Том 65, № 9, 2013

Рассматривается классическая проблема топологической динамики — существование неэквивалентных определений топологической транзитивности, в частности условие на динамическую систему, которое следует из всех имеющихся определений. Полная классификация таких динамических систем является основным результатом данной работы.

Установлены точные по порядку оценки наилучших равномерных приближений тригонометрическими полиномами на классах $C^{ψ}_{β, p}$ $2\pi$-периодических непрерывных функций $f$, представимых свертками функций, которые принадлежат единичным шарам пространств $L_p,\; 1 ≤ p < ∞$, с фиксированными производящими ядрами $Ψ_{β} ⊂ L_{p′},\; \frac{1}{p}+\frac{1}{{p^{\prime}}}=1$, коэффициенты Фурье которых убывают к нулю примерно как степенные функции. Точные порядковые оценки наилучших приближений установлены также и в $L_p$-метрике, $1 < p ≤ ∞$, для классов $L^{ψ}_{β,1}$ $2\pi$-периодических функций $f$, эквивалентных относительно меры Лебега сверткам ядер $Ψ_{β} ⊂ L_p$ с функциями единичного шара пространства $L_1$. Показано, что во всех рассматриваемых случаях порядки наилучших приближений реализуют суммы Фурье.

Вводится понятие базового изменчивого множества и исследуются основные свойства таких множеств. Базовые изменчивые множества технически необходимы для построения общей теории изменчивых множеств. Тематика работы тесно связана с известной шестой проблемой Гильберта.

Отримано покращену оцінку Джексона та відповідну обернену оцінку для найкращого тригонометричного наближення в термінах модулів гладкості, еквівалентних нулю на тригонометричних поліномах степені, що не перевищує певного числа. Отримано нерівності, аналогічні нерівностям Тімана. Розглянуто також співвідношення між модулями різних порядків.

Досліджується вплив властивостей підгруп, що мають додаток, на будову скінченної групи. Отримано умови, за яких нормальна підгрупа скінченної групи має циклічні головні p-фактори.

Запропоновано чисельний метод розв'язання гіперсингулярного інтегрального рівняння другого роду — узагальнення відомого методу. При додаткових припущеннях доведено теорему існування та єдиності розв'язку. Отримано оцінку швидкості збіжності наближеного розв'язку до точного.

Нехай $G$ — група, $m$ — натуральне число. Пщмножина$A \subseteq G$ називається $m$-тонкою, якщо для кожної скінченної підмножини $F$ групи $G$ знайдеться така скінченна пщмножина $K$, що $|F_g ∩ A| ≤ m$ для всіх $g ∈ G \ K$. Доведено, що $m$-тонку підмножину абелевої групи $G$ потужності $ℵ_n;\; n = 0, 1,…$, можна розбити на $≤ m^{n+1}$ 1-тонких підмножин. Побудовано групу $G$ потужності $ℵ_n$ i 2-тонку підмножину $G$, яку не можна розбити на скінченне число 1-тонких підмножин.

Показано, що гомєоморФізми $f$ в $\mathbb{R}^n,\; n > 2$, зі скінченним спотворенням за Іванцем класів Орлiча-Соболєва $W^{1,φ}_{\text{loc}}$ за умовою типу Кальдерона на функцію $φ$, зокрема, класів Соболєва $W^{1,φ}_{\text{loc}},\; p > n - 1$, є диференційовними майже скрізь та мають $(N)$-властивість Лузіна на майже всіх гиперплощинах. Це дозволяє довести теореми про належність відповідних обернених гомеоморфізмів до класу відображень з обмеженим інтегралом Діріхле, а також одностайну неперервність i нормальність сімей обернених відображень.

Получены условия абсолютной неустойчивости нулевых решений нелинейных дифференциальных уравнений.

Запропоновано новий підхід до класичної теореми про середнє, в якому замість одного середнього значення використано два. Цей підхід має особливе значення для комплексних функцій, оскільки для них не існує подібних теорем.

Наведено класифікацію паралельних афiнних занурень $f : M^n→{M^n}\to {{\mathbb{R}}^{n+2 }}$ з пласкою зв'язнiстю в залежностi вiд рангу відображення Вейнгартена.