Том 59, № 5, 2007

Запропоновано узагальнення розширеного стохастичного інтеграла на випадок інтегрування відносно широкого класу випадкових процесів. Зокрема, одержано умови, за яких вказаний інтеграл збігається з класичним стохастичним інтегралом Іто.

Розглянуто нову модель пасивної системи опору з мінімальними втратами каналiв розсіяння і двостороннє стійкою еволюційною півгрупою. У випадку дискретного часу пасивну лінійну стаціонарну двостороннє стійку систему опору $\Sigma$ розглядають як частину деякої мінімальної системи проходження без втрат, системний оператор якої є $(\tilde{J}_1, \tilde{J}_2)$-унітарним i яка має двостороннє $(J_1, J_2)$-внутрішню (у певному слабкому сенсі) передавальну функцію в одиничному крузі з 22-блоком, котрий збігається з матрицею опору системи $\Sigma$, належить класу Каратеодорі i має псевдопродовження. Якщо зовнішній простір системи $\Sigma$ є нескінченновимірним, то замість останньої властивості розглядають більш ускладнені необхідну i достатню умови для матриці опору системи $\Sigma$. Вивчаються пасивні двостороннє стійкі імпедансні реалізації з мінімальними втратами каналів розсіяння: мінімальні, оптимальні, *-оптимальні, мінімальні й оптимальні, мінімальні й *-оптимальні.

Для дифференциального уравнения второго порядка эллиптического типа на полуоси в банаховом пространстве показано, что если порядок роста на бесконечности его решения не выше экспоненциального, то это решение экспоненциально стремится к нулю на бесконечности.

Доведено теорему, яка була анонсована автором у 1995 р. у статті „Критерий дискретности спектра сингулярной канонической системы" („Функциональный анализ и его приложения", том 29, вип. 3).

Л. де Вранж, розробляючи теорію гільбертових просторів цілих функцій (ми називаємо їх просторами Крейна - де Вранжа, або скорочено K-B-просторами), прийшов до певного класу канонічних рівнянь фазової розмірності 2. Він показав, що для будь-якого заданого K-B-простору існує таке канонічне рівняння згаданого класу, яке відроджує ланцюг К-В-просторів, що входять один до одного. Гамільтоніани таких канонічних рівнянь називаємо гамільтоніанами де Вранжа. Виникло наступне питання: яким повинен бути гамільтоніан якогось канонічного рівняння для того, щоб він був гамільтоніаном де Вранжа. Основна теорема цієї статті разом з теоремою 1 згаданої статті дають відповідь на це питання.

Вивчаються єліптичні крайовi задачi в уточнених шкалах функціональних гільбертових простоpiв на гладкому многовиді з краєм. Елементами цих шкал є ізотропні простори Хермандера–Волевіча–Панеяха. Досліджено локальну гладкість розв'язку еліптичної задачі в уточненій шкалі. Встановлено достатню умову класичності її розв'язку. Вивчено також еліптичні крайові задачі з параметром.

Розглянуто певний клас квадратичних операторних в'язок, що виникають у багатьох задачах фізики. Лінійна за спектральним параметром частина в'язки описує в'язке тертя в задачах про малі коливання струн та стержнів.
Встановлено закономірності в розташуванні власних значень таких в'язок. Якщо в'язке тертя зосереджене в одній точці, то оператор у лінійній за параметром частині в'язки є одновимірним. Для цього випадку знайдено порядок розташування суто уявних власних значень.

Доказано, что из неразложимости системы подпространств конечномерного гильбертового пространства следует транзитивность этой системы при условии линейной связности соответствующей системы ортопроекторов.