Том 60, № 1, 2008

Розглянуто клас нелінійних ріницевих рівнянь четвертого порядку, що мають вигляд $$ \Delta^2(p_n(\Delta^2y_n)^{\alpha})+q_n y^{\beta}_{n+3}=0, \quad n\in {\mathbb N} $$ де $\alpha, \beta$ є співвідношеннями непарних додатних цілих чисел, а $\{p_n\}, \{q_n\}$ — додатними дійсними послідовностями, визначеними для всіх $n\in {\mathbb N} $. Встановлено необхідні і достатні умови існування неколивних розв'язків із специфічною асимптотичною поведінкою у випадку прийнятних комбінацій умов збіжності або розбіжності сум $$ \sum\limits_{n=n_0}^{\infty}\frac n{p_n^{1/\alpha}}\quad \text{and}\quad \sum\limits_{n=n_0}^{\infty}\left(\frac n{p_n}\right)^{1/\alpha}.$$

Розглянуто сингулярно збурену систему, що залежить вiд двох параметрiв та має два (можливо, однаковi) нормально гiперболiчнi центрованi многовиди. При цьому припускається, що незбурена система має орбiту, яка поєднує гiперболiчну нерухому точку на одному центрованому многовидi з гiперболiчною нерухомою точкою на iншому. Доведено деякi вiдомi та новi результати щодо збереження цих орбiт та наведено приклади систем розмiрностi бiльше, нiж три, що мають сiдловi фокуснi гомоклiнiчнi орбiти Сiльнiкова.

Викладено одну математичну проблему, яка була обговорена автором та А. М. Самойленком на 3-й мiжнароднiй конференцiї з теорiї нелiнiйних коливань (1967 р., Закарпаття).

Встановлено умови, за яких у тривимірних релаксаційних системах вигляду $$\dot{x} = f(x, y, \mu),\quad, \varepsilon\dot{y} = g(x, y),\quad x= (x_1, x_2) \in {\mathbb R}^2,\quad y\in{\mathbb R },$$ де $0 < ε << 1, |μ| << 1, ƒ, g ∈ C_{∞}$, спостерігається так звана „катастрофа блакитного неба" — з'являється стійкий релаксаційний цикл, період і довжина якого прямують до нескінченності при прямуванні μ до деякого критичного значення μ*(ε), μ*(0) 0 = 0

В продолжение предыдущих исследований авторов приведены простые достаточные условия глобальной устойчивости нулевого решения разностного уравнения x_n+1 = qx_n + f_n (x_n ,..., x_n-k ), n ∈ Z, где нелинейные функции f_n удовлетворяют условию Йорка. Для каждого натурального k интервал (0, 1] представлен как объединение [(2k + 2)/3] подынтервалов, и для q с каждого подынтервала в явном виде приведено условие глобальной устойчивости. Полученные условия являются точными для класса уравнений, удовлетворяющих условию Йорка.

Приведен краткий обзор основных результатов no теории импульсных дифференциальных уравнений, установленных в течение последних лет.

Описано осциляційні спектральні властивості (число нулів, їх чергованість для власних функцій, простоту спектра та ін.) для задачі Штурма - Ліувілля з узагальненими коефіцієнтами.

Запропоновано узагальнення класичної теореми Лерея - Шаудера про нерухому точку, що ґрунтується на нєскінчєнновимірній конструкції антиподiв типу Борсука-Улама. Наведено нестандартне доведення класичної теореми Лерея - Шаудера про нерухому точку та досліджено многовид розв'язків нелінійного рівняння типу Гамільтона-Якобі.

Відомо, що функціональні диференціальні рівняння із запізненням можна розглядати як узагальнені звичайні диференціальні рівняння (УЗДР) зі значеннями у банаховому просторі. У статті введено деякі концепції стабільності для функціональних диференціальних рівнянь із запізненням, а також обговорено ці концепції з використанням відомих результатів щодо стабільності УЗДР. Доведено еквівалентність різних концепцій стабільності, що розглянуті у даній роботі. Для дуже широкого класу функціональних диференціальних рівнянь із запізненням одержано зворотні теореми Ляпунова на основі того факту, що цей клас рівнянь відповідає УЗДР.

Вивчено питання існування періодичних рухомих хвиль на двовимірних періодично збурених ґратках із лінійним зчепленням між найближчими частинками та з періодичними нелінійними потенціалами підкладинки. Такі дискретні системи можуть моделювати молекули, що адсорбуються на кристалічну поверхню підкладинки.

Розглядається скалярне лінійне диференціально-різницеве рівняння (ЛДРР) загаяного типу другого порядку $$\ddot{x}(t) + (p_0 + p_1t)\dot{x}(t) = (a_0 + a_1t)x(t-1) + f(t)$$ В якості методу дослідження використано метод поліноміальних квазірозв'язків, що ґрунтується на зображенні невідомої функції у вигляді полінома $x(t)=\sum_{n=0}^{N}x_n t^n.$ При підстановці цієї функції у початкове рівняння з'являється відхил $\Delta(t)=O(t^{N-1})$, для якого отримано точне аналітичне зображення. Відмічено тісний зв'язок ЛДРР зі змінними коефіцієнтами з модельним ЛДРР зі сталими коефіцієнтами, структура розв'язку якого визначається коренями характеристичного квазіполінома.