On asymptotic representation of solutions for a system of linear partial differential equations with time lag - Feshchenko, S. F.; Shkіl, N. I.; Sоtnіchenkо, N. A. (Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal, 1971)
Рассматривается система$$\frac{\partial^2 u(t,x)}{\partial t^2}=A_1(τ,x,ε) \frac{\partial^2 u(t,x)}{\partial x^2}+ε A_2(τ,x,ε) u(t,x)+$$$$+ε A_3(τ,x,ε)u(t-Δ(τ),x)+ε A_4(τ,x,ε) \frac{\partial u(t,x)}{\partial t}+ \quad\quad\quad (1)$$$$+ε A_5(τ,x,ε) \frac{\partial u(t-η(τ),x)}{\partial t}+ε A_6(τ,x,ε) \frac{\partial u(t,x)}{\partial x}+ε g(τ,x,ε) e^{iθ(t,ε)}$$с начальными и граничными условиями вида$$u(t,x)=φ(t,x), \quad u_t(t,x)=ψ(t,x)$ для $-t_0≤t≤0,$$$$u|_{x=0}=u|_{x=l}=0, \quad\quad\quad (2)$$где $0≤τ=ε t≤L$, $ε$ - малый параметр, $0≤x ≤l$, $\frac{\partialθ}{\partial t}= u(τ)>0$. $n$-Мерный вектор $g(τ,x,ε)$ и действительные квадратные матрицы порядка $n × n$ $A_k(τ,x,ε)$ $(k=1,…,6)$ имеют представление в виде рядов по степеням $ε$.Система (1) сводится к системе дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом вида$$\frac{\partial q_m(t)}{\partial t}=H_m(τ)q_m(t)+ε\sum_{k=1}^∞H_{mk}(τ,ε)q_k(t)+$$$$+ε\sum_{k=1}^∞G_{mk}(τ,ε)q_k(t-Δ(τ))+ ε P_m(τ,ε) e^{iθ(t,ε}, \quad\quad\quad (3)$$где $q_m(t)$, $P_m(τ,ε)$ - векторы размерности $2n$, $H_m(τ)$, $H_{mk}(τ,ε)$, $G_{mk}(τ,ε)$ - квадратные матрицы порядка $2n$.В работе строится асимптотическое решение системы (3), когда корни характеристического уравнения$${\rm det}||H_m(τ)-λ_m(τ)E||=0 \quad\quad\quad (4)$$ ($E$— единичная матрица) и соответствующие им элементарные делители могут быть кратными, сохраняя при этом постоянную кратность.Рассматривается два случая: 1) «резонансный», когда функция $i u(τ)$ при некоторых значениях $τ\in[0,L]$ становится равной одному из кратных корней уравнения (4) и 2) «нерезонансный», когда $i u(τ)$ при любом $τ$ не совпадает ни с синим из корней уравнения (4).Приводятся оценки, указывающие на асимптотический характер построенных решений.