2017
Том 69
№ 5

Всі номери

Том 62, № 3, 2010

Стаття (російською)

Алгебраические многочлены, наименее уклоняющиеся от нуля по мере на отрезке

Арестов B. В.

↓ Абстракт   |   Повний текст (.pdf)

Укр. мат. журн. - 2010. - 62, № 3. - С. 291–300

Досліджується задача про алгебраїчні многочлени із заданим старшим коефіцієнтом, що найменше відхиляються від нуля за мірою на відрізку $[–1, 1]$, а точніше, відносно функціонала $μ(f) = \text{mes}\left\{x ∈ [–1, 1]: ∣f (x)∣ ≥ 1 \right\}$. Обговорюється аналогічна задача відносно інтегральних функціоналів $∫_{–1}^1 φ (∣f (x)∣) dx$ для функцій $φ$, визначених, невід'ємних та неспадних на півосі $[0, +∞)$.

Стаття (англійською)

Точні нерівності типу колмогорова для норм дробових похідних функцій багатьох змінних

Бабенко В. Ф., Пічугов С. О., Парфінович Н. В.

↓ Абстракт   |   Повний текст (.pdf)

Укр. мат. журн. - 2010. - 62, № 3. - С. 301–314

Нехай $C(\mathbb{R}^m)$ — простори неперервних обмежених функцій $x: \mathbb{R}^m → \mathbb{R}$ з нормами $∥x∥_C = ∥x∥_{C(\mathbb{R}^m)} := \sup \{ |x(t)|:\; t∈ \mathbb{R}^m\}$, $e_j,\; j = 1,…,m$ — звичайна база в $\mathbb{R}^m$. Для заданих модулів неперервності $ω_j,\; j = 1,…, m$, позначимо $$H^{j,ω_j} := \left\{x ∈ C(\mathbb{R}^m): ∥x∥_{ω_j} = ∥x∥_{H^{j,ω_j}} = \sup_{t_j≠0} \frac{∥Δtjejx(⋅)∥_C}{ω_j(|t_j|)} < ∞\right\}.$$ У роботі отримано нові точні нерівності типу Колмогорова для норм мішаних частинних похідних $∥D^{α}_{ε}x∥_C$ функцій $x ∈ ∩^{m}_{j=1}H^{j,ω_j}$. Наведені деякі застосування цих нерівностей.

Стаття (російською)

О гапкелевых определителях функций, заданных своим разложением в $P$-дробь

Буслаев В. И.

↓ Абстракт   |   Повний текст (.pdf)

Укр. мат. журн. - 2010. - 62, № 3. - С. 315–326

Одержано явні формули, що виражають ганкелеві визначники функцій, які задано своїм розвиненням у неперервний $P$-дріб, через параметри дробу. Як наслідок отримано оцінку знизу ємності множини особливих точок таких функцій, аналог теореми Ван Флека для $P$-дробів з граничними періодичними коефіцієнтами, інше доведення теореми Гончара про гіпотезу Лейтона, оцінку зверху радіуса кола мероморфності функції, що задана $С$-дробом.

Стаття (англійською)

Про зв'язок між мірами, що визначають початкову та обернену функції Стільтьєса

Гілевич Я. Я., Піндор М.

↓ Абстракт   |   Повний текст (.pdf)

Укр. мат. журн. - 2010. - 62, № 3. - С. 327–331

Встановлено формулу для міри оберненої функції Стільтьєса, що виражена через міру початкової функції Стільтьєса.

Стаття (російською)

Об одном результате Ж. Бургена

Конягин С. В., Шкредов И. Д.

↓ Абстракт   |   Повний текст (.pdf)

Укр. мат. журн. - 2010. - 62, № 3. - С. 332–368

У лінійному просторі розмірності $n$ над полем $\mathbb{F}_2$ побудовано множину $A$ заданої щільності, в якої перетворення Фур'є є великим на великій множині і таким, що перетин $A$ з будь-яким підпростором невеликої розмірності є малим. Одержані результати показують у певному сенсі точність однієї теореми Ж. Бургена.

Стаття (англійською)

Чи однакові порядки найкращого (ко)опуклого наближення та поліноміального наближення без обмежень? ІІ

Коротун К. А., Левіатан Д., Шевчук І. О.

↓ Абстракт   |   Повний текст (.pdf)

Укр. мат. журн. - 2010. - 62, № 3. - С. 369–386

У частині І цієї статті доведено, що для кожного $α > 0$ та неперервної функції $f$, яка або опукла $(s = 0)$ або змінює опуклість у скінченному наборі $Y_s = \{y_i\}^s_i = 1$ точок $y_i ∈ (-1, 1)$, $$\sup \left\{n^{\alpha}E^{(2)}_n(f,Y_s):\;n \geq N^{*}\right\} \leq c(\alpha,s) \sup \left\{n^{\alpha}E_n(f):\; n \geq 1 \right\},$$ де $E_n (f)$ та $E^{(2)}_n (f, Y_s)$ означають відповідно порядок найкращого наближення без обмежень та (ко)опуклого наближення, $c(α, s)$ є сталою, що залежить лише від $α$ і $s$: Більш того, було показано, що $N^{∗}$ можна вибрати рівним одиниці, якщо $s = 0$ або $s = 1, α ≠ 4$, і що воно повинно залежати від $Y_s$ і $α$, якщо $s = 1, α = 4$4 або $s ≥ 2$. У частині II показано, що виконується більш загальна нерівність $$\sup \left\{n^{\alpha}E^{(2)}_n(f,Y_s):\;n \geq N^{*}\right\} \leq c(\alpha, N, s) \sup \left\{n^{\alpha}E_n(f):\; n \geq N \right\},$$ де в залежності від трійки $(α,N,s)$ число $N^{∗}$ може залежати або ні від $α,N,Y_s$ та $f$.

Стаття (російською)

Количественная форма $C$-свойства Лузина

Кротов В. Г.

↓ Абстракт   |   Повний текст (.pdf)

Укр. мат. журн. - 2010. - 62, № 3. - С. 387–395

Доведено наступне твердження, яке є кількісною формою теореми Лузіна про $C$-властивість. Нехай $(X, d, μ)$—обмежений метричний простір із метрикою $d$ і регулярною борелевого мірою $μ$, що пов'язані умовою подвоєння. Тоді для будь-якої вимірної на $X$ функції $f$ існують додатна зростаюча функція $η ∈ Ω \;\left(η(+0) = 0\right.$ і $η(t)t^{−a}$ спадає при деякому $\left. a > 0\right)$, вимірна на $X$ невід'ємна функція $g$ та множина $E ⊂ X, μE = 0$, для яких $$|f(x)−f(y)| ⩽ [g(x)+g(y)]η(d(x,y)),\;x,y ∈ X\setminus E.$$ Якщо $f ∈ L^p(X),\; p >0$, то можна вибрати $g \in L^p (X)$.

Стаття (англійською)

Найкраще наближення хребтовими функціями в $L_p$-просторах

Майоров В. Є.

↓ Абстракт   |   Повний текст (.pdf)

Укр. мат. журн. - 2010. - 62, № 3. - С. 396–408

Досліджено наближення класів функцій многовидом $R_n$, що утворений усіма можливими лінійними комбінаціями $n$ хребтових функцій вигляду $r(a · x))$. Доведено, що для будь-яких $1 ≤ q ≤ p ≤ ∞$ відхилення класу Соболева $W^r_p$ від множини $R_n$ хребтових функцій у просторі $L_q (B^d)$характеризується точним порядком $n^{-r/(d-1)}$.

Стаття (російською)

Об одностороннем приближении ступеньки алгебраическими многочленами в среднем

Моторная О. В., Моторный В. П., Нитиема П. К.

↓ Абстракт   |   Повний текст (.pdf)

Укр. мат. журн. - 2010. - 62, № 3. - С. 409–422

Одержано асимптотично точну оцінку найкращого одностороннього наближення сходинки алгебраїчними многочленами у просторі $L_1$.

Стаття (російською)

Об относительных поперечниках классов дифференцируемых функций. II

Субботин Ю. H., Теляковский С. А.

↓ Абстракт   |   Повний текст (.pdf)

Укр. мат. журн. - 2010. - 62, № 3. - С. 423–431

Одержано оцінку знерху для найменшого значення множника $М$, при якому рівні між собою колмогоровські поперечники $d_n (W_C^r, C)$ і відносні поперечники $K_n (W^C_r, MW^C_j, C)$ класу функцій $W_C^r$ відносно класу $MW^C_j$ при $j > r$. Ця оцінка є правильною і в тому випадку, коли замість $C$ розглядається простір $L$.