Том 69, № 11, 2017

Основна мета роботи — встановити двохвагову обмеженiсть потенцiалу Рiса з одного вагового Банахового простору в iнший ваговий Банахiв простiр. Зокрема, встановлено двохвагову обмеженiсть потенцiалу Рiса та отримано достатнi умови, що треба накласти на вагу з метою гарантувати обмеженiсть потенцiалу Рiса у вагових просторах Мусiляка – Орлiча.

В роботi вивчається розв’язок мультi-об’єктної нелiнiйної суми дробових оптимiзацiйних проблем. Для ефективного розв’язування таких проблем в роботi розроблено дуальний алгоритм гiлок та границь. Запропонована методологiя обгрунтована доведенням необхiдних теоретичних тверджень. Метод, що застосовано, є узагальненням роботи П. П. Шена, I. П. Дуана та I. Г. Пея (повне посилання) для однооб’єктної нелiнiйної оптимiзацiйної задачi про суми вiдношень. Цей метод реалiзовано в MatLab (версiя 2014b). Двi числовi проблеми розглянуто i розв’язано за допомогою цього методу та отримано їх глобальнi оптимальнi розв’язки.

Для довiльних $p \in [1,\infty ],\; \omega > 0, \;\beta \in (0, 2\omega )$, i будь-якої вимiрної множини $B \subset I_d := [0, d], \mu B \leq \beta$, отримано точну нерiвнiсть рiзних метрик типу Ремеза $$E_0(x)\infty \leq \frac{\| \varphi \|_{\infty} }{E_0 (\varphi )L_p(I_{2\omega} \setminus B_1)}\| x\|_{ L_p(I_d\setminus B)}$$ на класах $S_{\varphi} (\omega )$ $d$-перiодичних функцiй $x (d \geq 2\omega )$, що мають задану синусоподiбну $2\omega$ -перiодичну функцiю порiвняння $\varphi$ , де $B_1 := [(\omega \beta )/2, (\omega + \beta )/2], E_0(f)L_p(G)$ — найкраще наближення функцiї $f$ константами в метрицi простору $L_p(G)$. Як наслiдок отримано точнi нерiвностi рiзних метрик типу Ремеза на соболєвських класах диференцiйовних перiодичних функцiй та на просторах тригонометричних полiномiв i полiномiальних сплайнiв.

В классе гильбертовых пространств Хермандера исследована общая эллиптическая задача, для которой максимум порядков краевых условий больше, чем порядок эллиптического уравнения, или равнен ему. Показателем регулярности для этих пространств является произвольная радиальная положительная функция, $R_O$-меняющаяся на бесконечности по Авакумовичу. Показано, что оператор исследуемой задачи является ограниченным и нетеровым в подходящих парах указанных пространств Хермандера. Доказана теорема об изоморфизме, порожденном этим оператором. Для обобщенных решений этой задачи установлена локальная априорная оценка и доказана теорема об их локальной регулярности в пространствах Хермандера. В качестве приложения получены новые достаточные условия непрерывности заданных обобщенных производных решений.

Рассмотрено функциональное уравнение $f(qz) = R(z)f(z)$, где $R(z)$ — рациональная функция,$z \in C\setminus \{ 0\},\;q \in C\setminus \{ 0\},\; | q| < 1$. Найдены голоморфные решения этого уравнения. Эти решения являются некоторыми обобще- ниями p-локсодромических функций.

Вивчається банахова алгебра, породжена дiючими у лебеговому просторi $L_p, p > 1$, оператором Бергмана, сталими коефiцiєнтами та зсувами, утвореними скiнченнопородженими комутативними групами гiперболiчних перетворень одиничного круга. Як результат одержано ефективний критерiй фредгольмовостi операторiв розглянутої банахової алгебри.

Нещодавно простiр $|\bar{N}_p^θ|_k$ було згенеровано з множини $\ell_k$ всiх $k$-абсолютно збiжних рядiв, як множину рядiв сумовних за абсолютним ваговим методом. В роботi дослiджено деякi властивостi цього простору такi, як $\beta$ - дуальнiсть i зв’язок з $\ell k$ i, крiм того, доведено, що кожний елемент класiв $\Bigl(|\bar{N}_p|,\;|\bar{N}_p^θ|_k\Bigr)$ та $\Bigl(|\bar{N}_p^θ|_k,\;|\bar{N}_q|\Bigr)$ нескiнченних матриць вiдповiдає неперервному лiнiйному оператору i також харахтеризує цi класи. Таким чином, у частинному випадку, нами виведено загальновiдомi результати Сарiголя, Босанке, Орхана та Сунучi.

Розглянуто вiдносно нове узагальнене гiбридне $F$ -стискання, що включає пару вiдображень. Це стисканя застосовано при доведеннi спiльної теормеми про нерухому точку для випадково спiвпадаючих iдемпотентних матриць, що задовольняють узагальнену умову $(F, \varphi)$-стискання при влативостi спiльного граничного дiапазону в повних метричних просторах. Також доведено подiбний результат для гiбридних пар вiдображень, що задовольняють умо- ву Гардi – Роджерса про $(F, \varphi)$-стискання рацiонального типу. Узагальнено та покращено деякi вiдомi лiтературнi результати. Як застосування наших результатiв, доведено двi теореми про iснування розв’язкiв деякої системи функцiональних рiвнянь, що зустрiчаються в динамiчному програмуваннi, та iнтегрального включення Вольтерра. Крiм того, наведено iлюстративний приклад.

Наведено $Z$-градуювання алгебри Теплiца. Розглядаються ядернi $C \ast $ -пiдалгебри алгебри Теплiца, що породжуються iнверсними пiднапiвгрупами бiциклiчної напiвгрупи. Знайдено тип цих алгебр вiдносно алгебри Теплiца. Крiм того, доведено, що розглядуванi алгебри надiленi структурою гiльбертових $C\ast$ -модулiв.

Вивчається поведiнка гомеоморфiзмiв класiв Орлiча – Соболєва в замиканнi заданої областi. В термiнах простих кiнцiв регулярних областей отримано теореми про одностайну неперервнiсть вказаних класiв. Зокрема, доведено, що в областях, межi яких задовольняють певнi обмеження, зазначенi класи є одностайно неперервними, як тiльки їх внутрiшня дилатацiя порядку p має мажоранту скiнченного середнього коливання в кожнiй точцi. Отримано також теореми про (поточкову) одностайну неперервнiсть вказаних класiв у випадку локально зв’язних меж.

Решена задача о наилучших рациональных приближениях ядер Бергмана на единичной окружности комплексной плоскости в квадратичной и равномерной метриках.