Локальні властивості цілих функцій обмеженого індексу за змінним напрямком (репером)

Анотація

УДК 517.555

Розширено поняття цілої функції обмеженого індексу за змінним напрямком на випадок, коли змінний напрямок -неперервна векторно-значна функція. Попередні дослідження цього класу функцій містили обмеження, що змінний напрямок — ціла векторно-значна функція.
Ціла функція $F: \mathbb{C}^n\to \mathbb{C}$ називається функцією обмеженого індексу за змінним напрямком (репером) $\mathbf{b}(z)$, якщо існує $m_{0} \in\mathbb{Z}_{+}$ таке, що для кожного $m \in\mathbb{Z}_{+}$, всіх $z\in \mathbb{C}^{n}$ та всіх $t\in\mathbb{C}$ виконується $\frac{|{\partial^{m}_{\mathbf{b}(z)}F(z+t\mathbf{b}(z))}|}{m!} \leq\max_{0\leq k \leq m_{0}} \frac{|{\partial^{k}_{\mathbf{b}(z)}F(z+t\mathbf{b}(z))}|}{k!},$
де $\partial^{0}_{\mathbf{b}(z)}F(z+t\mathbf{b}(z))=F(z+t\mathbf{b}(z)),$
$\partial^{k}_{\mathbf{b}(z)}F(z+t\mathbf{b}(z)):=\frac{k!}{2\pi i}\int_{|\tau|=r}\frac{F(z+t\mathbf{b}(z)+\tau \mathbf{b}(z))}{\tau^{k+1}} d\tau$

та $\mathbf{b}: \mathbb{C}^n\to\mathbb{C}^n$ — векторно-значна неперервна функція.
У статті наведено дослідження деяких властивостей цих функцій. Отримані результати — аналоги тверджень, відомих для цілих функцій обмеженого індексу за фіксованим напрямком. Вони описують локальне поводження модуля $\partial_{\mathbf{b}(z)}^kF(z+t\mathbf{b}+\tau\mathbf{b}(z))$ на колі $|\tau|=\eta$. Знайдено деякі оцінки цього виразу через значення  $\partial_{\mathbf{b}(z)}^kF(z+t\mathbf{b}).$