On asymptotic representation of solutions for a system of linear partial differential equations with time lag - Feshchenko, S. F.; Shkіl N. I.; Sоtnіchenkо N. A. (Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal, 1971)
Рассматривается система ^2 u(t,x)t^2=A_1(τ,x,ε) ^2 u(t,x)x^2+ε A_2(τ,x,ε) u(t,x)+ +ε A_3(τ,x,ε)u(t-Δ(τ),x)+ε A_4(τ,x,ε) u(t,x)t+ (1) +ε A_5(τ,x,ε) u(t-η(τ),x)t+ε A_6(τ,x,ε) u(t,x)x+ε g(τ,x,ε) e^iθ(t,ε) с начальными и граничными условиями вида u(t,x)=φ(t,x), u_t(t,x)=ψ(t,x) для -t_0≤t≤0, u|_x=0=u|_x=l=0, (2) где 0≤τ=ε t≤L, ε - малый параметр, 0≤x ≤l, θt= u(τ)>0. n-Мерный вектор g(τ,x,ε) и действительные квадратные матрицы порядка n × n A_k(τ,x,ε) (k=1,…,6) имеют представление в виде рядов по степеням ε. Система (1) сводится к системе дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом вида q_m(t)t=H_m(τ)q_m(t)+ε_k=1^∞H_mk(τ,ε)q_k(t)+ +ε_k=1^∞G_mk(τ,ε)q_k(t-Δ(τ))+ ε P_m(τ,ε) e^iθ(t,ε, (3) где q_m(t), P_m(τ,ε) - векторы размерности 2n, H_m(τ), H_mk(τ,ε), G_mk(τ,ε) - квадратные матрицы порядка 2n. В работе строится асимптотическое решение системы (3), когда корни характеристического уравнения det||H_m(τ)-λ_m(τ)E||=0 (4) (E— единичная матрица) и соответствующие им элементарные делители могут быть кратными, сохраняя при этом постоянную кратность. Рассматривается два случая: 1) «резонансный», когда функция i u(τ) при некоторых значениях τ[0,L] становится равной одному из кратных корней уравнения (4) и 2) «нерезонансный», когда i u(τ) при любом τ не совпадает ни с синим из корней уравнения (4). Приводятся оценки, указывающие на асимптотический характер построенных решений.