Том 63, № 11, 2011

Розглядається усереднена система рiвнянь, що є макроскопiчною моделлю коливань пружного середовища з дрiбними кавернами, заповненими в’язкою нестисливою рiдиною (зволожене пружне середовище). Доведено, що розв’язок початково-крайової задачi для цiєї системи у обмеженiй областi $\Omega$ експоненцiально за часом прямує до нуля у метрицi $L_2(\Omega)$.

Класифiковано двовимiрнi псевдосферичнi поверхнi з виродженим перетворенням Бiанкi в багатовимiрному евклiдовому просторi.

Для трех классов вырожденных параболических уравнений, естественно обобщающих классическое уравнение диффузии с инерцией А. Н. Колмогорова, исследованы фундаментальные решения задачи Коши.

Наведено точнi трикутнi зображення скiнченних $p$-груп Калужнiна $P_{p,n}$ над полем iз $p$ елементiв. Це дозволяє отримати трикутне зображення проективної границi $P_p$ груп $P_{p,n}$. Отримане зображення вивчається за допомогою розробленої для цього мови шаблонiв матриць. Як приклад наведено трикутне зображення вiдомої самоподiбної 3-групи Гупта – Сiдкi.

Нехай $X$ — скiнченна абелева група, $\xi_i,\; i = 1, 2, . . . , n,\; n ≥ 2$, — незалежнi випадковi величини зi значеннями в $X$ i розподiлами $\mu_i,\; \alpha_{ij},\; i, j = 1, 2, . . . , n$, — автоморфiзми $X$. Доведено, що iз незалежностi $n$ лiнiйних форм $L_j = \sum_{i=1}^{n} \alpha_{ij} \xi_i$ випливає, що всi $\mu_i$ — зрушення розподiлiв Хаара деякої пiдгрупи групи $X$. Ця теорема є аналогом теореми Скiтовича – Дармуа для скiнченних абелевих груп.

У просторах $L_{\psi}(T^m)$ періодичних функцій з метрикою $\rho(f, 0)_{\psi} = \int_{T^m}\psi(|f(x)|)dx$, де $\psi$ — функція типу модуля неперервності, досліджено пряму теорему Джексона у випадку апроксимації тригонометричними поліномами. Доведено, що пряма теорема Джексона має місце тоді і тільки тоді, коли нижній показник розтягнення функції $\psi$ не дорівнює нулеві.

Пiдгрупу $H$ групи $G$ називають $Q$-переставною в $G$, якщо iснує пiдгрупа $B$ групи $G$ така, що: 1) $G = HB$ та 2) якщо $H_1$ — максимальна пiдгрупа $H$, що мiстить $H_{QG}$, то $H_1B = BH_1 < G$, де $H_{QG}$ є найбiльшою переставною пiдгрупою $G$, що мiститься в $H$. У цiй роботi доведено наступне твердження. Нехай $F$ — насичена формацiя, що мiстить $U$, а $G$ — група з нормальною пiдгрупою $H$ такою, що $G/H \in F$. Якщо кожна максимальна пiдгрупа кожної нециклiчної силовської пiдгрупи $F∗(H)$, що не має надрозв’язного доповнення в $G$, є $Q$-переставною в $G$, то $G \in F$.

Теорему про спiльну нерухому точку, що була встановлена Чжаном i Суном у 2009 роцi, поширено на узагальненi (ψ, φ)_f,g-слабкi стискуючi вiдображення. Наведено приклад, що iлюструє основний результат. Отримано деякi результати про спiльну нерухому точку для вiдображень, що задовольняють умову стиску iнтегрального типу у повних метричних просторах.

Нехай $G$ — скiнченна група, а $H$ — пiдгрупа $G$. Будемо говорити, що $H$ є $s$-переставно вкладеною в $G$, якщо для будь-якого простого числа $p$, що дiлить $|H|$, силовська $p$-пiдгрупа H є також силовською $p$-пiдгрупою деякої $s$-переставної пiдгрупи $G$; $H$ є $s$-напiвпереставною в $G$, якщо $HG_p = G_pH$ для будь-якої силовської $p$-пiдгрупи Gp групи $G$ iз $(p, |H|) = 1$; $H$ є слабко $s$-нормальною в $G$, якщо iснують субнормальна пiдгрупа $T$ групи $G$ i пiдгрупа $H_{*}$ пiдгрупи $H$ такi, що $G = HT$ i $H \bigcap T ≤ H_{*}$, де $H_{*}$ — пiдгрупа $H$, що є або $s$-переставно вкладеною, або $s$-напiвпереставною в $G$. Дослiджено вплив слабко $s$-нормальних пiдгруп на будову скiнченних груп. Узагальнено та унiфiковано деякi нещодавнi результати.

Знайдено найкращу iнтервальну квадратурну формулу на класi заданих на вiдрiзку [0, 1] опуклозначних функцiй, монотонних вiдносно включення.

Отримано точну оцiнку для абсолютного моменту бета-операторiв Станку першого порядку iз використанням формули Стiрлiнга та iнтегральних операцiй. Цю оцiнку використано для встановлення теореми про наближення абсолютно неперервних функцiй бета-операторами Станку.