Substantiation of the averaging method for differential-difference equations in the Hilbert space - Mіtrоpоlskу, Yu. A.; Fоdchuk, V. I. (Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal, 1971)
В координатном гильбертовом пространстве $\mathfrak H$ рассматривается начальная задача\[\frac{dx(t)}{dt}=\varepsilon X(t,x(t),x(t-\Delta)), t>0, \quad (1)\]\[x(t)=\varphi (t), t \in [-\Delta,0], \quad (2)\]где $X (t,x,y)$ —вектор-функция, определенная на $[0, \infty) \times D \times D (D \in \mathfrak H)$, и начальная задача для усредненного уравнения:\[\frac{d\xi}{dt}=\varepsilon X_0(\xi,\xi), \quad (3)\]\[\xi(0)=\varphi(0). \quad (4)\]Доказывается, что если функция $X (t, x, y)$ ограничена и удовлетворяет условию Липшица по $х$, $у$, то при достаточно малых значениях $\varepsilon$ соответствующие решения задач (1), (2) и (3), (4) будут сколь угодно близкими на асимптотически большом интервале времени $0 < t