Some problems of spectral theory of the second order linear differential equation with unlimited operator coefficients - Gorbachuk, V. I.; Gorbachuk, M. L. (Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal, 1970)
Пусть $Н$ — сепарабельное гильбертово пространство и $L_2(H,(0,b)) (0 < b ≤ ∞)$ — пространство вектор-функций $u(t)$, суммируемых с квадратом. Исследуются минимальный и максимальный операторы, порожденные дифференциальным уравнением$$uʹʹ+Au-q(t)=λ u \qquad (1)$$и краевым условием$$uʹ(0)=Bu(0) \qquad (2)$$где $q(t)=q^*(t)$ (* обозначает переход к сопряженному оператору) — непрерывная в равномерной операторной топологии операторная функция, значениями которой являются ограниченные операторы в $H$, $A$ — самосопряженный полуограниченный снизу оператор в $H$, $B$ — ограниченный самосопряженный оператор со свойством $BD(A)\subset D(A)$; кроме того, предполагается, что функции $A^{\frac12}q(t)A^{-\frac12}$ и $Aq(t)A^{-1}$ сильно непрерывны по $t$. С помощью метода направляющих функционалов устанавливается существование операторной спектральной функции задачи (1), (2).