$ является тройкой Лебега.

Найдены условия, при которых существует такая функция $c(t) > 0$, что $\sup\cfrac{X (t)}{c(t)} < \infty$, где $X (t)$ — случайный процесс из пространства Орлича случайных величин. Получены оценки вероятностей $P\left\{ \sup\cfrac{X (t)}{c(t)} > \varepsilon\right\}, \quad \varepsilon > 0$.

Получены условия существования и единственности решения смешанной задачи для ультрапараболического уравнения $$u_t + \sum^m_{i=1}a_i(x, y, t) u_{y_i} - \sum^n_{i,j=1} \left(a_{ij}(x, y, t) u_{x_i}\right)_{x_j} + \sum^n_{i,j=1} b_{i}(x, y, t) u_{x_i} + b_0(x, y, t, u) =$$ $$= f_0(x, y, t, ) - \sum^n_{i=1}f_{i, x_i} (x, y, t) $$ в неограниченной области по переменным x.

Получены условия относительно нелинейной части, при которых регулярное внутри области и из некоторого весового $L_1$-пространства решение квазилинейного с линейной главной частью эллиптического уравнения порядка $2m$ принимает граничные значения из пространства обобщенных функций.

Досліджено основне інтегральне рівняння страхової математики, яке задовольняє ймовірність (не)розорення страхової компанії як функція початкового капіталу. Встановлено необхідні та достатні умови існування і загальні достатні умови існування та єдиності розв'язку цього рівняння, а також умови рівномірної збіжності методу послідовних наближень для пошуку розв'язку.

У даній статті теорему Чебишова (1850) щодо гіпотези Вертрана повторно розширено за допомогою теореми щодо гіпотези Серпінського (1958). Раніше теорему розширювали декілька разів, але розглядуване розширення є найголовнішим із попередніх. Доведення починається з використання таблиці максимальних проміжків для перевірки початкових станів. Розширена теорема містить константу r, яка може бути зменшена при можливості перевірки більшої кількості початкових станів. Отже, теорему може бути розширено навіть більше у випадку розширення таблиці максимальних проміжків. Проте основна ідея розширення не базується на r.

Рассмотрены множества линейных расширений динамических систем на торе с общей знакопеременной функцией Ляпунова.

Установлены необходимые и достаточные условия абсолютной асимптотической устойчивости решений линейных параболических дифференциальных уравнений с запаздыванием.