Том 70, № 1, 2018

Исследуются вопросы существования и представления ограниченных на всей оси решений как линейных, так и нелинейных дифференциальных уравнений с неограниченными операторными коэффициентами в пространствах Фреше и Банаха при условии экспоненциальной дихотомии на полуосях соответствующего однородного уравнения.

Доказана устойчивость глобального аттрактора для импульсной бесконечномерной динамической системы. Полу- ченные абстрактные результаты применены к слабонелинейному параболическому уравнению, решения которого подвергаются импульсному возмущению при достижении фиксированного подмножества фазового пространства.

Наведено огляд розвитку прямого методу Ляпунова у глобальному аналiзi хаотичних систем. Описано три напрямки, в яких застосовуються функцiї Ляпунова: методи локалiзацiї глобальних атракторiв, де отримано оцiнки дисипатив- ностi по Левiнсону; задачi iснування гомоклiнiчних траєкторiй та оцiнки розмiрностi атракторiв. Продемонстровано ефективнiсть побудови функцiї ляпуновського типу. Зокрема, встановлено формулу ляпуновської розмiрностi для атракторiв системи Лоренца.

Исследуются нелинейные краевые задачи гидродинамического типа, сформулированные для областей с наперед неизвестными границами. В основе исследований находятся вариационные формулировки этих задач на базе специально введенных в рассмотрение интегральных функционалов с переменной областью интегрирования. Показано, что искомые решения краевых задач эквивалентны в некотором смысле нахождению стационарных точек рассмат риваемых функционалов. Ими являются пары, состоящие из семейств областей и определенных в них функций. На примере задачи о пространственном движении резервуара с упругими стенками, частично заполненного идеальной несжимаемой жидкостью, предложен метод построения в аналитическом виде как искомых решений, так и границ областей (деформируемых стенок и формы возмущенной свободной поверхности жидкости).

С помощью функционально-дискретного FD-метода найдены точные решения ряда одномерных спектральных задач для оператора Шредингера с полиномиальным потенциалом. В случаях, когда традиционный FD-метод является расходящимся, предложена его модификация, которая оказалась достаточно эффективной. Теоретические результаты проиллюстрированы на численных примерах.

Показано, як вiдповiдна процедура параметризацiї та послiдовнi наближення допомагають дослiджувати нелiнiйнi крайовi задачi для систем диференцiальних рiвнянь за умови, що компоненти розв’язкiв обертаються в нуль у деяких невiдомих точках. Ця процедура може бути застосована до нелiнiйностей, що включають знаки абсолютних величин та додатнi або вiд’ємнi частини функцiй для рiзних типiв граничних умов.

Розглянуто вимушене замикання частоти, тобто поведiнку перiодичних розв’язкiв автономних диференцiальних рiвнянь пiд впливом малих перiодичних форсувань. Показано, що, незважаючи на той факт, що цi форсування можуть бути розривними (типу схiдчастих функцiй) або навiть дистрибутивними (типу дельта-функцiй), вимуше- нi замикання частоти вiдбуваються, як i у випадку гладких форсувань, i можна отримати формули для конусiв замикання та асимптотичних фаз, як i у випадку гладких форсувань.

Вивчається iснування $L^p$ -розв’язкiв для класу iнтегральних рiвнянь Гаммерштейна та нейтральних функцiональних диференцiальних рiвнянь з абстрактними операторами Вольтерра. Iснування глобальних розв’язкiв встановлено за допомогою умов типу компактностi. Крiм того, наведено результат про глобальне iснування розв’язку для класу нелiнiйних функцiональних iнтегральних рiвнянь Фредгольма з абстрактними операторами Вольтерра.