Том 71, № 2, 2019

Наведено огляд нових результатiв у конструктивнiй теорiї функцiй, що отриманi автором iз застосуванням теорiї ядер Дзядика в поєднаннi з методами та результатами сучасної геометричної теорiї функцiй i теорiї квазiконформних вiдображень.

Отримано нову точну нерiвнiсть типу Ландау – Колмогорова, яка для перiодичної функцiї двох змiнних оцiнює конволюцiю найкращих рiвномiрних наближень частинних первiсних сумами функцiй однiєї змiнної через $L_{\infty}$ - норму самої функцiї i рiвномiрну норму мiшаної первiсної. Наведено також деякi застосування отриманої нерiвностi.

Розглядаються питання конструювання i теоретичного обґрунтування високоточних чисельно-аналiтичних алго- ритмiв кусково-полiномiальної апроксимацiї розв’язкiв задач з iмпульсним впливом на основi апроксимацiйного методу В. К. Дзядика.

Для класiв функцiй $W^r_2 (\Omega^{(\nu )}_{m,x}; \Psi )$, де $r \in Z+, m \in N, \nu \geq 0,$ а $\Omega^{(\nu )}_{m,x}$ i $\Psi$ — вiдповiдно узагальнений модуль неперервностi $m$-го порядку та мажоранта, отримано оцiнки зверху i знизу колмогоровського, лiнiйного, бернштейнiвського, гельфандiвського, проекцiйного поперечникiв та поперечника Фур’є у просторi $L_{2,x}(0, 1)$. Також знайдено оцiнки зверху та знизу верхнiх меж коефiцiєнтiв Фур’є – Бесселя на цих класах. Вказано умови для ма- жорант, при виконаннi яких обчислюються точнi значення зазначених поперечникiв та верхнiх меж коефiцiєнтiв Фур’є – Бесселя.

Вивчаються деякi резонанснi рiвняння, що мають вiдношення до класичних ортогональних полiномiв. Запропо- новано алгоритм знаходження їхнiх частинних та загальних розв’язкiв у явному виглядi. Цей алгоритм найкрaще пiдходить для методiв комп’ютерної алгебри, таких як Maple. Резонанснi рiвняння складають суттєву частину багатьох застосувань, зокрема ефективного функцiонально-дискретного методу, що застосовується при розв’язаннi операторних рiвнянь та задач на власнi значення. Такi рiвняння також з’являються в контекстi суперсиметричних операторiв Казимiра для дiспiнової алгебри, а також для квадратичних операторних рiвнянь $A^2u = f$, наприклад для бiгармонiчного рiвняння.

Доведено, що для будь-якого $0 < \delta < 1$ iснує така вимiрна множина $E_{\delta} \subset [0, 1], \mathrm{m}\mathrm{e}\mathrm{s} (E_{\delta }) > 1 \delta $, що для будь-якої функцiї $f \in C[0, 1]$ можна знайти функцiю $\widetilde f \in C[0, 1]$, яка збiгається з $f$ на $E_{\delta}$ , i ряд Фур’є – Фабера –Шаудера для $\widetilde f$ збiгається безумовно в $C[0, 1]$. При цьому модулi ненульових коефiцiєнтiв Фур’є – Фабера –Шаудера функцiї $\widetilde f$ збiгаються з елементами заданої послiдовностi $\{ b_n\} $, що задовольняє умову $$b_n \downarrow 0,\; \sum^{\infty }_{n=1} frac{b_n}{n} = +\infty .$$

Норми Чезаро i Копсона невiд’ємних послiдовностей визначаються як lp-норми їхнiх арифметичних середнiх i вiдповiдних спряжених середнiх. Вiдомо, що для $1 < p < \infty$ цi норми еквiвалентнi. У 1996 р. Г. Беннетт поставив задачу про знаходження найкращих сталих у нерiвностях, що описують цю еквiвалентнiсть. Розв’язок цiєї задачi вимагає оцiнок чотирьох сталих. Двi з них були знайденi Г. Беннеттом. У цiй статтi знайдено одну з двох невiдомих сталих. Доведено також оптимальну оцiнку вагового типу для сталої, що залишилася.

Наведено оцiнку узагальненої подiленої рiзницi $[x_0, ..., x_m; f]$, де деякi з точок $x_i$ можуть збiгатися (в цьому випадку $f$ вважається досить гладкою). Цю оцiнку потiм застосовано для суттєвого посилення вiдомих нерiвностей Уiтнi i Маршу та узагальнення їх для полiномiальної iнтерполяцiї Ермiта. Наприклад, одним iз численних наслiдкiв цiєї оцiнки є той факт, що для заданої функцiї $f \in C(r)(I)$ та набору точок $Z = \{ z_j\}^{\mu}_{j=0}$ таких, що $z_{j+1} - z_j \geq \lambda | I|$ для всiх $0 \leq j \leq \mu 1$, де $I := [z_0, z_{\mu} ], | I|$ — довжина $I, \lambda $ — деяке додатне число, полiном Ермiта $\scr L(\cdot ; f;Z)$ степеня $\leq r\mu + \mu + r$, який задовольняє $\scr L^{(j)}(z\nu ; f;Z) = f(j)(z\nu )$ для $0 \leq \nu \leq \mu$ i $0 \leq j \leq r$, наближає $f$ так, що для всiх $x \in I$ $$| f(x) \scr L (x; f;Z)| \leq C (\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{t} (x,Z))^{r+1} \int^{2| I|}_{dist (x,Z)}\frac{\omega_{m-r}(f^{(r)}, t, I)}{t^2}dt,$$ де $m := (r + 1)(\mu + 1), C = C(m, \lambda)$ i $\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{t} (x,Z) := \mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}0\leq j\leq \mu | x zj | $.

Вiдноснi середнi iнтегральнi коливання неспадної рiвновимiрної перестановки оцiнено зверху через такi ж коливання початкової функцiї. На основi цiєї оцiнки отримано точну за порядком оцiнку знизу швидкостi спадання (зникнення) перестановки.

Розглянуто деякi властивостi iнтегровних на сегментi функцiй. Отримано оцiнки для наближень функцiї та її похiдних.

Встановлено точнi за порядком оцiнки колмогоровських поперечникiв та ентропiйних чисел класiв $W^{r}_{p,\alpha}$ i $B^r _{p,\theta}$ за нормою простору $B_{\infty ,1}$.

Встановлено асимптотичнi рiвностi для точних верхнiх меж наближень iнтерполяцiйними тригонометричними полiномами з рiвномiрним розподiлом вузлiв iнтерполяцiї $x_{(n 1)}^k = \frac{2k\pi}{2n 1}, k \in Z,$ у метриках просторiв $L_p, 1 \leq p \leq \infty$, на класах $2\pi$ -перiодичних функцiй, якi зображуються у виглядi згорток функцiй $\varphi , \varphi \bot 1$, що належать одиничнiй кулi з простору $L_1$ iз фiксованими твiрними ядрами, у яких модулi коефiцiєнтiв Фур’є $\psi (k)$ задовольняють умову $\mathrm{lim}_{k\rightarrow \infty} \psi (k + 1)/\psi (k) = 0.$ Аналогiчнi оцiнки встановлено i на класах $r$-диференцiйовних функцiй $W^r_1$ при швидко зростаючих показниках гладкостi $r (r/n \rightarrow \infty , n \rightarrow \infty )$.

Наведено короткий огляд робiт з теорiї апроксимацiї функцiй, якi вiдомi автору та наближенi до наукових публiкацiй В. К. Дзядика.