Generalized symmetrical power problem of moments - Berezansky , Yu. M.; Shifrin, S. N. (Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal, 1971)
Рассматривается следующее обобщение многомерной степенной проблемы моментов. Пусть $\mathfrak H$ — ядерное пространство с инволюцией —, $\mathfrak H^n=\mathfrak H \bigotimes … \bigotimes \mathfrak H (\mathfrak H ^0=C)$ , инволюция распространяется на $\mathfrak H^n$ посредством тензорных степеней. Последовательность $S=(S_n)_{n=0}^∞$, где $S_n \in (\mathfrak H^n)ʹ$ и симметрично, называется моментной, если $\sum_{j,k=0}^∞ S_{j+k}(u_j \bigotimes \bar u_k) ≥0$ для любой финитной последовательности $(u_j)_{j=0}^∞$, $u_j \in =\mathfrak H^j$. Для моментной последовательности, удовлетворяющей некоторым ограничениям роста по $n$, доказывается представление$$S_n=\int_{\mathfrak Hʹ \rm{Re} } \underbrace{λ \bigotimes … \bigotimes λ }_n dρ(λ), \quad (n=0,1,…),$$где $dρ(λ)$ — некоторая неотрицательная мера на вещественной части $\mathfrak Hʹ \rm{Re}$ пространства $\mathfrak Hʹ $ . Ограничения на рост таковы, что мера $dρ(λ)$ может по $S$ определиться как однозначно, так и неоднозначно. Рассмотрены примеры.